Cálculo Multivariable - Prof. Muñoz, Apuntes de Cálculo

¡Descarga Cálculo Multivariable - Prof. Muñoz y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!

C´alculo Multivariable

Jhovanny Mu˜noz Posso

Departamento de Matem´aticas

Universidad del Valle

Recordar

Sean f : S ⊂ R^2 → R un campo escalar y una partici´on P.

Recordar

Sean f : S ⊂ R^2 → R un campo escalar y una partici´on P. Tenemos que la integral doble de f sobre S se define por ∫ ∫

S

f (x, y) dA := lim ||P ||→ 0

∑^ N

k=

f (xk, yk)∆Ak

Recordar

Sean f : S ⊂ R^2 → R un campo escalar y una partici´on P. Tenemos que la integral doble de f sobre S se define por ∫ ∫

S

f (x, y) dA := lim ||P ||→ 0

∑^ N

k=

f (xk, yk)∆Ak

si dicho limite existe, es independiente de las particiones y de los puntos (xk, yk).

Recordar

Sean f : S ⊂ R^2 → R un campo escalar y una partici´on P. Tenemos que la integral doble de f sobre S se define por ∫ ∫

S

f (x, y) dA := lim ||P ||→ 0

∑^ N

k=

f (xk, yk)∆Ak

si dicho limite existe, es independiente de las particiones y de los puntos (xk, yk). Recordemos tambi´en que la forma m´as f´acil de hacer la partici´on es con rect´angulos uniformes. En caso de regiones rectangulares el ´area de cada subrect´angulo es ∆x∆y.

Ejemplo

Supongamos que la integral

[0,1]×[0,2]

yx dxdy existe. Vamos a calcularla usando una partici´on uniforme.

Ejemplo

Supongamos que la integral

[0,1]×[0,2]

yx dxdy existe. Vamos a calcularla usando una partici´on uniforme. Dividamos el intervalo [0, 1] en n partes iguales, as´ı cada una tiene tama˜no (^) n^1 y dividamos el intervalo [0, 2] en m partes iguales, cada una con tama˜no (^) m^2. As´ı, la partici´on esta formada por [ (^) ni , i+1 n ] × [ (^2) mj , 2 j m+2 ] donde i = 0,... , n − 1 y j = 0,... , m − 1.

Ejemplo

Supongamos que la integral

[0,1]×[0,2]

yx dxdy existe. Vamos a calcularla usando una partici´on uniforme. Dividamos el intervalo [0, 1] en n partes iguales, as´ı cada una tiene tama˜no (^) n^1 y dividamos el intervalo [0, 2] en m partes iguales, cada una con tama˜no (^) m^2. As´ı, la partici´on esta formada por [ (^) ni , i+1 n ] × [ (^2) mj , 2 j m+2 ] donde i = 0,... , n − 1 y j = 0,... , m − 1. Tomando el punto de la esquina inferior de cada rect´angulo (xi, yj^ ) = ( (^) ni , (^2) mj )

f ((xi, yj^ ))∆xi∆yj

• n∑−
  • i=
    • m∑−
      • j=

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

f ((xi, yj^ ))∆xi∆yj =

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

i n

2 j m

n

m

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

f ((xi, yj^ ))∆xi∆yj =

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

i n

2 j m

n

m

m^2 n^2

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

ij

m^2 n^2

n∑− 1

i=

i

m∑− 1

j=

j

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

f ((xi, yj^ ))∆xi∆yj =

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

i n

2 j m

n

m

m^2 n^2

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

ij

m^2 n^2

n∑− 1

i=

i

m∑− 1

j=

j

m^2 n^2

n∑− 1

i=

i

(m − 1)m 2

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

f ((xi, yj^ ))∆xi∆yj =

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

i n

2 j m

n

m

m^2 n^2

n∑− 1

i=

m∑− 1

j=

ij

m^2 n^2

n∑− 1

i=

i

m∑− 1

j=

j

m^2 n^2

n∑− 1

i=

i

(m − 1)m 2

=

m^2 n^2

(m − 1)m 2

(n − 1)n 2 =

m − 1 m

n − 1 n

Pasando al l´ımite cuando n, m tienden a infinito