¡Descarga Calculo de Areas: Introduccion a Integrales Definidas - Prof. Bechouche y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Matem´aticas Tema 2: C´alculo diferencial e integral de funciones de una variable
Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas
J.F. S´anchez Lara
Departamento de Matem´atica Aplicada Universidad de Granada
[email protected]
Doble Grado en Administraci´on y Direcci´on de Empresas y Derecho Curso 2015-
J.F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 1 / 31
1 Objetivos
(^2) Introducci´on
3 Integral definida, ¿como se calcula?
(^4) Integral definida, ¿qu´e es?
(^5) C´alculo de ´areas
(^6) ¿Qu´e hemos aprendido?
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 2 / 31
Objetivos
(^1) Objetivos
(^2) Introducci´on
(^3) Integral definida, ¿como se calcula?
4 Integral definida, ¿qu´e es?
(^5) C´alculo de ´areas
(^6) ¿Qu´e hemos aprendido?
Objetivos
Objetivos de esta lecci´on
(^1) Saber reconocer cuando cierta medici´on se puede realizar a trav´es de una integral definida (^2) Calcular integrales definidas usando la regla de Barrow. (^3) Calcular ´areas mediante integrales definidas. (^4) Saber calcular integrales impropias.
Introducci´on
1 Objetivos
(^2) Introducci´on
3 Integral definida, ¿como se calcula?
(^4) Integral definida, ¿qu´e es?
(^5) C´alculo de ´areas
(^6) ¿Qu´e hemos aprendido?
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 5 / 31
Introducci´on
¿Cuando aparecen integrales definidas?
Existen numerosas magnitudes que se expresan multiplicando otras 2, z = αxy, (α una constante) Ejemplos: ´area de un rect´angulo= base × altura, espacio recorrido= tiempo × velocidad, rendimiento de un capital C 0 = C 0 × tiempo × inter´es Pero, si una de las 2 magnitudes depende de la otra... Ejemplos: ´area de un “rect´angulo” en el que la altura depende de cada punto de la base = ??, espacio recorrido si la velocidad ha dependido de cada instante de tiempo = ??, rendimiento de un capital C 0 si el inter´es depende de cada instante de tiempo= ?? ¿que cuenta hay que hacer? Una integral definida Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 6 / 31
Introducci´on
¿Cuando aparecen las integrales definidas?
Mismos ejemplos (vistos gr´aficamente) El ´area en este caso es base × altura
X
Y
2
4 Pero si la altura no hubiera sido la misma para todo x, ¿como habr´ıamos calculado el ´area? Con una integral definida
Si hemos estado caminando a 4 km/h entre desde las 1:00 hasta las 5:00, la distancia recorrida es tiempo caminando × velocidad que es el ´area sombreada
tiempo
velocidad
2
4 Pero si la velocidad no hubiera sido siempre la misma, ¿como habr´ıamos calculado la distancia recorrida, es decir, el ´area? Con una integral definida
Introducci´on
¿Cuando aparecen las integrales definidas?
Mismos ejemplos (vistos gr´aficamente) Si tenemos un dep´osito de 1800e al 4 % de inter´es, el rendimiento dado entre el primer a˜no y el quinto es 1800100 × interes × tiempo, que es 1800100 por el ´area sombreada
tiempo
interés
2
4 Si el inter´es no hubiera sido siempre el mismo, el rendimiento seguir´ıa siendo 1800100 × area, pero ¿como lo calcular´ıamos? Con una integral definida.
Integral definida, ¿qu´e es?
Integral definida
Definici´on La integral definida de una funci´on acotada f (x) en el intervalo [a, b] ⊂ Dom(f ) (^) ∫ b
a
f (x)dx
(tambi´en se dice integral de f desde a hasta b), es el “´area con signo” encerrada entre el eje de abscisas, las 2 rectas verticales correspondientes a las abscisas x = a y x = b, y la gr´afica de la funci´on f.
aa bb Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 13 / 31
Integral definida, ¿qu´e es?
“Area con signo”
El “´area con signo” en la definici´on de integral definida hay que entenderla como: positiva para la parte del recinto que quede por encima del eje de abscisas, negativa para la parte del recinto que quede por debajo del eje de abscisas.
f H x L
X
Y
a
b
Area 1
Area 2
∫ (^) b
a
f (x)dx = Area 1 − Area 2
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 14 / 31
Integral definida, ¿qu´e es?
Primeros ejemplos
Ejemplo 1 ∫ (^3)
1
4 dx = [4x]^31 = 4 · 3 − 4 · 1 = 8
que coincide con el siguiente ´area
Integral definida, ¿qu´e es?
Primeros ejemplos
Ejemplo 2 ∫ (^3)
1
(−4)dx = [− 4 x]^31 = − 12 − (−4) = − 8
que coincide con el siguiente ´area pero cambi´andole el signo
Integral definida, ¿qu´e es?
Primeros ejemplos
Ejemplo 3 ∫ (^3)
1
(x + 1)dx =
[
x^2 2
] 3
1
que coincide con el siguiente ´area
1 2 3
1
2
3
4
Este ´area se puede obtener como: Area cuadrado + Area tri´angulo = 4 + 2
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 17 / 31
Integral definida, ¿qu´e es?
Primeros ejemplos
Ejemplo 4
∫ (^5)
− 1
(x − 1)dx =
[
x^2 2
− x
] 5
− 1
(−1)^2
que coincide con el ´area encerrada que queda por encima del eje X menos el ´area encerrada que queda por debajo.
