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Documento que presenta conceptos básicos de cálculo integral, incluyendo funciones, derivadas y integrales. Se explican conceptos como la definición de integral, el teorema fundamental del cálculo integral y se dan ejemplos de integración por partes y integrales definidas.
Tipo: Apuntes
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Este material puede descargarse desde http://www.uv.es/~montes/biologia/tema1.pdf
La idea de función es uno de los conceptos más básicos en matemáticas. Una función expresa la idea de una cantidad que depende de otra o viene determinada por otra. Por ejemplo:
a. El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado; si conocemos la longitud c del lado de un cuadrado, su área es: A = c 2. b. El volumen de una esfera depende de su radio r: V = 43 π r 3. c. El crecimiento medio de ciertas especies de plantas depende de la edad de la planta. d. La respuesta de un nervio depende de la magnitud de los estímulos aplicados.
Vamos a dar una definición formal de una función.
Definición : Una función real de variable real es una aplicación definida en un subconjunto de valores reales, D⊆R, que asigna a cada elemento de D un único valor en R. La denotaremos:
f: D → R x f(x) Notemos que x∈D⊆R (variable o argumento) y f(x)∈R.
Denotemos por f una función dada. El conjunto D (normalmente es el máximo subconjunto de R para el que f(x) está bien definida, i. e., f(x)∈R) se denomina el dominio de la función f y se denota por D (^) f.
Generalmente nos encontraremos con funciones que se expresan estableciendo el valor de la función por medio de una fórmula algebraica en términos de la variable independiente. Por ejemplo: f(x) = x^2 + 3 x + 7, g(t) = 2
t
t , etc.
En la mayoría de lo casos la función se puede representar por su gráfica. La gráfica de una función se obtiene dibujando todos los puntos (x,y) donde x pertenece al dominio de f e y = f(x), tratando x e y como coordenadas cartesianas.
Cualquier curva dada (o conjunto de puntos) en el plano xy es la gráfica de alguna función, suponiendo que cualquier línea vertical corta la gráfica en, como máximo, un
Sea x la distancia en Km. a lo largo de cierta ruta de migración de pájaros. A lo largo de la ruta hay fuentes de alimentos al principio (x = 0), en x = 400 y al final, en x =
alimento en x = 0 es x, y su distancia a la fuente de alimento en x = 1000 es igual a (1000 - x). La distancia a la fuente de alimento en x = 400 es igual a | x - 400 |. La función f(x) es igual a la más pequeña de estas tres distancias. Las gráficas de estas tres funciones se muestran en la Figura 1.3. La gráfica de f(x) aparece como una línea más gruesa en la figura. Podemos ver que f(x) viene dada por
f(x) = si ⎪⎩
x
x
x
1000
x
x
x
400 1000
y = | x - 400 |
y = x
y = | x - 400 |
y y = 1000 - x
x
Figura 1. El valor máximo de f(x) ocurre en x = 700, para el que f(x) = 300. Por tanto, la distancia máxima a una fuente de alimentación es 300 Km.
Operaciones con funciones: Dadas dos funciones f y g con dominios D (^) f y Dg respectivamente, definimos las
siguientes funciones: Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df ∩ Dg. Resta: (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df ∩ Dg. Producto: (f. g)(x) = f(x). g(x) Df .g = Df ∩ Dg. Cociente: (^) gf (x) = g(x)f(x) Df/g = [ Df ∩ Dg ] - { x : g(x) = 0 } Composición: (f o^ g)(x) = f[ g(x) ] D (^) fog = { x : x∈Dg y g(x)∈Df }
Definición. Sea y = f(x) una función definida en un intervalo ]a,b[ y sea x 0 ∈ ]a,b[, se dice que f(x) es contínua en el punto x 0 si f(x)=f(x x x 0 lim → 0 ).
Sea una variable x de la cual consideramos dos valores x 1 , x 2. A la cantidad ∆x = x (^2)
Como x 2 = x 1 + ∆x, tenemos que ∆y = f(x 2 ) - f(x 1 ) = f( x 1 + ∆x ) - f(x 1 ) luego ∆y = f( x + ∆x ) - f(x)
y
y
x x x
(^1 )
1
2
y
y x
1 2
1
2 x (^) x (a) ∆y > 0 (b) ∆y < 0. Figura 2.1.
