¡Descarga Introducción a la Resolución de Ecuaciones y Optimización Numérica en Ingeniería Química y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
CALCULO NUMÉRICO
1. INTRODUCCIÓN
Los métodos numéricos son un conjunto de técnicas que permiten resolver problemas matemáticos más o menos complejos mediante operaciones aritméticas. Son por tanto una herramienta muy útil en la resolución de problemas habituales en Ingeniería Química, donde frecuentemente las ecuaciones que definen el sistema son complejas, abundantes y se expresan en forma diferencial. Esta situación hace que la solución analítica se restrinja a sistemas sencillos o que exija asumir muchas simplificaciones, y por tanto no es aplicable en situaciones reales.
Generalmente el uso de métodos numéricos requiere realizar un gran número de cálculos aritméticos, y no se suelen utilizar cuando se deben resolver estas operaciones a mano o con calculadora. Al contrario, el uso de este tipo de técnicas de resolución, que fueron desarrolladas por los matemáticos hace ya varias décadas o incluso siglos en algunos casos, se ha generalizado a raíz del desarrollo y abaratamiento de los ordenadores personales, que permiten la realización de grandes volúmenes de operaciones de forma rápida y segura.
Por tanto los métodos numéricos combinan dos herramientas habituales del ingeniero: las matemáticas y los ordenadores. El Cálculo Numérico no es entonces una disciplina específica de la Ingeniería Química, pero si una herramienta habitual cuyo conocimiento y dominio nos ayudará a avanzar en la resolución de problemas que habitualmente se plantean en Fenómenos de Transporte, en Cinética Química, etc... Esta asignatura nos permitirá adquirir los conocimientos necesarios para superar las limitaciones con las que se encuentra el alumno habitualmente en la resolución de problemas complejos, y adquirida esta destreza, permitirá centrar los esfuerzos en la definición del problema y la interpretación del resultado.
En base a todo lo expuesto anteriormente, los objetivos de esta asignatura pueden resumirse en estos tres puntos:
○ Conocer las bases de los métodos habituales para la solución de distintos tipos de problemas.
○ Adquirir la capacidad de aplicar los métodos estudiados por medio de software de programación habitual (Scilab, Excel).
○ Construir herramientas básicas propias que sirvan para resolver problemas planteados en otras asignaturas de la titulación.
1.1. Fundamentos
En esta asignatura se van a estudiar diversos métodos numéricos que se agrupan básicamente en siete categorías:
○ Raíces de ecuaciones: Consiste en encontrar el valor de una variable o parámetro que satisface una ecuación. Son métodos especialmente adecuados para la resolución de ecuaciones cuya solución analítica es compleja.
16 D 0.488m D
D
4 +^5 = → = (1.1)
1 INTRODUCCIÓN
○ Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales: Son problemas similares a los anteriores, pero en este caso se busca un conjunto de valores que satisfaga simultáneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas.
P 100436. 5 Pa
V 2.78m/s
V 3.57m/s
V 2.78m/s
01 V 0. 0064 V 0. 0064 V
05 V 10. 33 9800
P
- 58 V 9800
P
- 33
9800
P
- 33 2. 5 V
4
c
b
a
b a c
2 b
4
2 b
4
(^24) a
=
=
=
=
→
= +
− =
= +
○ Optimización: Supone la determinación del valor de una variable independiente o parámetro para el cual el valor de la función objetivo (FO) es el mejor (óptimo).
( ) FO (^0) - 1
n
i 1
2 exp cal
A A
k 0.032s n
X X
FO
r k( 1 X )
2 0.
t(s) X
Datosexperimentales:
= =
∑
○ Ajuste de curvas: Se conocen como técnicas de regresión, y se emplean cuando hay un grado significativo de error asociado a los datos (p.ej., datos experimentales). Consiste en encontrar una función (lineal, exponencial, polinómica, ...) que represente la tendencia general de los datos sin necesidad de pasar por los puntos individuales (Figura 1.1).
y = 0.2368x + 17.
18.
19.
19.
19.
4.5 4.8 5.1 5. log ∆ p
log
α
Figura 1.1. Regresión lineal para determinar los parámetros de compresibilidad de una torta de filtración.
○ Interpolación: Se utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos conocidos (p. ej., información tabulada, Figura 1.2).
1 INTRODUCCIÓN
∂θ
μ
+ρ + ∂
∂θ
ρ θ
2
z
2 2
z
2 2
z
z z z z z r z
z
v v r
r
v r r r
g x
p z
v v
v r
v r
v v t
v
1.2. Diseño de programas
Hoy en día, en el que se dispone de ordenadores potentes y software abundante para la elaboración de programas de cálculo, se debe insistir especialmente en la conveniencia de escribir los programas de forma clara y amena.
