Cálculo integral I, Apuntes de Análisis Matemático

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TEMA 6

CÁLCULO INTEGRAL

Parte I:

La integral definida; cálculo de

superficies, variables flujo y variables

stock

Superficie bajo el gráfico de una función f(x):

caso f(x)= constante

f ( ) x  Cte

Cte

Llamamos integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b] a la superficie encerrada entre el gráfico de f y el intervalo [a,b] del eje de abcisas

a b

b

a

^ f

Se llama función integral de f(x) a la función ( )

x

a

I x   f que resulta cuando se hace

variar el extremo superior del intervalo de una integral definida. La propiedad fundamental de la función I(x) es la siguiente: ( ) ( )

dI x f x Cte dx

 

Demostración: 0 ( ) ( ) ( ) lim (^) x

dI x I x x I x dx^   x

     

La función integral I(x) se obtiene haciendo variar x

f ( ) x  Cte

Cte

a x

( )

x

a

I x   f

x   x

 x Cte^  f^ ( ) x

Una demostración analítica: ( ) ( ) ( ) ( )

dI x I x x a Cte Cte f x dx

     

Por ser la derivada de I(x) igual a f(x) se dice que I(x) es una primitiva de f(x)

Aplicaciones: Cálculo de superficies

Calcula la superficie del recinto A indicado en la figura

 1 1

f ( ) x  x^2

A

Podemos usar la integral definida

1 2 1

x 

 para calcular la superficie de S

Cálculo Superficie del recinto S bajo el gráfico de x^2.

S

La superficie de A se calcula como diferencia del rectángulo R y el recinto S bajo el gráfico de f(x)=x^2

a

b ; a  f ( 1)  ( 1) 2  1

R

A  R  S R  a  b ; b  2  R  2  1  2

¡Busca una primitiva de x^2!

3

3

^ x Pero también 3 3 3 son primitivas de x^2 1; 10; 3 3 3

x x x    C

Si encontramos la primitiva I(x) entonces I(1)=

1 2 1

x S 

^ 

Todas las funciones

3

3

x  C son primitivas de^ x^2 ¿ Cuál de ellas es^2? 1

( )

x I x x 

I(-1) =

1 2 1

x





 ^0

( 1)^3 1 0 0 3 3 3

C C C

         

(^3 1 ) ( ) (1) 3 3 3

x  I x    I   S

A=R-S=2-2/3=4/

Por el teorema fundamental del cálculo integral I(x) = es una primitiva de x^2_._ 2 1

x

 ^ x

Regla de Barrow para el cálculo de la

integral definida

¿Cómo encontrar el valor de una integral definida?

b

a

^ f

La idea: Encontrar la función integral (^) ( ) y calcular I(b)

x

a

I x   f

Paso 1: Por el teorema fundamental I(x) es una primitiva de f(x). Buscamos una primitiva F(x) de f(x).  F '( ) x  f ( ) x Problema: Todas las funciones F(x)+C son también primitivas de f(x). ¿ Será alguna de ellas la que nosotros buscamos, I(x)? Pista: I(x) es la superficie entre el gráfico de f y el intervalo [a,b] en el eje x. Por tanto

( ) 0

a

a

I a   f 

Paso 2. Selección de la primitiva F(x)+C adecuada. Ajustamos C para que se cumpla F a ( )  C  I a ( )  0  C   F a ( ) Concluimos que si C=-F(a), F(x)+C=F(x)-F(a)=I(x)

Conclusión: ( ) ( ) ( )

b

a

I b   f  F b  F a

Regla de Barrow

Donde F es cualquier primitiva de f

Ejemplo:

(^1 3 13 ) 2 (^1 )

1 ( 1) 2 3 3 3 3

x x  (^) 

    (^)       

Se suele escribir^ ( )^

b F x a

Propiedades de la integral definida

1. Integral de la suma de funciones

b b b

a a a

^ f^ ^ g^ ^  f^  g

Esta propiedad se usa mucho para el cálculo de

b

a

^ f^  g

Ejemplo: Calcular la superficie del recinto S indicado 2

g (2)  (^4) g x ( )  x 2

f ( ) x  2 x

S

2 2 2 0 0

S   f  g   2 x  x 

2 2 2 0 0

 2 x^ ^  x 

3 2 2 2 0 (^30)

x x

    (^)  (^)     