Ejemplo: El tamaño de una población de insectos en el instante t (medido en días) es f(t) = 5000 - 1 + t
(^3000). Determinar el cambio de la población para t = 2 y ∆t = 3, i. e.,
la diferencia de población entre los días 2 y 5.
La población ha aumentado en 500 insectos en 3 días.
¿Qué queremos decir con velocidad de un objeto en un instante de tiempo (o velocidad instantánea como se conoce usualmente)?. La velocidad se define como la distancia recorrida en un cierto intervalo de tiempo dividida por la longitud del tiempo. Pero si nos referimos a la velocidad en un instante particular de tiempo, deberíamos de considerar un intervalo de tiempo de duración cero. No obstante, durante ese intervalo, la distancia recorrida sería cero, y para la velocidad, distancia dividida por tiempo,
obtendríamos 00 , una cantidad que no quiere decir nada.
Para definir la velocidad instantánea de un objeto en movimiento en un cierto tiempo t, hacemos: durante cualquier intervalo de tiempo desde t hasta t + ∆t, se recorre un
incremento de distancia ∆s. La velocidad media es t
s ∆
∆ (^). Si el incremento ∆t se toma
más y más pequeño, el correspondiente intervalo de tiempo es muy corto. En
consecuencia es razonable suponer que la velocidad media t
s ∆
∆ (^) en ese intervalo tan
corto estará muy próxima a la velocidad instantánea en el tiempo t. Además, cuanto más corto sea el intervalo, mejor se aproximará la velocidad media a la velocidad instantánea. Ejemplo: El tamaño (peso) de una población de bacterias en un tiempo t (en minutos) viene dado por: w(t) = 2t^3 mg Encontrar la razón de crecimiento instantáneo de w en t = 2 min.
(^2) + 12∆t + 24
Por tanto, el crecimiento instantáneo en t = 2:
t
lim w t (^) ∆
Así, la población a los 2 minutos, crece con una velocidad de 24 mg/min.
Definición : Dada y = f(x), la derivada de la función f en el punto x es la razón de crecimiento instantáneo en x. Es decir:
y '= f ' (x) = dydx = (^) ∆ limx → 0 ∆ ∆yx = (^) ∆ limx → 0 x
f x x f x ∆
Si este límite no existe, se dice que la función f no es derivable en el punto x.
Interpretación geométrica: La derivada de una función en un punto se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
pendiente de la tangente = mtag = (^) ∆ limx → 0 ∆ ∆yx = dydx.
Ejemplo: Encontrar la pendiente de la tangente a f(x) = x^2 en el punto (2,4). ∆y ∆ limx → 0^^ ∆x =^ ∆ limx → 0^ x
f x x f x ∆
∆ limx → 0^ x
x x x ∆
= (^) ∆ limx → 0 x
x x x x x ∆
(^2) + 2 ∆ +(∆ )^2 − (^2) = 2x
Por tanto, f ' (x) = 2x y f ' (2) = 4 = m (^) tg. La recta tangente es: y - y 1 = m ( x - x 1 ) luego y - 4 = 4 ( x - 2 ), luego y = 4x - 4.
Propiedades:
a) Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en x. Entonces: 1.- Si c es una constante, dx
d ( cf ) = c df dx. 2.- dx
d ( f ± g ) = df dx ±
dg dx. 3.- dx
d ( f • g ) = f • dg dx + g^ •^
df dx.
g
f dx
d (^) = g
dx
f dg dx
g df 2
b) Si y = f(u) es una función de u y u = g(x) es una función de x, entonces: dy dx =
dy du •^
du dx
Derivadas de funciones elementales:
1.- Función constante f(x) = c: f ' (x) = 0
2.- Función potencia f(x) = xp^ , p∈R: f ' (x) = p • xp-
3.- Función logarítmica f(x) = loga(x), a > 0 : f ' (x) = x ln a
Si y = f(t) es una función del tiempo t, entonces como hemos visto, la derivada dydt = f
' (t) representa la razón en la cual cambia. Por ejemplo, si s = f(t) es la distancia
recorrida por un objeto en movimiento, entonces dsdt = f ' (t) da la razón del cambio de la
distancia o, en otras palabras, la velocidad instantánea del objeto. Denotemos esta velocidad por v. Entonces v es también una función de t, y puede ser derivada para
obtener dvdt. Esta cantidad representa la razón en la cual la velocidad cambia, es decir,
la aceleración del objeto en movimiento. Para calcular la aceleración, hemos de derivar s y después derivar el resultado una vez más. Tenemos:
Aceleración = dv dt =^ ⎟⎠
dt
ds dt
d (^).
