Integrales indefinidas y sumas de Riemann, Ejercicios de Cálculo Avanzado

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UNIDAD 1 - TAREA 1:

PRESENTADO POR:

WILLIAM PEREZ

YEFRY GONZALEZ

DIEGO RODRIGUEZ

GRUPO:

100411_

TUTOR:

EDGAR CASTILLO GAMBA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INTRODUCCIÓN

∫

√ 1 − x

2

dx +

∫

x

2

dx + ¿

∫

1 dx ¿

∫

2

− x

2

dx +

∫

x

2

dx +¿

∫

1 dx ¿

17 ( arcsin ( x )+ C ) +

∫

x

2

dx +

∫

1 dx

arcsin ( x )+ C

(

x

3

+ C

)

∫

1 dx

17 ( arcsin ( x )+ C ) +

x

3

+ C +

x + C

17 arcsin ( x )+

x

3

• x + C

c.

d.

e. Integrales inmediatas.

∫

e

− 2 x

x

dx

Definición de integrales

∫

( e ¿¿− 2 x ) dx +

∫

x

) dx ¿

Sustituye -2x=u

∫

( e ¿¿− 2 x ) dx =¿−

∫

( e ¿¿ u ) du ¿ ¿ ¿

∫

( e ¿¿ u ) du =

− e

u

− e

− 2 x

Aplica regla integral de función exponencial donde a:

∫

x

dx =

x

ln( 5 )

Remplaza integrales que se resolvieron.

F

x

e

− 2 x

x

ln ( 5 )

+ C

Desarrollo de los Ejercicios 2 a,b,c,d,e

a. Sumas de Riemann

Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la

curva de la función

f ( x )= x

3

− 2 x + 5

en el intervalo [-1, 2], en donde use una partición de n=6.

i) f ( x )= x

3

− 2 x + 5

a=-1 b=2 n=

∆ x =

b − a

n

A = ∆ x ∙

∑

i = 1

n

f ( a + i ∙ ∆ x )

A =

∑

i = 1

6

f

(

− 1 + i ∙

)

A =

∑

i = 1

6

f (

i − 2

A =

∑

i = 1

6

f (

A =

∑

i = 2

6

f (

A =

∑

i = 3

6

f (

A =

∑

i = 4

6

f (

A =

∑

i = 5

6

f (

A =

∑

i = 6

6

f (

f ( x )= x

3

− 2 x + 5

f (−0.5)=(−0.5 )

3

f ( 0 )=( 0 )

3

f ( 0.5 )=( 0.5)

3

f ( 1 ) =( 1 )

3

A =0.25 ∙

∑

i = 1

12

f ( 1 (0.25¿)− 1 )=0.75 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 2

12

f ( i (0.25¿)− 1 )=−0.5 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 3

12

f ( 3 ( 0.25¿)− 1 )=−0.25 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 4

12

f ( 4 (0.25¿)− 1 )= 0 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 5

12

f ( 5 (0.25¿)− 1 )=0.25 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 6

12

f ( 6 (0.25¿)− 1 )=0.5 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 7

12

f ( 7 (0.25¿)− 1 )=0.75 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 8

12

f ( 8 (0.25¿)− 1 )= 1 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 9

12

f ( 9 (0.25¿)− 1 )=1.25 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 10

12

f ( 10 (0.25¿)− 1 )=1.5 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 11

12

f ( 11 (0.25¿)− 1 )=1.75 ¿

A =0.25 ∙

∑

i = 12

12

f ( 12 (0.25¿)− 1 )= 2 ¿

f ( x )= x

3

− 2 x + 5

f (−0.75)=(−0.75 )

3

f (−0.5)=(−0.5 )

3

f (−0.25)=(−0.25 )

3

f ( 0 )=( 0 )

3

f ( 0.25 )=( 0.25)

3

f ( 0.5 )=( 0.5)

3

f ( 0.75 )=( 0.75)

3

f ( 1 ) =( 1 )

3

f ( 1.25 )=( 1.25)

3

f ( 1.5 )=( 1.5)

3

f ( 1.75 )=( 1.75)

3

f ( 2 ) =( 2 )

3

A =0.25 ∙ 64.

A =16.07 u

2

Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a

la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y n=12.

