¡Descarga Cálculo de integrales y sumas de Riemann y más Apuntes en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!
ACTIVIDAD UNIDAD 1 EL CONCEPTO DE INTEGRAL
ANDRA MIREYA RAVELO FERNANDEZ (EJERCICIOS E)
CÓDIGO: 1049644287
DIEGO DIAZ GUTIERREZ (EJERCICIOS A)
C.C 10575790736
CARLOS ANDRES ALFONSO CORREDOR (EJERCICIOS B)
CODIGO: 1057582376
JONATAN ORLANDO LINARES PÉREZ (EJERCICIOS C)
C.C. 1057598584
LUCERO ALEXANDRA MOGOLLON CALA–
CÓDIGO. 1.057.586.891( EJERCICIO D)
No. DE GRUPO: 100411_
NOMBRE TUTOR:
CRISTIAN CAMILO CASTEBLANCO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
CALCULO INTEGRAL
FECHA
INTRODUCCIÓN
comprender el concepto de anti derivada para determinar
integrales definidas e indefinidas aplicando el teorema
fundamental del cálculo, comprender la suma de riemann y
desarrollar cada uno de los ejercicios propuestos.
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS A, B, C, D Y E DEL TIPO
DE EJERCICIOS 1.
Ejercicio a. DIEGO DIAZ
4
3
4
2
4
2
[∫ 𝑥 − ∫
] →
[
2
− 𝑙𝑛𝑥] + 𝑐 →
2
1
2 ( 2 − √
1
1
2 𝑥
− 1
−
1
2
( 2 − √ 2 𝑥)
Reescribiendo
−
1
2 ( 2 − √
1
2 𝑑𝑥 − ∫( 2 𝑥)
1
2 𝑑𝑥 +
−
1
2 𝑑𝑥
𝑛
𝑛+ 1
3
2
3
2
) [𝑥
1
2
]
3
2
3
2
3
3
Ejercicio C. JONATHAN LINARES
c) ∫
𝟑
𝟐
Aplicamos las propiedades de las fracciones:
3
2
2
2
2
2
Aplicamos la regla de la suma:
2
2
Aplicamos regla de la potencia:
2
2
2
Sacamos la constante y aplicamos regla de integración:
2
2
∫ 𝑐𝑠𝑐
2
(𝑥) 𝑑𝑥 = −cot (𝑥)
∫ [
2
(𝑥)] 𝑑𝑥
Ejercicio e. ANDRA RAVELO FERNANDEZ
𝑒). ∫ (
√
2
5
√
5
) 𝑑𝑥
Lo primero que hacemos es mutiplicar dx y separamos las integrales.
∫
√
2
5
𝑑𝑥 ∫
√
5
𝑑𝑥
Resolvemos la primera integral
∫
√
2
5
− 2
5
∗ 𝑑𝑥
Aplicamos la solución de la integral que es al exponente de la variable le
suma 1 y resolvemos
3
5
3
5 = 5 𝑥
3
5
Resolvemos la segunda integral
∫
√
5
− 1
5 ∗ 𝑑𝑥
Aplicamos la solución de la integral que es: al exponente de la variable
le suma 1 y resolvemos
4
5 ∗ 𝑑𝑥 = 2 ∗
𝑥
4
5
1
4
5
=
2 ∗ 5 𝑥
4
5
4
=
10 𝑥
4
5
4
=
5 𝑥
4
5
2
Ahora restamos los resultados
3 / 5
5 𝑥
4
5
2
DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS A, B, C, D Y E DEL TIPO
DE EJERCICIOS 2.
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
Ejercicio a. DIEGO DIAZ
i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una
aproximación del área bajo la curva de la función
𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 6 en el intervalo [3, 7], en donde use una partición
de n=5.
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función 𝑓
en Geogebra.
- Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique
los seis (5) rectángulos que representan gráficamente la
aproximación del área bajo la curva 𝑓
ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una
aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 6
en el intervalo [3, 7], en donde use una partición de n=
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique
los doce (12) rectángulos que representan gráficamente la
aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).