Así, lo mismo que un buen libro se divide en capítulos, al elaborar un programa hay que intentar dividirlo en bloques o módulos especializados en realizar cada una de las tareas involucradas (entrada de datos, cálculos preliminares, cálculos principales, representación de resultados, exportación de datos, ...), y que pueden estar integrados en el propio programa o ser llamados desde éste para realizar su labor. En el segundo caso, estos módulos reciben el nombre de subprograma, y generalmente son de dos tipos: funciones o subrutinas.
Por otro lado, al igual que un libro cuenta con un índice para localizar la información que necesitamos, hay que dotar al programa de un comentario inicial que nos permita identificarlo y encontrar los distintos bloques que lo conforman.
Estos buenos hábitos facilitan la posterior revisión y difusión del programa, y es especialmente necesario cuando se trabaja en grupo, ya que entonces cada uno de los miembros debe ser capaz de leer y comprender el código que hemos generado.
Uno de los problemas más comunes con los que se enfrenta un programador inexperto es comenzar a escribir el programa sin realizar previamente una estructura del mismo, por lo que este termina siendo una serie de órdenes sin pies ni cabeza. Es fundamental invertir inicialmente algo de tiempo en realizar un planteamiento inicial, en el que trazaremos las líneas maestras del algoritmo.
Un algoritmo es la secuencia de pasos lógicos necesarios para llevar a cabo una tarea específica. Para ello, cada paso del algoritmo debe ser determinado, y no puede ser fruto de la casualidad. Es algo así como una receta de cocina. Además, un algoritmo siempre debe terminar después de realizar un número finito de pasos u operaciones.
A continuación se muestra un algoritmo para resolver el problema de la suma de dos números.
Paso 1: Comienza el cálculo. Paso 2: Introducir un valor para la primera variable. Paso 3: Introducir un valor para la segunda variable. Paso 4: Suma de variables Paso 5: Salida del resultado Paso 6: Fin del cálculo
La descripción literal paso a paso es una manera de expresar un algoritmo, y son especialmente indicadas para problemas sencillos o para especificar tareas esenciales en grandes programas. Sin
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embargo no se suelen utilizar para representar programas complejos, y para ello se prefiere la utilización de diagramas de flujo o los pseudocódigos.
Los diagramas de flujo representan gráficamente el algoritmo, y para ello se emplean una serie de bloques unidos por flechas, de manera que cada bloque representa una operación en especial o un paso del algoritmo y las flechas representan la secuencia en la que se llevan a cabo las operaciones. Los diagramas de flujo se utilizan frecuentemente para proyectar, desenmarañar o transmitir la lógica del programa, ya que son una excelente herramienta pedagógica.
Para facilitar la comunicación, utilizaremos una serie de símbolos que se muestran en la Figura 1. junto con el diagrama de flujo del algoritmo de la suma de dos valores:
Representa el inicio y el final del programa
Representa cálculos o manipulación de datos
Representa la entrada o salida de datos e información
Representa una comparación, pregunta o decisión
Confluencia de líneas de flujo
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Ciclo de conteo controlado (nº específico de repeticiones)
Inicio
Entrada a
Entrada b
Suma a + b y guarda en c
Salida c
Fin
Representa el inicio y el final del programa
Representa cálculos o manipulación de datos
Representa la entrada o salida de datos e información
Representa una comparación, pregunta o decisión
Confluencia de líneas de flujo
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Ciclo de conteo controlado (nº específico de repeticiones)
Representa el inicio y el final del programaRepresenta el inicio y el final del programa
Representa cálculos o manipulación de datosRepresenta cálculos o manipulación de datos
Representa la entrada o salida de datos e informaciónRepresenta la entrada o salida de datos e información
Representa una comparación, pregunta o decisiónRepresenta una comparación, pregunta o decisión
Confluencia de líneas de flujoConfluencia de líneas de flujo
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Ciclo de conteo controlado (nº específico de repeticiones)Ciclo de conteo controlado (nº específico de repeticiones)
Inicio
Entrada a
Entrada b
Suma a + b y guarda en c
Salida c
Fin
Inicio
Entrada a
Entrada b
Suma a + b y guarda en c
Salida c
Fin
Figura 1.4. Símbolos empleados en los diagramas de flujo.
