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Índice
- La notación sigma. 1
1.1. Propiedades. 1
1.2. Ejercicios. 1 1.3. Algunas sumas importantes. 2
1.4. Ejercicios. 2
- Sumas superiores e inferiores. 3
2.1. Ejercicios. 3 2.2. Área bajo una curva. 3
2.3. Ejercicios. 4
- Definición de integral definida. 4
3.1. Ejercicios. 5 3.2. Propiedades de la integral definida. 5
3.3. Ejercicios. 6
- La notación sigma.
Definición.
∑n i=1 φ(i) =^
∑n j=1 φ(j) =^
∑n k=1 φ(k) =^ φ(1) +^ φ(2) +^ · · ·^ +^ φ(n).
Ejemplo. Calcular las sumas:
i=1 i
i=
2 3+i =
i=
i 4+i^2 =
Ejemplo. Escribir en forma de sumatoria:
1. S 1 = 1
2
3
6
- S 2 = 2 4 + 4 4 + · · · + 10 4
1.1. Propiedades.
∑n i=1 c^ =^ cn
∑n i=1 aφ(i) =^ a^
∑n i=1 φ(i)
∑n i=1 (φ(i) +^ ψ(i)) =^
∑n i=1 φ(i) +^
∑n i=1 ψ(i)
Ejemplo. Calcular las sumas:
i=
5 + 3i^3
∑n i=1 (ai^ + 7bi), sabiendo que^
∑n i=1 ai^ = 8^ y^
∑n i=1 bi^ = 5
i=
1 i(i+1) , recuerde que 1 n(n+1)
1 n
1 n+
1.2. Ejercicios.
- Hallar las sumas: (1)
i=1 −^3 (2)^
i=1 (2 + 3i)^ (3)^
i=2 3 i
(^2) (4)
i=1 (1 + 2i)
(5)
i=
i 1+i (6)
i=2(−1)
i+1 (^) (i + 2) (7)
i=1 (−1)
i ( i^2 + 2i + 2
(8)
i=2(−1)
i i+ i+2 (9)^
i=3(−2)
i
e i
(10)
i=1(−1)
i+
i 2
1
- Suponga que
i=1 f^ (i) = 8,^
i=1 g^ (i) = 3,^
i=1 h^ (i) = 5. Calcular el valor de la expresión indicada: (1)
i=1 [f^ (i) +^ g(i) +^ h(i)]^ (2)^
i=1 [−^2 f^ (i) + 3g(i)^ −^3 h(i)]
(3)
i=1 [f^ (i)^ −^2 g(i)] +^
i=1 4 h(i)^ (4)^
i=1 [f^ (i) + 2g(i)]^ −^3
i=1 [2g(i) +^ h(i)]
i=1 [f^ (i) + 2g(i)] +^
i=1 [2g(i)^ −^ h(i)] + 2^
i=1 [h(i)^ −^ f^ (i)]
1.3. Algunas sumas importantes.
Teorema. Se cumple que:
∑n i=1 i^ =^
n(n+1) 2
∑n i=1 i
(^2) = n(n+1)(2n+1) 6
∑n i=1 i
3
[
n(n+1) 2
] 2
∑n i=1 i
4
n(n+1)( 6 n^3 +9n^2 +n− 1 ) 30
∑n i=0 r
i (^) = 1 −r n+ 1 −r
Ejemplo. Hallar las sumas:
i=1 (4 + 3i) =
i=1 (3^ −^ i)
2 =, tener en cuenta que
∑n i=
[
(i + 1) 3 − i 3
]
= (n + 1) 3 − 1 = n 3
otro lado
∑n i=
[
(i + 1) 3 − i 3
]
∑n i=
[
3 i 2
]
, de donde
∑^ n
i=
i 2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
i=0 2
i= , Tener en cuenta que ∑n i=0 r
i (^) = 1 −r n+ 1 −r .
- S = 1 3 +^
1 32 +^
1 33 +^ · · ·^ +^
1 36 =
i=1 (i^ + 2)
2
- En una máquina para exprimir naranjas, se acomodan siempre 20 naranjas en una base recti-
línea, y luego, sobre ellas, se hace un triángulo hacia arriba (sin agujeros), ¿Cuántas naranjas
hay en total en la pila?
- Las naranjas que se usaron en el ejemplo anterior, se compraron en un puesto del mercado en
donde estaban acomodadas en una pila piramidal, con base triangular, en forma de triángulo equilátero, con 10 naranjas por lado. Cuántas naranjas hay en la pila?
