Introducción a la Resolución de Ecuaciones y Optimización Numérica en Ingeniería Química -, Apuntes de Ingeniería Química

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CALCULO NUMERICO (UPV-EHU)

TEMA

PROF. 16-

CALCULO NUMÉRICO

1. INTRODUCCIÓN

Los métodos numéricos son un conjunto de técnicas que permiten resolver problemas matemáticos más o menos complejos mediante operaciones aritméticas. Son por tanto una herramienta muy útil en la resolución de problemas habituales en Ingeniería Química, donde frecuentemente las ecuaciones que definen el sistema son complejas, abundantes y se expresan en forma diferencial. Esta situación hace que la solución analítica se restrinja a sistemas sencillos o que exija asumir muchas simplificaciones, y por tanto no es aplicable en situaciones reales.

Generalmente el uso de métodos numéricos requiere realizar un gran número de cálculos aritméticos, y no se suelen utilizar cuando se deben resolver estas operaciones a mano o con calculadora. Al contrario, el uso de este tipo de técnicas de resolución, que fueron desarrolladas por los matemáticos hace ya varias décadas o incluso siglos en algunos casos, se ha generalizado a raíz del desarrollo y abaratamiento de los ordenadores personales, que permiten la realización de grandes volúmenes de operaciones de forma rápida y segura.

Por tanto los métodos numéricos combinan dos herramientas habituales del ingeniero: las matemáticas y los ordenadores. El Cálculo Numérico no es entonces una disciplina específica de la Ingeniería Química, pero si una herramienta habitual cuyo conocimiento y dominio nos ayudará a avanzar en la resolución de problemas que habitualmente se plantean en Fenómenos de Transporte, en Cinética Química, etc... Esta asignatura nos permitirá adquirir los conocimientos necesarios para superar las limitaciones con las que se encuentra el alumno habitualmente en la resolución de problemas complejos, y adquirida esta destreza, permitirá centrar los esfuerzos en la definición del problema y la interpretación del resultado.

En base a todo lo expuesto anteriormente, los objetivos de esta asignatura pueden resumirse en estos tres puntos:

○ Conocer las bases de los métodos habituales para la solución de distintos tipos de problemas.

○ Adquirir la capacidad de aplicar los métodos estudiados por medio de software de programación habitual (Scilab, Excel).

○ Construir herramientas básicas propias que sirvan para resolver problemas planteados en otras asignaturas de la titulación.

1.1. Fundamentos

En esta asignatura se van a estudiar diversos métodos numéricos que se agrupan básicamente en siete categorías:

○ Raíces de ecuaciones: Consiste en encontrar el valor de una variable o parámetro que satisface una ecuación. Son métodos especialmente adecuados para la resolución de ecuaciones cuya solución analítica es compleja.

16 D 0.488m D

D

4 +^5 = → = (1.1)

CALCULO NUMÉRICO

2000

2100

2200

2300

320 340 360 380 T (K)

C

p^ (kJ/kg K)

k (W/m K)

Figura 1.2. Interpolación para determinar las propiedades (Cp y k) de un aceite a 360 ºC.

○ Diferenciación e integración numérica: Una interpretación física de la diferenciación es la determinación de la pendiente de la curva en un punto dado. Igualmente la integración numérica corresponde a la determinación del área bajo la curva (Figura 1.3).

∫ ∑ −

U(T' T'')

T

mC U(T' T'')

dT dQ mCp dT UdA(T' T'') A mCp p (1.4)

295 315 335 355 375 T (K)

1/U(T'-T'')

∫ U(T'− T'')

dT

Figura 1.3. Integración para la determinación del área de un cambiador de calor.

○ Ecuaciones diferenciales ordinarias: Son de gran aplicación en Ingeniería Química, ya que muchas leyes físicas se expresan en términos de variación de una magnitud en una dirección o con el tiempo.

dz

dVx

τ xz =−μ (1.5)

○ Ecuaciones diferenciales parciales: Se utilizan para caracterizar sistemas físicos y químicos donde una magnitud varía con respecto a dos o más variables independientes.

1 INTRODUCCIÓN

∂θ

μ

+ρ + ∂

∂θ

ρ θ

2

z

2 2

z

2 2

z

z z z z z r z

z

v v r

r

v r r r

g x

p z

v v

v r

v r

v v t

v

1.2. Diseño de programas

Hoy en día, en el que se dispone de ordenadores potentes y software abundante para la elaboración de programas de cálculo, se debe insistir especialmente en la conveniencia de escribir los programas de forma clara y amena.

Así, lo mismo que un buen libro se divide en capítulos, al elaborar un programa hay que intentar dividirlo en bloques o módulos especializados en realizar cada una de las tareas involucradas (entrada de datos, cálculos preliminares, cálculos principales, representación de resultados, exportación de datos, ...), y que pueden estar integrados en el propio programa o ser llamados desde éste para realizar su labor. En el segundo caso, estos módulos reciben el nombre de subprograma, y generalmente son de dos tipos: funciones o subrutinas.