N=

∆ x ∙

∑

i = 1

n

f ( a + i ∙ ∆ x )

A =

∑

i = 1

6

f

(

)

A =

∑

i = 2

6

f

(

)

A =

∑

i = 3

6

f

(

)

A =

∑

i = 4

6

f

(

)

A =

∑

i = 5

6

f

(

)

A =

∑

i = 6

6

f

(

)

f ( x )=− 2 x

2

• 7 x + 4

f ( 0.66 )=− 2 ( 0.66)

2

f ( 1.33 )=− 2 (1.33)

2

f ( 2 ) =− 2 ( 2 )

2

f ( 2.66 )=− 2 ( 2.66)

2

f ( 3.33 )=− 2 (3.33)

2

f ( 4 )=− 2 ( 4 )

2

A =

A =27.

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área

bajo la curva de la función f ( x )=− 2 x

2

• 7 x + 4 en el intervalo [0, 4], en donde

use una partición de n=12.

a = 0 b = 4 n = 12

∆ x =

b − a

n

∆ x ∙ ∑

i = 1

n

f ( a + i ∙ ∆ x )

A =0.33 ∙

∑

i = 1

12

f ( 0 + 1 ∙ 0.33 )=0.

A =0.33 ∙

∑

i = 2

12

f ( 0 + 2 ∙ 0.33 )=0.

A =0.33 ∙

∑

i = 3

12

f ( 0 + 3 ∙ 0.33)=0.

A =0.33 ∙

∑

i = 4

12

f ( 0 + 4 ∙ 0.33 )=1.

A =0.33 ∙

∑

i = 5

12

f ( 0 + 5 ∙ 0.33)=1.

A =28.

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con

respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6 y

n=12.

c.

d.

e. Sumas de Riemann

Ejercicio e.

i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del

área bajo la curva de la función

f ( x )= Sen ( x )

f ( 0,364607766977373) = Sen ( 0,364607766977373)=0,

( 0,495507460877373)= Sen ( 0,495507460877373)= 0,

f ( 0,626407154777373) = Sen ( 0,626407154777373)=0,

f ( 0,757306848677373) = Sen ( 0,757306848677373)=0,

f ( 0,888206542577373) = Sen ( 0,888206542577373)=0,

A =0.1308996939 ∙

A =¿

u

2

ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área

bajo la curva de la función

f ( x )= Sen ( x ) en el intervalo [

π

2 π

], en donde use

una partición de n=

Siga los siguientes pasos:

- Graficar la función f ( x ) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce (12)

rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área bajo la

curva

f ( x ) .

( x )= Sen ( x )

a=

π

=0,78539816339, b=

2 π

n=

∆ x =

b − a

n

2 π

π

π

A = ∆ x ∙ ∑

i = 1

n

f ( a + i ∙ ∆ x )

A =0,065449847 ∙

∑

i = 1

6

f ( ( 0,78539816339+ i )∗(0,1308996939))

A =0,065449847 ∙

∑

i = 1

6

f (( 0,78539816339+ 1 )∗(0,1308996939)¿)=0,233708073 ¿

A =0,065449847 ∙

∑

i = 2

6

f (( 0,78539816339+ 2 )∗(0,1308996939)¿)=0,364607766977373 ¿

A =0,065449847 ∙

∑

i = 3

6

f (( 0,78539816339+ 3 )∗( 0,1308996939)¿)=0,495507460877373 ¿

A =0,065449847 ∙

∑

i = 4

6

f (( 0,78539816339+ 4 )∗(0,1308996939)¿)=0,626407154777373 ¿

A =0,065449847 ∙

∑

i = 5

6

f (( 0,78539816339+ 5 )∗( 0,1308996939)¿)=0,757306848677373 ¿

A =0,065449847 ∙

∑

i = 6

6

f (( 0,78539816339+ 6 )∗(0,1308996939)¿)=0,888206542577373¿

A =0,065449847 ∙

∑

i = 7

6

f (( 0,78539816339+ 7 )∗( 0,1308996939)¿)=1,019106236 ¿

A =0,065449847 ∙

∑

i = 8

6

f (( 0,78539816339+ 8 )∗(0,1308996939)¿)=¿ ¿

iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con

respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n= 6

y n=12.

https://www.geogebra.org/classic

Desarrollo de los Ejercicios 3 a,b,c,d,e

a. Teorema de integración

( x )=

∫

cos x

sen x

1 − t

2

dt

F ( x )=

∫

ax

bx

f ( x ) dt = F

'

( x )= f ( b ( x ) )∗ b

'

( x )− f ( a ( x )) + a ' ( x )

F

'

( x )=

(

1 − sen

2

x

)

cosx −

(

1 −cos

2

x

)

− senx

F

'

( x )=

cosx

1 − sen

2

x

senx

1 −cos

2

x

F

'

( x )=

cosx

cos

2

x

senx

sen

2

x

F

'

( x )=

cosx

senx

F

'

x

= secx + cscx