8 4 4 0 0 3 3

    b b

a a

^ Kf^  K^  f

2. b

a

^ f a b

2 2

b b

a a

^ f^   f

2 2

b b

a a

 ^^ f^    f

Ojo: Las integrales definidas son negativas si la función a integrar lo es. Otro Ejemplo 2

0

sin x 0



^ 

b c c

a b a

3.  f  (^)  f  f  

a b c

b a

a b

^ f^   f

 

(^2 ) 0 0

sin x cos x cos(2 ) cos(0) 0

 

  ^  ^  ^ 

La integral como suma infinita de

infinitésimos

Pepe tiene una placa de energía solar fotovoltaica. Un dispositivo le permite saber la cantidad de energía por unidad de tiempo W(t) producida por su placa en cada instante t. ¿ Cómo puede saber el total de energía producido entre un instante a y un instante b?

W(t) es la flujo instantáneo de producción de energía. La cantidad de energía producida por la placa en un intervalo de tiempo dt transcurrido a partir del instante ti ,

viene dada por¿? E t ( ) i W t ( ) i dt

Esto es cierto sólo si dt es un pequeño intervalo de tiempo, suficientemente pequeño para que E(t) no haya variado durante sustancialmente ese instante. Entonces, si dt es

pequeño  E t ( ) i W t ( ) i dt

W t ( )

a t b ti

dt

W t ( ) i

Si ahora partimos el intervalo [a,b] en numerosos trocitos, muestreando el contador en numerosos instantes ti, la energía total producida será ( ) i ( ) i i i i

 E    E t  W t dt

Cuando las tienden a cero, para lo cual debemos tomar una cantidad de sumandos que tiende a infinito, se obtiene

dti

lim (^) i 0 ( )

b dt i i a i

^ W^ ^   W t^ dt ( )

b

a

  W t dt

Notación de la integral definida como suma de infinitos infinitésimos

Aplicaciones:Variables flujo y variables

stock o acumuladas

En el ejemplo de la placa solar, la energía por unidad de tiempo, medida por el contador, es una variable flujo. Las variables flujo están medidas siempre en unidades de cierta magnitud (por ejemplo energía) por unidad de tiempo. Muchas variables económicas son de este tipo: Consumo C , demanda D , oferta S, inversión I , importaciones, exportaciones, son de este tipo. Se miden como consumo diario (periódicos, metro), demanda anual (servicios turísticos, vivienda, inversión anual (bienes de equipo, carreteras, inmuebles) etc. Asociada a cada variable flujo está su variable stock o función acumulada , que mide la cantidad total de unidades consumidas, demandadas, producidas, invertidas.... en un periodo determinado t 0 ,t1. La relación que existe entre una variable flujo y una variable stock es la misma que entre una función derivada (variable flujo) y su primitiva (variable stock o acumulada). Si f es una variable flujo y F su variable stock se tendrá 1

0

( ) ( ) 1 ( 0 )

t

t

^ f^ x dx^ ^ F t^  F t

Observación: La fórmula de arriba, como la aproximación diferencial, también , mide la variación de una función. Pero con tres diferencias:

b) La fórmula integral es exacta , la diferencial sólo aproximada

a) La aproximación diferencial es válida sólo para variaciones infinitesimales de la variable, la fórmula integral vale para variaciones cualesquiera.

c) La fórmula integral se suele aplicar para calcular la variación de una variable acumulada desconocida (energía total producida por la placa) a partir su flujo conocido (lectura de la energía por unidad de tiempo dada por el contador). En la aproximación diferencial la variable independiente no tiene porqué ser el tiempo , y se suele conocer la primitiva , usándose la derivada para obtener información sobre las variaciones de la primitiva.

Ejemplo: Capital acumulado por un flujo

de inversión

A lo largo de un ciclo de cinco años de crecimiento de una economía, la inversión mensual en bienes de capital ha venido dada por I(t) = 1- exp(-0.1t). A) ¿Cuál ha sido la cantidad total acumulada de capital en ese periodo?.