Por otro lado, al igual que un libro cuenta con un índice para localizar la información que necesitamos, hay que dotar al programa de un comentario inicial que nos permita identificarlo y encontrar los distintos bloques que lo conforman.

Estos buenos hábitos facilitan la posterior revisión y difusión del programa, y es especialmente necesario cuando se trabaja en grupo, ya que entonces cada uno de los miembros debe ser capaz de leer y comprender el código que hemos generado.

Uno de los problemas más comunes con los que se enfrenta un programador inexperto es comenzar a escribir el programa sin realizar previamente una estructura del mismo, por lo que este termina siendo una serie de órdenes sin pies ni cabeza. Es fundamental invertir inicialmente algo de tiempo en realizar un planteamiento inicial, en el que trazaremos las líneas maestras del algoritmo.

Un algoritmo es la secuencia de pasos lógicos necesarios para llevar a cabo una tarea específica. Para ello, cada paso del algoritmo debe ser determinado, y no puede ser fruto de la casualidad. Es algo así como una receta de cocina. Además, un algoritmo siempre debe terminar después de realizar un número finito de pasos u operaciones.

A continuación se muestra un algoritmo para resolver el problema de la suma de dos números.

Paso 1: Comienza el cálculo. Paso 2: Introducir un valor para la primera variable. Paso 3: Introducir un valor para la segunda variable. Paso 4: Suma de variables Paso 5: Salida del resultado Paso 6: Fin del cálculo

La descripción literal paso a paso es una manera de expresar un algoritmo, y son especialmente indicadas para problemas sencillos o para especificar tareas esenciales en grandes programas. Sin

1 INTRODUCCIÓN

convertir el programa en una maraña de órdenes que se cruzan y se superponen, haciendo imposible su comprensión. Sin embargo se ha demostrado que cualquier programa puede ser elaborado con tres estructuras fundamentales de control, que corresponden a tres operaciones: secuencia, selección y repetición, por lo que algunos nuevos lenguajes de programación como MatLab o SciLab prescinden de este comando. A continuación se muestra el pseudocódigo correspondiente a cada una de ellas:

○ Secuencia:

Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3

○ Selección:

Alternativa simple Alternativa doble Alternativa multiple (N+1) IF condicion Alternativa verdadera END IF

IF condicion Alternativa verdadera ELSE Alternativa falsa END IF

IF condicion 1 Tarea 1 ELSE IF condicion 2 Tarea 2 ELSE IF condicion 3 Tarea 3 … ELSE IF condicion N Tarea N ELSE Tarea N+ END IF

○ Repetición:

Ciclo de preprueba Ciclo de prueba intermedia

Ciclo de postprueba Ciclo de conteo controlado (≈ FOR) DO IF condicion EXIT ELSE Tarea END IF END DO

DO

Tarea IF condicion EXIT ELSE Tarea END IF END DO

DO

Tarea IF condicion EXIT END IF END DO

i= DO IF i > 10 EXIT ELSE Tarea i=i+ END IF END DO

1.3. Cifras significativas, exactitud y precisión

CALCULO NUMÉRICO

Un concepto muy importante a tener en cuenta en la representación de magnitudes por medio de números es lo que se denominan cifras significativas. Cuando se emplea un número en un cálculo, debemos conocer el grado de confianza. Por ejemplo, la Figura 1.5 ofrece la lectura de un altímetro en la cima de Mulieres.

Figura 1.5. Lectura del altímetro en la cima de Mulieres.

Un montañero que consultara el instrumento nos indicaría que se trata de un monte de 3000 m. Sin embargo, la cartografía correspondiente nos indica que la altitud real son 3013 m. Esto se debe a que el altímetro no nos ofrece confianza en la determinación de cuatro cifras. ¿Cuántas cifras podemos precisar con confianza? Podemos confiar en las unidades de millar y en las centenas, y podríamos aventurarnos con las decenas, pero nunca podríamos apurar hasta las unidades. En este caso, el altímetro nos ofrece por tanto dos cifras con confianza y una tercera con cierto margen de error, es decir, cuenta con tres cifras significativas.

El procedimiento para determinar las cifras significativas en ocasiones puede provocar cierta confusión. Por ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal. Los números 0.00001485, 0.0001485 y 0.01485 tienen cuatro cifras significativas. Igualmente, en números grandes los ceros pueden producirnos confusión. Así, el número 45300 puede tener tres, cuatro y cinco cifras significativas, dependiendo de si los ceros se conocen con exactitud. Esta incertidumbre se elimina utilizando la notación científica, en donde 4.53·10 4 , 4.530·10^4 y 4.5300·10^4 nos indican cuantas son las cifras significativas.

La medida (y el cálculo) de determinado parámetro lleva asociado por tanto un error relativo al redondeo. Pero además existen otros dos conceptos estrechamente relacionados con la medida de una magnitud que conviene mencionar ahora: la exactitud y la precisión. Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando la analogía de una diana de tiro (Figura 1.6).

