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SESIÓN 2 .1: LA INTEGRAL DEFINIDA: DEFINICIÓN Y PROPIEDADES. SEGUNDO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Logro de la sesión : Al finalizar la sesión, el estudiante aplica las propiedades de la integral definida en la
resolución de ejercicios y el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para resolver integrales definidas
básicas.
INTEGRAL DEFINIDA
1
Sea f una función continua en
a b ; , se define la integral definida de f desde a hasta b como:
1
lim
b
n
i
n
i
a
f x dx f x x
Siempre que exista el límite. Si existe, f es integrable en
a b ;.
EL PROBLEMA DEL ÁREA
El área A de la región R (Figura 1) que se encuentra limitada por
la gráfica de la función f continua (curva y = f (x ) positiva), las
rectas x a ,
x b
y el eje X está dada por:
n
i
i
n
A R lím A
1
( )
CONCLUSIÓN:
1
Adaptado de CÁLCULO (Stewart, James 6edición), pág. 345
𝒂
𝒀
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑿
𝒃
NOTA:
Si f ( x ) 0 en a ; b , entonces:
𝑏
𝑎
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Propiedad de linealidad
Si f y g son dos funciones integrables en
x a b ; y y son constantes, se tiene que:
𝑏
𝑎
Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
Si existen las integrales de la izquierda también existe la integral de la derecha.
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
donde
c a b ;
Propiedad de comparación
Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , entonces
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑀
𝑚
𝒚 = 𝒇(𝒙)
𝑿
𝒀
𝒂 𝒃
𝑿
𝒀
𝒇
Ejercicio 2:
La figura muestra la gráfica de la función f definida para x -2; 2. Si las áreas de las regiones sombreadas, A
y B, están dadas por Área(A) = 2,67 u
2
y Área (B) = 5,33 u
2
, determine
2
2
f ( x ) dx
Ejemplo 3:
Uso de geogebra: Abrir el enlace https://www.geogebra.org/classic?lang=es
Use la propiedad de comparación de la integral para estimar ∫ (𝑐𝑜𝑠
5
2
Ejercicio 3:
Use la propiedad de comparación de la integral para estimar
7
2
2
x dx
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
2
Si f es continua en cualquier punto de
a ; b y F es cualquier antiderivada de f en
a b ; , entonces
b
a
f x dx F b F a
2
CÁLCULO (Thomas - Finney 9edición), pág. 336