Aceleración se llama a la segunda derivada de s respecto a t y usualmente se denota
por f"(x) o, también por d
(^2) s dt 2. Vamos a examinar las derivadas de orden superior en general. Sea y = f(x) una función dada de x con derivada dydx = f ' (x). Técnicamente, ésta se denomina la primera
derivada de y respecto a x. Si f ' (x) es una función derivable de x, su derivada se denomina segunda derivada de y respecto a x. Si la segunda derivada es una función derivable de x, su derivada es la tercera derivada de y respecto de x , etc. Las derivadas de orden superior de y respecto de x se denotan por: dy dx ,
d^2 y dx^2 ,
d^3 y dx^3 , ...,
dn^ y dxn, o y ', y", y"', ..., y^
(n) (^) , o f ' (x), f"(x), f"'(x), ..., f(n)(x).
De la definición de derivadas de orden superior, tenemos que d^2 y dx^2 =^ ⎟⎠
dx
dy dx
d (^) , d^3 y dx^3 =^ ⎟⎟⎠
d x
d y dx
d 2
2 , etc.
Ejemplos: Encontrar las derivadas primera, segunda y tercera de: 1.- y = ax^. y ' = a x^ • ln a, y" = a x^ • (ln a)^2 , y’’’= ax^ • (ln a)^3
2.- y = sen x. y ' = cos x , y" = - sen x , y"' = - cos x
Hemos visto que si s(t) es la distancia recorrida en el tiempo t por un objeto en movimiento, entonces la velocidad instantánea es v(t) = s'(t), la derivada de s(t). Para calcular v, simplemente derivamos s(t). No obstante, puede ocurrir que ya conociéramos la función velocidad v(t) y quisiéramos calcular la distancia s recorrida. En tal situación, conocemos la derivada s'(t) y necesitamos encontrar la función s(t), la operación inversa a la derivación.
Definición : El proceso de encontrar la función cuando se da su derivada se denomina integración , y la función se denomina la integral o primitiva de la derivada dada. Si
f(x) es la derivada de F(x), esto es dFdx = f(x), entonces F(x) es una primitiva de f(x).
Escribimos esto en la forma:
∫ f^ ( x ) dx^ = F(x),
La función f(x) que ha de integrarse se denomina integrando. Para calcular , hemos de pensar en una función F(x) cuya derivada es f(x).
Por ejemplo, para calcular , buscaremos una función cuya derivada sea 2x. Dado
que
∫ f^ ( x ) dx ∫ 2 xdx
dx
d (^) x (^2) = 2x, concluimos que ∫ 2 xdx = x^2. No obstante, hemos de observar que esta respuesta no es la única ya que la función (C + x^2 ), para cualquier constante C, es una primitiva de 2x. Escribimos
∫ 2 xdx^ = x^2 + C. La constante C, que puede tomar cualquier valor arbitrario, se denomina constante de integración. En general podemos decir que si F'(x) = f(x), entonces el conjunto de todas las primitivas de f(x) viene dado por
∫ f^ ( x ) dx^ = F(x) + C,^ donde C es una constante arbitraria. Ya que la constante es arbitraria, la integral así obtenida es conocida como integral indefinida. De la definición de integral, tenemos que
[∫ f xdx ] dx
d (^) ( ) = f(x),
es decir, el proceso de integración y diferenciación se neutralizan mutuamente. Tabla de integrales inmediatas:
Sea p(t) el tamaño de la colonia en el instante t. Sabemos que p'(t) = t
10 ( t + 2 ).
Como p(t) es la primitiva de p'(t), tenemos que
p(t) = (^) ∫ t
10 ( t + 2 ) dt = 10 • dt t ∫ (^1 +^2 ) = 10^ •^ [^ t + 2^ •^ ln | t | + C^ ],
donde C es la constante de integración. Sabemos también que cuando t = 1, p(1) = 20. Por tanto, haciendo t = 1, obtenemos:
Por tanto, 1 + C = 2, ó C = 1. Consecuentemente podemos sustituir este valor de C dentro de la expresión de p(t), obteniendo que:
2 .- Durante las horas de luz del día la velocidad de migración de la oca viene dada por
3 v = 20 − t (millas por hora), donde t es el tiempo medido en horas empezando con t = 0
al alba. ¿Cuántas millas ha recorrido la oca hasta el instante t?. ¿Hasta dónde llegará la oca volando en 12 horas?