1.4. Ejercicios.
- Hallar las sumas: (1)
i=1 (8 + 3i)^ (2)^
i=1 (1 + 4i)^ (3)^
i=1 (1^ −^ i) +^
i=1 2 i
(4)
i=2 (4 + 2i)^ −^
i=1 (3^ −^ i)^ (5)^
i=
8 + 3i^2
(6)
i=1 (2 + 3i)
2
(7)
i=1 (1^ −^ i)
2
i=1 2 i
(^2) (8)
i=1 (1 +^ i)
3 (9)
i=
3 i^2 (10)
i=
1 (^4) i
- La suma de un cierto número entero positivo x con sus siguientes 20 enteros consecutivos es
igual a 357, qué número es x?
- Demuestre que
∑n i=1 r
i
r−rn+ 1 −r.
- Considere las funciones fi (x) = x + i, i = 1, 2 , · · · , n. Determine la función suma
∑n i=1 fi^ (x).
- Considere las funciones fi (x) = x i , i = 1, 2 , · · · , n. Determine la función producto f 1 (x) f 2 (x) · · · fn (x). Nota. La notación para el producto es
∏^ n
i=
ai = a 1 · a 2 · · · · · an.
2.3. Ejercicios. Para las funciones dadas en el intervalo [a, b], sea P una partición de este intervalo
en n subintervalos iguales. Determine UP (f ) y LP (f ). A partir de estos resultados, calcule el área
bajo la gráfica de dicha función en el intervalo [a, b]:
(1) f (x)= x (2) f (x) = kx,k > 0 (3) f (x) = x + k,k > 0
(4) f (x) = x^2 (5) f (x) = kx^2 , k > 0 (6) f (x) = x^2 + k, k > 0
- Definición de integral definida.
Consideraremos funciones continuas y no negativas enel lintervalo [a, b]. También considerare-
mos una partición P = {x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , · · · , xn− 1 , xn}del intervalo [a, b]cuyos subintervalos no tengan
la misma longitud. Se llama norma de la partición P denotada por ‖P ‖a la máxima longitud de
alguno de los subintervalos en que queda dividida [a, b]por la partición P , es decir
‖P ‖ = m´ax {∆xi = xi − xi− 1 , i = 1, 2 , 3 , · · · , n}
El valor S (P ) =
∑n i=1 f^ (ξi) ∆xi, para^ ξi^ ∈^ [xi−^1 , xi]^ se llama suma de Riemann de la función^ f asociada a la partición P del intervalo [a, b].
Definición. Sea y = f (x) una función definida en I. Se define la integral definida de f en el intervalo
[a, b] ⊂ I, denotada por
´ (^) b a f (x)dx, como el límite de las sumas de Riemann de f asociadas con
particiones P de [a, b], cuando la norma de éstas tiende a cero; es decir
ˆ^ b
a
f (x) dx = l´ım ‖P ‖→ 0
∑^ n
i=
f (ξi) ∆xi.
En el caso que tal límite exista se dice que la función f es integrable según Riemann en el intervalo
[a, b].
Teorema. Si la función f (x) es continua y no negativa en el intervalo [a, b], entonces su integral
definida
´ (^) b a f^ (x)^ dx^ existe y es igual al área bajo la gráfica de la función entre^ x^ =^ a^ y^ x^ =^ b.
En la notación
´ (^) b a f (x)dx, se dice que f (x) es la función integrando; a es el límite inferior de
integración; b es ellímite superior de integración y dx es el diferencial de x.
Teorema. Si y = f (x) es una función continua y no positiva en [a, b], entonces f es integrable en
[a, b] y su integral
´ (^) b a f (x) dx es igual al negativo del área bajo la curva de y = −f (x) entre x = a y
x = b, es decir
ˆb
a
−f (x) dx = −
ˆ^ b
a
f (x) dx.
Ejemplo. Calcular:
- La función f (x) =
a^2 − x^2 , representa la semicircunferencia superior de centro en el origen
y de radio a, luego
´ (^) a −a
a^2 − x^2 dx = 1 2 πa
2 .
- Más generalmente, consideremos un número t ∈ [0, a]. Calcularemos, con argumentos geo-
métricos, el valor de la integral
´ (^) t 0
a^2 − x^2 dx. El problema consiste entonces en calcular el
área de la región limitada por el eje X , la semicircunferencia y =
a^2 − x^2 y las rectas x = 0
y x = t. El área es A 1 + A 2 = 1 2 t
a^2 − t^2 + 1 2 a
2 arcsen t a.
