Integrales Trigonométricas: Productos Seno-Coseno y Sustituciones, Tesis de Cálculo para Ingenierios

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INTEGRALES QUE CONTIENEN LOS

PRODUCTOS SENO – COSENO DE

ANGULOS DIFERENTES

Las integrales que contienen los productos de senos – cosenos de dos ángulos diferentes

ocurren en muchas aplicaciones. En tales casos usar las identidades de sumas y productos.

1

2

EJEMPLO 1.

Donde m = 5 y n= 4

EJEMPLO 2 :

Donde m = 1 y n = 3 , usamos la primera

fórmula y obtenemos:

Separamos integrales y solucionamos, utilizando

el método de sustitución

Buscamos en las fórmulas la integral del coseno y

obtenemos

También se pueden operar los signos y entonces la

primera integral puede escribirse así

Si factorizamos el denominador obtenemos

ACTIVIDAD

Dar solución a las siguientes integrales:

𝒙

𝟐

SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS (a>0 )

SUSTITUCIONES TRIGONOMETRICAS (a>0 )

Además, es importante tener en cuenta estas sustituciones: (revisar las fórmulas)

EJEMPLO 1 :

dx

x

2

9 −x

2

Si observamos esta integral contiene

una raíz de la forma a

2

− u

2

, por lo

que usaremos la primera sustitución,

teniendo claro que:

a

2

u

2

= x

2

Usamos la sustitución: u = a senθ

Reemplazamos u y a por: 𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Ahora derivamos x : 𝑑𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃

Usamos la sustitución a

2

− u

2

= 𝑎 cos 𝜃

Por lo tanto obtenemos: 9 − x

2

= 3 cos 𝜃

Ahora tomamos la integral original y hacemos el

reemplazo de las sustituciones indicadas:

dx

x

2

9 −x

2

3 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃

(3𝑠𝑒𝑛 𝜃)

2

. 3 cos 𝜃

EJEMPLO 2 :

𝑑𝑥

4 𝑥

2

• 1

Si observamos esta integral contiene una raíz de

la forma 𝐚

𝟐

𝟐

, por lo que usaremos la

segunda sustitución, teniendo claro que:

2

2

2

Usamos la sustitución 𝑢 = 𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝜃

Reemplazamos u y a obteniendo: 2 𝑥 = 1 𝑇𝑎𝑛 𝜃

Despejamos 𝑥 =

𝑇𝑎𝑛 𝜃

2

Ahora derivamos x : 𝑑𝑥 =

𝑆𝑒𝑐

2

𝜃

2

Usamos la sustitución 𝐚

𝟐

𝟐

= 𝑎. sec 𝜃

Obtenemos: 4 𝑥

2

Ahora tomamos la integral original y hacemos el

reemplazo de las sustituciones indicadas:

2

2

Realizamos productos de extremos y medios

𝑠𝑒𝑐

2

𝜃 𝑑𝜃

2𝑠𝑒𝑐𝜃

1

2

Ahora por fórmulas básicas encontramos la

integral de una secante y obtenemos:

Tan θ =

Cateto Opuesto

Cateto Adyacente

Revisamos las posiciones del triángulo y finalmente

sustituimos obteniendo:

ln

2

2

Dado que 𝑥 = 1. 𝑠𝑒𝑐𝜃 entonces despejamos el ángulo 𝜃

− 1

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑜 sec 𝑥

2

ACTIVIDAD

𝒙

𝟐

−𝟏𝟎𝟎

𝒙

𝒕

𝟑

𝟑𝒕

𝟐

−𝟓

𝟑

𝟐

𝒙

𝟐

𝟐𝟓−𝒙

𝟐

𝟗𝒎

𝟑

𝟏+𝒎

𝟐

𝟐

𝟐

𝟑

𝟐

𝟐

𝟐

𝒅𝒙

𝒙

𝟐

𝒙

𝟐

• 𝒂

𝟐

𝟏𝟎

𝒙

𝟐

𝟐𝟓−𝒙

𝟐