s'(t) = 3 20 − t. Integrando, encontramos s(t): s(t) = (^) ∫ ⎟ ⎠
20 t^ dt = 20t -^13 • (^) ⎟ ⎠
⎛ (^) t 2 2
Para determinar el valor de C, hacemos t = 0, ya que sabemos que s(0) = 0. Encontramos que:
s(0) = 0 = 20 • 0 -^16 (0) 2 + C,
de lo que deducimos que C = 0. Por tanto,
s(t) = 6
t^2 t − ,
que nos da la distancia recorrida hasta el instante t. Para encontrar la distancia volada en 12 horas, hacemos t = 12. Obtenemos s(12) = 20 • 12 -^16 (12)^2 = 240 - 24 = 216.
No todas las integrales pueden resolverse directamente usando las integrales inmediatas anteriores. A menudo la integral dada puede reducirse a una integral inmediata ya conocida mediante un cambio de variable de integración. Tal método se denomina método de sustitución y corresponde a la regla de la cadena en derivabilidad.
Teorema : Si F'(x) = f(x), entonces ∫^ f[g(x)]^ •^ g'(x) dx = F[g(x)] + C para cualquier función diferenciable g(x) que no sea una función constante.
Ejemplos: 1.- (^) ∫ (x^2 + 3x - 7) 5 • (2x + 3) dx.
∫ (x^2 + 3x - 7)^5 •^ (2x + 3) dx = du x dx
u x x ( 2 3 )
∫ u^5 du =
u^6
2.- (^) ∫ x ·ln x
(^1) dx.
∫ (^) x ·ln x
(^1) dx.= ∫ (^) ln x
x
(^1) dx = dx x
du
u x 1
= (^) ∫ (^1) u du =
= ln | u | + C = ln | ln x | + C.
3.- (^) ∫ (x + 1) • x^2 + 2x + 7 dx.
∫ (x + 1)^ • x^2 + 2x + 7 dx =^12 •^ ∫ x^2 + 2x + 7^ •^ (2x + 2) dx =
Entonces f '(x) = 1 y G(x) = - cos x + C 1 , donde C 1 es la constante de integración. Sustituyendo estos valores en la fórmula de integración por partes obtenemos que:
∫
∫ f(x)^ •^ g(x) dx = f(x)^ •^ G(x) -∫ f '(x)^ •^ G(x) dx,
∫ x^ •^ sen x dx = x^ •^ ( - cos x + C^1 ) - ∫ (1)^ •^ ( - cos x + C^1 ) dx =
= - x • cos x + x • C 1 + (^) ∫ ( cos x - C 1 ) dx =
= - x • cos x + x • C 1 + sen x - C 1 • x + C = - x • cos x + sen x + C,
donde C es de nuevo, una constante de integración.
Nota: Hemos de observar que la primera constante de integración C 1 en el ejemplo anterior, que aparece al integrar g(x) para obtener G(x), se cancela de la respuesta final. Este es siempre el caso cuando integramos por partes. Por tanto, en la práctica, nunca nos molestaremos en incluir una constante de integración en G(x), sino que simplemente tomaremos como G(x) cualquier primitiva de g(x). Los siguientes comentarios pueden servir de orientación para decidir la elección de f y g: a. Si el integrando es el producto de una potencia entera positiva de x (x, x^2 , x^3 , etc.) y una función exponencial o trigonométrica, a veces es útil tomar f(x) como esa potencia de x. b. Si el integrando contiene un factor que sea, o bien una función logarítmica, o bien la inversa de una trigonométrica, es a menudo útil escoger esta función como f(x). Si el integrando consiste nada más de una función logarítmica o la inversa de una trigonométrica podemos tomar g(x) = 1.
Ejemplos:
x + , G(x) =^12 x^2. Sustituyendo en la fórmula de integración por partes, obtenemos
∫ ln | x + 1 |^ •^ x dx = ln | x + 1 |^ •^
2 x (^2) - (^) ∫ 1
x +
= 12 x^2 ln | x + 1 | -^12 • (^) ∫ ⎟ ⎠
x x dx.