2
4 Area por encima del eje X menos ´area por debajo del eje X:
(5 − 1) 2
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 18 / 31
Integral definida, ¿qu´e es?
Propiedades de la integral definida
Para f, g integrables y λ ∈ R ∫ (^) b
a
(f (x) + g(x))dx =
∫ (^) b
a
f (x)dx +
∫ (^) b
a
g(x)dx ∫ (^) b
a
(λf (x))dx = λ
∫ (^) b
a
f (x)dx ∫ (^) a
a
f (x)dx = 0. ∫ (^) b
a
f (x)dx = −
∫ (^) a
b
f (x)dx
si a < c < b entonces
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) c
a
f (x)dx +
∫ (^) b
c
f (x)dx
si f (x) ≥ 0 en [a, b] entonces
∫ (^) b
a
f (x)dx ≥ 0
si f (x) ≥ g(x) en [a, b] entonces
∫ (^) b
a
f (x)dx ≥
∫ (^) b
a
g(x)dx
Integral definida, ¿qu´e es?
¿Cuando aparecen las integrales definidas?
Volviendo a las preguntas de la introducci´on (p´agina 6)
En general, con 2 variables, x y f , en las que la x ∈ [a, b] el c´alculo correspondiente a
(b − a)f
cuando f no depende de x (f es constante), se sustituye por (^) ∫ b
a
f (x)dx ,
cuando f depende de x (f no es constante).
C´alculo de ´areas
Caso de f positiva
Si f es positiva en un intervalo [a, b], entonces el ´area encerrada entre el eje de abscisas, las 2 rectas verticales correspondientes a las abscisas x = a y x = b, y la gr´afica de la funci´on f. se calcula como (^) ∫ (^) b
a
f (x)dx
aa bb
Area=
∫ (^) b
a
f (x)dx
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 25 / 31
C´alculo de ´areas
Caso de f negativa
Si f es negativa en un intervalo [a, b], entonces el ´area encerrada entre el eje de abscisas, las 2 rectas verticales correspondientes a las abscisas x = a y x = b, y la gr´afica de la funci´on f. se calcula como −
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) b
a
f (x)dx
aa bb Area= −
∫ (^) b
a
f (x)dx
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 26 / 31
C´alculo de ´areas
Caso de f positiva y negativa
Si f es positiva y negativa en un intervalo [a, b], entonces el ´area encerrada entre el eje de abscisas, las 2 rectas verticales correspondientes a las abscisas x = a y x = b, y la gr´afica de la funci´on f.
se calcula como
∫ (^) b
a
|f (x)| dx
f H x L
a
b
» f H x L»
a b
Area=
∫ (^) b
a
|f (x)| dx
No es ni
∫ (^) b
a
f (x)dx ni
∫ (^) b
a
f (x)dx
C´alculo de ´areas
Ejemplo de c´alculo de ´area encerrada por gr´afica de una
funci´on y dos abscisas
Ejemplo: Determinar el ´area encerrada entre el eje de abscisas, las abscisas x = 1, x = 4 y la gr´afica de f (x) = x^2 − 5 x + 6 Lo primero que deber´ıamos ver es el signo de la funci´on en ese intervalo: f (x) es positivo para x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4] f (x) es negativo para x ∈ [2, 3] Luego
Area =
1
|f (x)|dx =
1
|f (x)|dx +
2
|f (x)|dx +
3
|f (x)|dx
1
(x^2 − 5 x + 6)dx +
2
(−x^2 + 5x − 6)dx +
3
(x^2 − 5 x + 6)dx
C´alculo de ´areas
Ejemplo c´alculo de ´area encerrada por gr´afica y 2 abscisas
Ejemplo (continuaci´on) ¿Por qu´e se puede hacer as´ı?
A 1 A 2
A 3
f H x L= x^2 - 5x + 6
1 2 3 4
1
2 El ´area que queremos calcular es:
A = A 1 + A 2 + A 3
1
(x^2 − 5 x + 6)dx = A 1 y
3
(x^2 − 5 x + 6)dx = A 3 ∫ (^3)
2
(x^2 − 5 x + 6)dx = −A 2 por lo que A 2 = −
2
(x^2 − 5 x + 6)dx
por lo que
A =
1
(x^2 − 5 x + 6)dx −
2
(x^2 − 5 x + 6)dx +
3
(x^2 − 5 x + 6)dx
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 29 / 31
¿Qu´e hemos aprendido?
1 Objetivos
(^2) Introducci´on
3 Integral definida, ¿como se calcula?
(^4) Integral definida, ¿qu´e es?
(^5) C´alculo de ´areas
(^6) ¿Qu´e hemos aprendido?
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 30 / 31
¿Qu´e hemos aprendido?
¿Qu´e hemos aprendido?
Ya conocemos el concepto de integral definida (el “area con signo”) y en que situaciones puede aparecer. Hemos aprendido a calcularlas usando la Regla de Barrow: ∫ (^) b
a
f (x)dx = F (b) − F (a) ,
siendo F una primitiva de f en [a, b]. Hemos aprendido a usar las integrales definidas para calcular el ´area de algunas regiones
Joaqu´ın F. S´anchez Lara Lecci´on 2.3: C´alculo integral. Integrales definidas 31 / 31
