calculo integral de una variable, Apuntes de Cálculo

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C¡LCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE

TEMA 2: C·lculo Integral en una variable

C·lculo para los Grados en IngenierÌa

EPIG - UNIOVI

C¡LCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE INTEGRALES IMPROPIASINTEGRALES PARAM…TRICAS APLICACIONES GEOM…TRICAS

DeÖniciones

I (^) FunciÛn primitiva

Decimos que la funciÛn F (x ) es una funciÛn primitiva de f (x ) si

F 0 (x ) = f (x )

para todo punto x del dominio de f.

I (^) FunciÛn integral indeÖnida

Dada la funciÛn f , se llama funciÛn integral indeÖnida de f al conjunto de todas sus funciones primitivas. Se suele escribir Z f (x )dx = F (x ) + C

con C constante arbitraria, y F una primitiva cualquiera de f.

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Integrales inmediatas

Z (^) dx

1 x^2

ln

1 + x 1 x

+ C

Z (^) dx

a^2 x^2

2 a

ln

a + x a x

+ C

Z (^) dx p 1 x^2

= arcsen x + C

Z (^) dx p a^2 x^2

= arcsen

x a

+ C

Z dx p x^2  1

= ln x +

p x^2  1 + C

Z sh xdx = ch x + C Z dx p x^2  a^2

= ln x +

p x^2  a^2 + C

Z ch xdx = sh x + C

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Propiedades

I (^) Linealidad de la integral Dadas dos funciones f y g que admiten primitiva y una constante k 2 R se veriÖca

i )

Z (f^ (x^ ) +^ g^ (x^ )) dx^ =

Z f (x )dx +

Z g (x )dx

ii )

Z kf (x )dx = k

Z f (x )dx

I (^) Propiedad Dada una funciÛn f (x ) que admite primitiva y dos constantes a, b 2 R se veriÖca

Si

Z f (x )dx = F (x ) + C )

Z f (ax )dx =

a

F (ax ) + C

Si

Z f (x )dx = F (x ) + C )

Z f (x + b)dx = F (x + b) + C

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Cambio de variable

Sea ϕ (t) una funciÛn con derivada ϕ^0 (t) continua y que admite inversa, y sea f (x ) una funciÛn continua. Entonces, haciendo x = ϕ (t), se tiene Z f [ ϕ (t)] ϕ^0 (t)dt =

Z f (x )dx

Una vez resuelta la integral en la nueva variable (la cual se supone m·s sencilla) debe deshacerse el cambio realizado.

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IntegraciÛn por partes

Dadas dos funciones derivables u y v se veriÖca Z udv = uv

Z vdu

Como îreglaî general la integraciÛn por partes es recomendada para inte- grales de la forma

polinomio
funciÛn logarÌtmica polinomio
funciÛn trigonomÈtrica inversa dv u

y tambiÈn de la forma

polinomio
funciÛn exponencial polinomio
funciÛn trigonomÈtrica u dv

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Integrales de funciones racionales

FunciÛn racional expresada como cociente (fracciÛn simpliÖcada y propia) de dos polinomios Q(x ) f (x )

I (^) MÈtodo: DescomposiciÛn en fracciones simples seg˙n las raÌces del denominador

f (x ) = 0

A cada:

1 ) RaÌz real simple a le corresponde una fracciÛn: A (x a)

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Integrales de funciones racionales

A cada: 2 ) RaÌz real m˙ltiple a de orden n le corresponden n fracciones: An (x a)n^

An 1 (x a)n^1

A 1

(x a)

3 ) Par de raÌces complejas conjugadas simples le corresponde una fracciÛn: Ax + B x^2 + px + q

4 ) Par de raÌces complejas conjugadas m˙ltiples de orden n le corresponden n fracciones: An x + Bn (x^2 + px + q)n^

An 1 x + Bn 1 (x^2 + px + q)n^1

A 1 x + B 1 x^2 + px + q

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IntegraciÛn de funciones reducibles a racionales

Integrales del tipo (^) Z R(f (x ))dx

con R una funciÛn racional y f una funciÛn cuya inversa tiene derivada racional. I (^) Para este tipo de funciones, el cambio de variable

f (x ) = t

transforma la integral en racional.

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IntegraciÛn de funciones trigonomÈtricas

Integrales del tipo (^) Z R(sen x, cos x )dx

con R funciÛn racional. I (^) Cambio universal Se pueden reducir siempre a una integral racional con el cambio de variable

tg(

x 2

) = t

sen x =

2 t 1 + t^2

; cos x =

1 t^2 1 + t^2

; dx =

2 dt 1 + t^2

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IntegraciÛn de funciones trigonomÈtrica

I (^) MÈtodos Alternativos iv) Las integrales Z sen ax cos bxdx;

Z sen ax sen bxdx;

Z cos ax cos bxdx

se tranforman en integrales inmediatas mediante las fÛrmulas 2 sen A sen B = cos(A B) cos(A + B) 2 cos A cos B = cos(A B) + cos(A + B) 2 sen A cos B = sen(A B) + sen(A + b) v) Las integrales del tipo Z senn^ xdx;

Z cosn^ xdx

siendo n un exponente positivo y par, se simpliÖcan mediante las fÛrmulas

sen^2 x =

1 cos 2x 2

; cos^2 x =

1 + cos 2x 2

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IntegraciÛn de algunas funciones irracionales cuadr·ticas

Las integrales del tipo Z R(x,

p a^2  x^2 )dx y

Z R(x,

p x^2 a^2 )dx

con R funciÛn racional se pueden reducir a alguno de los tipos analizados anteriormente mediante los siguientes cambios de variable:

R(x,

p a^2 x^2 ) se resuelve con el cambio x = a sen t Û x = a cos t

R(x,

p a^2 + x^2 ) se resuelve con el cambio x = a tg t Û x = a sh t

R(x,

p x^2 a^2 ) se resuelve con el cambio x = a sec t Û x = a ch t

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DeÖniciÛn de la integral de Riemann

y

x 0 a=x 0 x 1 x 2 x =b 7

y=f x ( )

x 3 x 4 x 5 x 6

Areas

Particiones P 0

M(b-a )

… …

m(b-a ) P 1 P 2 P 3 P 4

S 1 S 2 S (^3) S 4 s 1^ s^2

s 3 s 4

Suma inferior y suma superior. SucesiÛn de sumas.

Repetimos indeÖnidamente este proceso con particiones P 3 , P 4 , ... cada vez m·s Önas.

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DeÖniciÛn de la integral de Riemann

I (^) FunciÛn integrable en el sentido de Riemann

Cuando m^ lim!∞sm^ =^ s^ =^ mlim!∞Sm^ =^ S se dice que la funciÛn y = f (x ) es integrable (en el sentido Riemann) en el intervalo [a, b].

A dicho valor com˙n s = S se le denomina integral deÖnida seg˙n Riemann y se le representa por (^) Z b a

f (x )dx