0 x
2 dx = 1 3
´ (^) b a exdx = eb^ − ea
- f (x) =
x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
3 , 1 < x ≤ 2
.
- f (x) = −x^2
Teorema. Si y = f (x) es una función continua y no positiva en [a, b], entonces es integrable en [a, b]
y su integral
´ (^) b a f^ (x)^ dx^ es igual al negativo del área bajo la curva de^ y^ =^ −f^ (x)^ entre^ x^ =^ a, y^ x^ =^ b. Es decir ˆ (^) b
a
−f (x) dx = −
ˆ (^) b
a
f (x) dx
.
Ejemplo. Calcular:
´ (^) b a −e
x dx
´ (^) b a c dx
3.1. Ejercicios.
- Determinar la suma de Riemann de la función f (x) respecto a la partición P del intervalo
[a, b] en n subintervalos de la misma longitud, tomando como puntosξi los puntos medios de
cada uno de los subintervalos: (1) f (x) = 3x + 2, en [0, 2], n = 10 (2) f (x) = 3x^2 , en [0, 2], n = 10
(3) f (x) = 2x 3 , en [0, 2], n = 10 (4) f (x) = 1 x , en^ [1,^ 5],^ n^ = 10
(5) f (x) = 1 x^2 +1 , en^ [0,^ 1],^ n^ = 5
- Demostrar que
´ (^) b a x dx = 1 2
b^2 − a^2
.
- Calcular las integrales:
(1)
0 x^3 dx (2)
0 −x^3 dx (3)
0 exdx (4)
0 5 dx
- Considere la función f (x) = αx, en donde α es un número real positivo dado, en el intervalo
[a, b]. Use argumentos geométricos para demostrar que ˆ (^) b
a
αx dx = α
b^2
2
a^2
2
- Use el resultado anterior para demostrar que
´ (^) b a αx dx^ =^ α^
´ (^) b a x dx.
- Demuestre que si α y β son números reales cualesquiera, se tiene: ˆ (^) b
a
(αx + β) dx = α
ˆ (^) b
a
x dx +
ˆ (^) b
a
β dx
- Use los resultados anteriores para calcular
1 (2 +^ x)^ dx. Dar la interpretación geométrica del valor calculado.
3.2. Propiedades de la integral definida.
´ (^) a a f^ (x)dx^ = 0
´ (^) a b f^ (x)dx^ =^ −^
´ (^) b a f^ (x)dx
´ (^) b a [f^ (x) +^ g(x)]^ dx^ =^
´ (^) b a f^ (x)dx^ +^
´ (^) b a g(x)dx
´ (^) b a kf^ (x)dx^ =^ k^
´ (^) b a f^ (x)dx
- Si f (x) ≥ 0 en[a, b], entonces
´ (^) b a f^ (x)dx^ ≥^0
- Si f (x) ≥ g(x) en[a, b], entonces
´ (^) b a f^ (x)dx^ ≥^
´ (^) b a g(x)dx
- Si f es una función continua en[a, b]. Sean M = m´ax {f (x)} y m = m´ın {f (x)}, entonces
m(b − a) ≤
´ (^) b a f (x)dx ≤ M (b − a)
- Si f es una función integrable en[a, b] y c ∈ R, entonces
ˆ^ b
a
f (x) dx =
ˆ^ c
a
f (x) dx +
ˆ^ b
c
f (x) dx
Ejemplo. Resolver:
- Sean f (x) y g(x) dos funciones integrables en el intervalo[a, b], tales que
´ (^) b a f^ (x)^ dx^ = 3^ y ´ (^) b a g(x)^ dx^ =^ −^5 , calcular^
´ (^) b a [4f^ (x)^ −^2 g(x)]^ dx.
- Sin calcular las integrales diga cuál de ellas es la mayor
0 x^2 dx ó
0 x^3 dx
- Sin calcular las integrales diga cuál de ellas es la mayor
1 x
2 dx ó
1 x
3 dx
- Demostrar que
´ (^) b a f^ (x)^ dx
´ (^) b a |f^ (x)|^ dx
- La siguiente desigualdad recibe el nombre de desigauldad de Cauchy-Schwarz ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ˆ^ b
a
f (x)g(x) dx
ˆ^ b
a
f 2 (x) dx
ˆ^ b
a
g^2 (x) dx