La exactitud por tanto se refiere al acercamiento sistemático al valor verdadero, mientras que la precisión se refiere a la magnitud de la dispersión de los valores.

CALCULO NUMÉRICO

295 315 335 355 375 T (K)

1/U(T'-T'')

Figura 1.7. Cálculo del área del un cambiador de calor.

Vemos por tanto como las aproximaciones en la representación de números, en la realización de operaciones o en la toma de medidas nos genera frecuentemente errores. Pero, ¿cómo podemos definir el error?. Pues bien, el error es la relación entre el valor exacto y el aproximado, de manera que:

E valorverdadero-aproximación

valorverdadero aproximación error v =

donde Ev representa el error verdadero. El mayor defecto de esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está testando. Por ello, es habitual normalizar el error respecto al valor verdadero:

x 100 valorverdadero

errorverdadero ε (^) v = (1.8)

donde εv representa el error relativo porcentual verdadero.

Aunque en estas definiciones del error se ha utilizado el valor verdadero, en muchos casos no es posible disponer de esta información. Por ejemplo, al utilizar los métodos numéricos sólo conoceremos el valor verdadero si existe una solución analítica, pero desgraciadamente esto no suele ser habitual. Por tanto conviene definir un nuevo concepto de error basado en la mejor aproximación del valor verdadero:

x 100 valoraproximado

erroraproximado ε (^) a = (1.9)

donde εa representa el error relativo porcentual aproximado.

Nótese que en la ec. 1.9 no se ha utilizado en el numerador el error verdadero, ya que si no se conoce el valor verdadero no se puede determinar el error verdadero de una aproximación. Por tanto nos encontramos con la necesidad de poder definir un error relacionado con lo que la aproximación se ha acercado hacia el valor verdadero. Para ello, en ocasiones podremos utilizar un método iterativo en el que se van generando nuevas aproximaciones cada vez más próximas entre si. Entonces, el error aproximado se puede definir como la diferencia entre dos aproximaciones consecutivas:

1 INTRODUCCIÓN

E nuevaaproximación-aproximación anterior

nuevaaproximación aproximaciónanterior erroraproximado a =

El signo del error puede ser positivo o negativo, pero en muchas ocasiones no nos importa el signo, sino que lo que deseamos es que el valor absoluto del error sea inferior a una tolerancia determinada (εs ). En tal caso, las iteraciones se repiten hasta que:

ε (^) a <εs (1.11)

Es importante relacionar estos errores con el número de cifras significativas en la aproximación. Se puede demostrar que si se cumple el siguiente criterio, el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

ε s = ( 0. 5 x 102 −n)% (1.12)

1.5. Serie de Taylor y errores de truncamiento

Ya hemos definido anteriormente los errores de truncamiento como aquellos que se generan cuando se utilizan aproximaciones en la realización de operaciones en lugar de utilizar el procedimiento matemático exacto. Pues bien, el teorema de Taylor representa una gran ayuda para la determinación de este tipo de errores.

Básicamente, este teorema establece que cualquier función continua suave puede ser representada de forma aproximada por un polinomio. La formulación matemática de este teorema se traduce en una serie (serie de Taylor):

n

n (n) 3 ( 3 ) (^2) (x a) R n!

f (a) (x a) ... 3!

f (a) (x a) 2!

f''(a) f (x)= f(a)+f'(a)(x−a)+ − + − + + − + (1.13)

donde

x +

a

n

(n 1 ) n (^) n! (x a) dt

f (a) R (^) (1.14)

Si tomamos exclusivamente el primer término de la serie, para un punto situado en x (^) i+1 el resultado (aproximación de orden 0) es:

f (xi + 1 ) ≅ f(xi) (1.15)

que no carece de sentido, ya que si x (^) i+1 está próximo a x (^) i, lo más probable es que su valor no difiera mucho. Evidentemente, cuanto mayor es la distancia entre x (^) i+1 y x (^) i, el error cometido en la aproximación será mayor salvo que la función sea una constante.

Por lo tanto en la mayoría de los casos se requieren términos adicionales de la serie de Taylor. Por ejemplo, la aproximación de primer orden se obtiene sumando el siguiente término de la serie:

f (xi + 1 )≅ f(xi)+f'(xi)(xi+ 1 −xi) (1.16)

1 INTRODUCCIÓN

Para n=0, el término residual (y el error) es proporcional al paso, mientras que para n=1 el error es proporcional a h 2. Por tanto, si reducimos el paso a la mitad, la aproximación de grado 0 reduce el error a la mitad, mientras que la aproximación de grado 1 lo reduce a la cuarta parte.

Es evidente por tanto que el error disminuye al agregar términos a la serie de Taylor. Sin embargo, si h es suficientemente pequeño, las aproximaciones de grado 0 y 1 influyen en gran medida en el error, pero las siguientes aportan poca mejoría.