Si i=3 f(X)=9,
Si i=4 f(X)=11,
Si i=5 f(X)=
Por lo tanto, el área bajo la curva será igual a
[ 6 , 6 + 8 , 2 + 9 , 8 + 11 , 4 + 13 ]
5
𝑖= 1
2
Gráfico en GeoGebra
PARA n=
Primero calculamos ΔX
Donde
a= límite inferior
b= límite superior
A partir de la siguiente formula
𝑛
𝑖= 1
Reemplazando con los valores ya conocidos
12
𝑖= 1
Para cada una de las particiones de la sumatoria
Si i=1 f(X)=17/
Si i=2 f(X)=19/
Si i=3 f(X)=
Si i=4 f(X)=23/
Si i=5 f(X)=25/
Si i=6 f(X)=
Si i=7 f(X)=29/
Si i=8 f(X)=31/
Si i=9 f(X)=
Si i =10 f(X)=35/
Si i=11 f(X)=37/
Si i=12 f(X)=
Por lo tanto, el área bajo la curva será igual a
[
]
ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una
aproximación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) =
2
- 1 en el intervalo [0, 2], en donde use una partición de
n=
Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra. - Tome un pantallazo de la gráfica. - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique
los doce (10) rectángulos que representan gráficamente la
aproximación del área bajo la curva 𝑓(𝑥).
iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el
resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando
la suma de Riemann con n= 5 y n=10.
(𝑥)
𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
(𝑎+𝑘△𝑥)△𝑥
𝑛
𝑘− 1
𝑏
𝑎
2
+ 1 𝑛 = 5 [ 0 , 2 ]
2
𝑛
𝑘 2
𝑛
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠 lim
𝑛→∞
(𝑎+𝑘△𝑥)△𝑥
𝑛
𝑘− 1
2
2
𝑛
𝑘− 1
2
3
2
𝑛
𝑘− 1
2
2
EJERCICIO 2. Sumas de Riemann
c)JONATHAN LINARES
i. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙
𝟑
+ 𝟏 [𝟎, 𝟑] 𝒏 = 𝟔
𝑛 1 = 𝑎 𝑛 2 = 𝑎 + ∆𝑥 𝑛 3 = 𝑎 + 2 ∆𝑥 𝑛 4 = 𝑎 + 2 ∆𝑥 𝑛 5 = 𝑎 + 2 ∆𝑥 𝑛 6 = 𝑎 + 2 ∆𝑥
0 0,5 1 1,5 2 2,
Hallamos el área total:
Tenemos la base = ∆𝑥 y la altura= f(x)
𝐴 = ∆𝑥[( 4 𝑛 1
3
3
3
3
3
3
+ 1 )]
[
]
ii. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙
𝟑
+ 𝟏 [𝟎, 𝟑] 𝒏 = 𝟏𝟐
n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11 n
La diferencia que se presenta entre las dos áreas dadas con n=6 y n=12 es:
Tendremos de esta manera que entre más particiones se tengan, la aproximación del área
bajo la curva será mas precisa.
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
EJERCICIO D LUCERO ALEXANDRA MOGOLLON
(Sumatoria de i=1 hasta n) ∑ 𝑓(𝑥_𝑖)𝛥𝑥 = 8 / 3 𝑢²
Suma de Riemann es la aproximación del área bajo la curva en un intervalo.
Sea, 𝑓(𝑥) = |𝑥² − 1 | en el intervalos [-1, 2] con n = 8;
La n-ésima Suma de Riemann:
(Sumatoria de i=1 hasta n) ∑ 𝑓(𝑥_𝑖)𝛥𝑥
f(x) Se define como;
−(𝑥² − 1 ) 𝑠𝑖 𝑥² − 1 < 0 𝐸𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [− 1 , 1 ]
𝑥² − 1 𝑠𝑖 𝑥² − 1 ≥ 0 𝐸𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [ 1 , 2 ]
El área bajo la curva es la suma de las sumas de Riemann de los intervalos.
Para intervalo [-1, 1]:
Calculo de Δx;
[− 1 , 1 ] 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑎 = − 1 , 𝑏 = 1 ;
Calculo de x_i;
𝑥_𝑖 = 𝑎 + 𝑖𝛥𝑥
Sustituir;
𝑥_𝑖 = − 1 + 2 /𝑛 𝑖
𝑥_𝑖 = − 1 + 2 𝑖/𝑛
∑ 𝑓(𝑥_𝑖)𝛥𝑥 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟;
= ∑ [ 1 − (− 1 + 2 𝑖/𝑛)²] 2 /𝑛
Aplicar binomio cuadrado:
= ∑[ 1 − ( 1 − 4 𝑖/𝑛 + 4 𝑖²/𝑛²)] 2 /𝑛
Por propiedades de sumatorias separar;