Otra alternativa para expresar un algoritmo es el llamado pseudocódigo, que utiliza instrucciones parecidas a las de un código en lugar de los símbolos del diagrama de flujo. Aquí se hace nuevamente necesario acordar unas normas de escritura, por lo que utilizaremos las mayúsculas para palabras clave que representan comandos del programa (IF, DO, FOR), mientras que las etapas de procesamiento y tareas se escribirán en minúscula. Así, el pseudocódigo del algoritmo de la suma se podría escribir como sigue:
BEGIN suma INPUT a INPUT b c= a + b PRINT c END suma
En lenguajes de programación como FORTRAN, BASIC, etc., uno de los comandos que más complica la lectura y comprensión de un algoritmo es la transferencia incondicional (GO TO). Esta estructura de control permite ir a cualquier parte del programa, pero su uso indiscriminado puede
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Un concepto muy importante a tener en cuenta en la representación de magnitudes por medio de números es lo que se denominan cifras significativas. Cuando se emplea un número en un cálculo, debemos conocer el grado de confianza. Por ejemplo, la Figura 1.5 ofrece la lectura de un altímetro en la cima de Mulieres.
Figura 1.5. Lectura del altímetro en la cima de Mulieres.
Un montañero que consultara el instrumento nos indicaría que se trata de un monte de 3000 m. Sin embargo, la cartografía correspondiente nos indica que la altitud real son 3013 m. Esto se debe a que el altímetro no nos ofrece confianza en la determinación de cuatro cifras. ¿Cuántas cifras podemos precisar con confianza? Podemos confiar en las unidades de millar y en las centenas, y podríamos aventurarnos con las decenas, pero nunca podríamos apurar hasta las unidades. En este caso, el altímetro nos ofrece por tanto dos cifras con confianza y una tercera con cierto margen de error, es decir, cuenta con tres cifras significativas.
El procedimiento para determinar las cifras significativas en ocasiones puede provocar cierta confusión. Por ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal. Los números 0.00001485, 0.0001485 y 0.01485 tienen cuatro cifras significativas. Igualmente, en números grandes los ceros pueden producirnos confusión. Así, el número 45300 puede tener tres, cuatro y cinco cifras significativas, dependiendo de si los ceros se conocen con exactitud. Esta incertidumbre se elimina utilizando la notación científica, en donde 4.53·10 4 , 4.530·10^4 y 4.5300·10^4 nos indican cuantas son las cifras significativas.
La medida (y el cálculo) de determinado parámetro lleva asociado por tanto un error relativo al redondeo. Pero además existen otros dos conceptos estrechamente relacionados con la medida de una magnitud que conviene mencionar ahora: la exactitud y la precisión. Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando la analogía de una diana de tiro (Figura 1.6).
La exactitud por tanto se refiere al acercamiento sistemático al valor verdadero, mientras que la precisión se refiere a la magnitud de la dispersión de los valores.
1 INTRODUCCIÓN
preciso y exacto
exacto e impreciso
preciso e inexacto
Figura 1.6. Tiradores exactos o precisos.
1.4. Definiciones de error
Antes de comenzar a estudiar los métodos numéricos y disfrutar de los beneficios de su utilización en la resolución de problemas complejos, es fundamental entender el concepto de error para usar estos métodos de forma efectiva y racional.
Los errores numéricos se generan al utilizar aproximaciones para representar números y para realizar operaciones.
Los primeros se denominan genéricamente errores de redondeo, y para entenderlos podemos considerar que muchos (tales como π, e o √2) no se pueden expresar por medio de una cantidad fija de cifras. Sin embargo el ordenador no puede trabajar con infinitas cifras, y por lo tanto tales números nunca se podrán representar sin un cierto error. De igual manera, cuando leemos la velocidad a la que circula nuestro vehículo en el velocímetro del salpicadero o la altura en el altímetro antes mencionado, no podemos precisar tantos decimales como corresponden a nuestra velocidad o a nuestra altura real, y nos conformamos con las unidades y en el mejor de los casos con las décimas. Estamos cometiendo un error debido al redondeo en la medida.
Los errores cometidos al utilizar aproximaciones en la realización de operaciones en lugar de utilizar el procedimiento matemático exacto se denominan errores de truncamiento. Así por ejemplo, si para calcular la integral de una función (área bajo la curva) calculamos la suma de las áreas de n intervalos, estamos cometiendo un error debido a la aproximación (Figura 1.7).
1 INTRODUCCIÓN
E nuevaaproximación-aproximación anterior
nuevaaproximación aproximaciónanterior erroraproximado a =
El signo del error puede ser positivo o negativo, pero en muchas ocasiones no nos importa el signo, sino que lo que deseamos es que el valor absoluto del error sea inferior a una tolerancia determinada (εs ). En tal caso, las iteraciones se repiten hasta que:
ε (^) a <εs (1.11)
Es importante relacionar estos errores con el número de cifras significativas en la aproximación. Se puede demostrar que si se cumple el siguiente criterio, el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.