Teniendo en cuenta que la unidad de medida de tiempo es el mes, debemos calcular  K  K (60)  K (0) Como el flujo del capital es la inversión, (^) K t ( )  I t ( ), se tiene por la regla de Barrow 60 60 60 0.1 0. 0 0 0

K (60)  K (0)   (1  e ^ t^ ) dt   1  dt  e  tdt  

0.1^60 60 0 0.1 0

e^ t t

 ^     (^)     

K (60)  K (0)  (60  0)  ( 10 e ^6  10)  50  10 e ^6 50.

La fórmula más básica del cálculo primitivas dice que la primitiva de la constante 1 es t (comprueba que t’=1) , y por tanto   (^ )

b^ b

a (^) a

^ dt^ ^ t^ ^ b^  a

Comprueba que

t e (^) e t     ^       Finalmente obtenemos

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES ( ) ( )( ) Si :[ , ] esuna funcióncontinua,entoncesexisteun [ , ]talque f x dx f c b a f a b c a b b a      R TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES       b a b a f x g x dx f c g x dx c a b f g a b g x x a b ( ) ( ) ( ) ( ) entoncesexisteun [ , ]talque Si y sonuna funcionescontinuasen[ , ]y ( ) 0 para todo [ , ], RECORDAMOS…TEOREMA DEL VALOR MEDIO b a f b f a c a b f c f a b a b      ( ) ( ) entoncesexisteun [ , ]talque '( ) Si :[ , ] R esunafuncióncontinua yderivable en( , ),

Características de la función integral

Una placa solar produce W(t)=0.2t(12-t) kilowatios en el instante t (medido en horas), entre las 8 a.m. (t=0) y las 8 p.m. (t=12) si no hay nubes. Una capa fina de nubes ha reducido al 50% la producción entre las 2 y las 8 p.m. A) Encuentra la función E(t) que da el total de energía producida entre las 8 a.m. y la hora t. B) Estudia si es E(t) es contin ua en el punto de discontinuidad de W(t), t=6 (2 p.m.). Ahora nos piden la función stock (función integral) de una función W(t) discontinua: ( ) 0.2 (12 ),0 6 ( ) 0.05 (12 ),6 12

W t t t t

W t t t t

       

W t ( )

0  t  6  E t ( )  0.2 (12 s  s^2 ) ds 

2 3

0

12

2 3

t  s s   ^    

1.2 2 0.2^3 3

 t  t

( ) 0 6

E t  t 

0

6 12 ( ) ( )

t

 t   E t   W s ds 

Y en particular

Como t >6 W(t) tiene expresiones distintas para t<6 y para t>

(6) 1.2 62 0.2 63 28. 3

E      6 2 2 0 6

0.2(12 ) 0.05(12 )

t

^ s^ ^ s^ ds^ ^  s^  s^ ds

E (6) 28.

2 3 2 63 28.8 0.3 0.05 0.3 6 0. 3 3

t  t    

2 3

6

t

 s s 

B) E(t) continuo en t=  lim (^) t  6 E t ( )  E (6)  lim (^) t  6 ( E t ( )  E (6))  0 

t Cierto, pues cuando t tiende a 6 la región amarilla se anula

TEOREMA : Para la existencia de la función integral son condiciones suficientes: a) Que f(t) este acotada (superior e inferiormente) (en caso contrario la función integral se podría hacer infinita ) y además b) Que f(t) sea continua en todos los puntos o bien continua a trozos En estas condiciones F(t) siempre existe y es continua. Si, adicionalmente, f(t) es continua en todos los puntos , F(t) es derivable y su derivada es f(t) (teorema fundamental del cálculo integral) Si f(t) sólo es continua a trozos , F(t) no es derivable en los puntos de salto , pero si lo es en todos los demás puntos

( ) ( )

t

a

F t   f s ds

m  f t ( )  M

Cota inferior Cota superior

C ontinua a trozos con discontinuidades en t=1,1.5,2,3,4,6. No pertenece a ninguna clase Cn

t F t  (^)  f s ds

Continua pero no derivable en los puntos de discontinuidad de f. Tampoco es C^1

0

( )

t ^ F s ds

Derivable con derivada continua. Clase C^1

f t ( )

Efecto suavizador de la función integral. ¿A qué clase Cn^ pertenece cada función?