=^12 x^2 ln | x + 1 | -^12 • (^) ⎥ ⎦
⎡ (^) − +ln| + 1 | 2
(^1 2) x x x + C =
=^12 (x 2 - 1) ln | x + 1 | -^14 x^2 +^12 x + C.
f '(x) = (^1) x^2
, G(x) = x.
Integrando por partes, obtenemos
∫ arc sen x dx = x^ •^ arc sen x^ -^ ∫ (^1) x 2
Para evaluar la integral de la derecha, hacemos el cambio u = 1 - x 2 , así que du = - 2 x dx. Entonces:
∫ (^) x
x 1 − 2 dx =^ ∫^ u^^1 /^2
⎛ − du 2
2 •^ ∫^ u^
= - 1 - x^2 + C.
Por tanto, (^) ∫ arc sen x dx = x • arc sen x + 1 - x^2 + C.
∫ x^2 •^ sen x dx = - x^2 •^ cos x^ + ∫ 2x^ •^ cos x^ dx.
Integramos por partes de nuevo, esta vez con f(x) = x y g(x) = cos x:
∫ x^ •^ cos x^ dx = x^ •^ sen x - ∫ sen x dx = x^ •^ sen x + cos x.
Por tanto, (^) ∫ x^2 • sen x dx = - x 2 • cos x + 2 • ( x • sen x + cos x ) + C.
En el k-ésimo subintervalo, xk-1 ≤ x ≤ xk , construimos un rectángulo de altura igual al valor de f(x) en el extremo de la derecha, es decir, f(xk). El área de este rectángulo es igual a f(xk) • h. Un rectángulo similar se construye en cada uno de los n intervalos, y tomamos la suma de las áreas de los n rectángulos como una aproximación al área verdadera A bajo la curva. Por tanto, denotando la suma de las áreas de los rectángulos mediante An , tenemos
An = (^) ∑ k=
n f(xk ) • h = (^) ∑ k=
n f(a + kh) • h.
En general, cuando n crece, la suma An de las áreas del rectángulo se aproxima al
área A verdadera cada vez más. De hecho, tomando n suficientemente grande, podemos hacer An tan próximo a A como queramos; por tanto, podemos escribir el área A como el límite de An cuando
n → ∞ ( o h → 0), es decir, A = f x h , ó
n k n ∑ k^ • →∞ (^) = 1 lim ( ) ∑ →∞ =
n n k
A f a khh 1
lim ( )
donde h = b - an.
Ejemplo: a) Aproximar el área bajo la curva y = x^2 entre x = 0 y x = 4 dividiendo el área en 4, 5 y 6 rectángulos. b) Calcular el área verdadera. Solución:
a) Tenemos a = 0, b = 4, f(x) = x^2 y n = 4 (Figura 1.2). Por tanto, y = x 2
x
y
1 2 3 4
16
9 4 1
Figura 1.
h = b - a 4 = 4 - 0 4 = 1, xk = a + kh = k para k = 1, 2, 3 y 4. Además f(x (^) k ) = x^2 k = k^2.
Así,
A 4 = (^) ∑ k=
4 f(xk ) • h = 1 • ( 1 + 4 + 9 + 16 ) = 30
Notemos que el área verdadera es menor que este valor.
Si n = 5, h =^45 , xk =^45 k, f(xk ) =^1625 k^2 y
A 5 = (^) ∑ k=
5 f(x (^) k ) • h =^45 • 1625 ( 1 + 4 + 9 + 16 + 25 ) =^70425 = 28.
Si n = 6, h =^46 , xk =^46 k, f(xk ) =^1636 k^2 y
A 6 = (^) ∑ k=
6 f(x (^) k ) • h =^46 • 1636 ( 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ) =^72827 = 26.
b) h =^4 n , xk =^4 n k, f(xk ) =^16 n 2 k^2 y
An = (^) ∑ k=
n f(x (^) k ) • h = (^) ∑ k=
n 16 n^2 k
n =
n^3 ∑ k=
n k^2 =
n^3
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) 6 =
32 ( 2n^2 + 3n + 1 ) 3 n^2
Así, A = lim An =^643 n →∞
Definición : sea f(x) una función continua definida en el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b. Entonces la integral definida de f(x) entre x = a y x = b, denotada por (^) ∫ se
define como
b (^) f ( x ) dx ,
b^ n
a
∫ ∑ →∞ =
a (^) n k f xdx f a kh h 1
( ) lim ( )·