ε s = ( 0. 5 x 102 −n)% (1.12)
1.5. Serie de Taylor y errores de truncamiento
Ya hemos definido anteriormente los errores de truncamiento como aquellos que se generan cuando se utilizan aproximaciones en la realización de operaciones en lugar de utilizar el procedimiento matemático exacto. Pues bien, el teorema de Taylor representa una gran ayuda para la determinación de este tipo de errores.
Básicamente, este teorema establece que cualquier función continua suave puede ser representada de forma aproximada por un polinomio. La formulación matemática de este teorema se traduce en una serie (serie de Taylor):
n
n (n) 3 ( 3 ) (^2) (x a) R n!
f (a) (x a) ... 3!
f (a) (x a) 2!
f''(a) f (x)= f(a)+f'(a)(x−a)+ − + − + + − + (1.13)
donde
x +
a
n
(n 1 ) n (^) n! (x a) dt
f (a) R (^) (1.14)
Si tomamos exclusivamente el primer término de la serie, para un punto situado en x (^) i+1 el resultado (aproximación de orden 0) es:
f (xi + 1 ) ≅ f(xi) (1.15)
que no carece de sentido, ya que si x (^) i+1 está próximo a x (^) i, lo más probable es que su valor no difiera mucho. Evidentemente, cuanto mayor es la distancia entre x (^) i+1 y x (^) i, el error cometido en la aproximación será mayor salvo que la función sea una constante.
Por lo tanto en la mayoría de los casos se requieren términos adicionales de la serie de Taylor. Por ejemplo, la aproximación de primer orden se obtiene sumando el siguiente término de la serie:
f (xi + 1 )≅ f(xi)+f'(xi)(xi+ 1 −xi) (1.16)
CALCULO NUMÉRICO
El nuevo término consiste en la pendiente de la función en x (^) i multiplicado por la distancia entre x (^) i+1 y x (^) i. La ec. 1.16 representa una línea recta que puede predecir un incremento o una disminución de la función entre xi y xi+.
Aunque esta nueva aproximación puede predecir un cambio, solo predice cambios lineales. Por tanto se agrega el término de segundo orden para obtener una cierta curvatura, y la función adquiere la forma:
2 i 1 i i i 1 i i i 1 i (x x) 2!
f''(x) f (x+ )≅ f(x)+f'(x)(x+ −x)+ + − (1.17)
De igual manera, se pueden seguir añadiendo términos hasta la aproximación de grado n.
En cualquier caso, a menos que se escriban infinitos términos de la serie, siempre se cometerá un pequeño error asociado a la aproximación. Combinando las ec. 1.7 y 1.13 se deduce que el precisamente el término residual de la serie de Taylor el que recoge el valor del error verdadero. Por tanto:
n 1 i 1 i
(n 1 ) v n n 1! (x x)
f ( ) E R + +
−
ξ = = (1.18)
donde el subíndice n indica que el residuo corresponde a la aproximación de grado n, y ξ es un valor de x entre xi+1 y xi.
Para simplificar las ec. 1.17 y 1.18 se puede definir una nueva magnitud denominada paso (h) correspondiente a la diferencia entre x (^) i+1 y x (^) i, de manera que la aproximación n y su residuo R (^) n se escribirían:
n 1 (n 1 ) n
i n
(n 1 ) i 2 i 1 i i
h n 1!
f ( ) R
h n!
f (x) h ... 2!
f''(x) f(x ) f(x) f'(x)h
ξ
Para funciones polinómicas la expansión de la serie de Taylor nos llegará a dar el valor exacto, mientras que para otras funciones continuas diferenciables no polinómicas (como exponenciales o trigonométricas) no se puede obtener una estimación exacta con un número finito de términos, aunque el error disminuye a medida que aumenta el número de términos agregados a la serie (el grado de la aproximación).
Por esta razón, si fijamos el error permitido (como error verdadero o porcentual), podemos determinar cual es el grado de la aproximación que nos ofrece un valor suficientemente cercano al verdadero, y de esta manera utilizar la serie de Taylor para predecir ese valor.
La decisión sobre cuántos términos debemos agregar se basa en el término residual R (^) n , porque aunque su determinación exacta tiene dos problemas asociados (no sabemos cuánto ha de valer ξ y no conocemos la derivada de grado n+1 de la función), nos indica que el error es proporcional al paso (h) elevado a n+1:
R n = O (h n+^1 ) (1.20)
