Calculo tensorial, Apuntes de Álgebra

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A L G E B R A L I N E A L,

A L G E B R A M U L T I L I N E A L

Y

K - T E O R I A

A L G E B R A I C A C L A S I C A

E M I L I O L L U I S - P U E B L A

Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico

2008 Segunda Edici´on: Sociedad Matem´atica Mexicana,

Publicaciones Electrnicas

ISBN 968-9161-31-8 (versi´on en l´ınea)

ISBN 968-9161-32-6 (versi´on en CD)

ISBN 968-9161-33-4 (versi´on en papel)

1997 Primera Edici´on: Sistemas T´ecnicos de Edici´on, S.A. de C.V.

San Marcos, 102. Tlalpan 14000 M´exico, D.F.

©c1996 Emilio Lluis-Puebla

Obra compuesta y formada en TEX por Flor de Mar´ıa Aceff S´anchez

Hecho en M´exico.

ISBN 970-629-149-

Sistemas T´ecnicos de Edici´on

ABCDEFGHIJKL-M 9987

iv Indice general

Cap´ıtulo III Formas y Operadores

III.1 Formas bilineales 87 III.2 Formas bilineales, sim´etricas, alternantes, cuadr´aticas y hermitianas 97 III.3 Producto escalar 103 III.4 Operadores adjuntos 109 III.5 El teorema espectral 114

Cap´ıtulo IV Algebra Multilineal y K-Teor´ıa Algebraica Cl´asica

IV.1 Producto tensorial 121 IV.2 Producto exterior 128 IV.3 Estructuras algebraicas 135

IV.4 K 0 y K 1 141

Ap´endice Notas Hist´oricas 151

Bibliograf´ıa 173

Lista de S´ımbolos 175

Indice Anal´ıtico 177

PREFACIO

La mayor´ıa de los textos de Algebra Lineal que se encuentran en nuestro pa´ıs, en espa˜nol, son traducciones de textos en ingl´es dirigidos a estudiantes de diversas disciplinas (Psicolog´ıa, M´usica, Medicina, etc., para los cuales es obligatorio cur- sar Algebra Lineal). Por lo tanto, dichos textos no poseen el enfoque que deben tener para estudiantes de las carreras de Matem´aticas o F´ısica, por mencionar algu- nas. Los textos en otros idiomas dirigidos exclusivamente a estudiantes de F´ısica o Matem´atica son escasos y en espa˜nol lo son a´un m´as. Es as´ı que nuestra intenci´on es la de proveer a los estudiantes de carreras cient´ıficas de un enfoque serio, fun- damentado y moderno del Algebra Lineal. Hemos incluido el Algebra Multilineal, tema excluido de los programas usuales pero que nosotros pensamos que es de im- portancia fundamental, as´ı como la notaci´on que se utiliza en f´ısica para tensores. No se ha descuidado el aspecto computacional, al contrario, se incluyen diversos ejercicios de c´alculo expl´ıcito. Sin embargo, han sido incluidos una gran canti- dad de problemas interesantes que preparan al estudiante para realmente darle la oportunidad de crear matem´aticas. Todos ellos se resuelven utilizando el material expuesto. Como consecuencia del trabajo de resolverlos, le brindan al estudiante la oportunidad de redactar matem´aticas.

Suponemos que el lector est´a familiarizado con algunos de los temas b´asicos del Algebra Superior, es decir, que ya conoce y maneja estructuras algebraicas como IN, QI , IR, CI , CI [x], la definici´on de campo, y ha trabajado num´ericamente con matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Es conveniente que haya conocido los espacios vectoriales IRn^ sobre el campo IR.

Este libro est´a dise˜nado para un curso de un a˜no (dos semestres, estudiando los cap´ıtulos I y II en el primero y los cap´ıtulos III y IV en el segundo; o bien, haciendo

Prefacio vii

PREFACIO (SEGUNDA EDICION)

Este libro cumple ya m´as de diez a˜nos de ser utilizado exitosamente como texto sobre la materia en diversas universidades del Continente Americano, incluyendo algunas universidades de Estados Unidos de Norteam´erica y, desde luego, en M´exico.

He tenido el gusto de ofrecer conferencias en muchas universidades de Cen- troam´erica y Sudam´erica donde me he encontrado con colegas, que llevan mi libro como texto. Me han solicitado una nueva edici´on pues la anterior es imposible de conseguir. Esta nueva edici´on, donde he corregido algunos errores tipogr´aficos y atendido nuevas ideas o sugerencias que al trav´es de los a˜nos me he hecho y han hecho mis propios alumnos (a quienes mucho agradezco), la he incluido dentro de las Publicaciones Electr´onicas de la Sociedad Matem´atica Mexicana mostrando (como matem´atico y Editor Ejecutivo de las mismas) la confianza en este tipo de publicaci´on. Este tiene una excelente accesibilidad, as´´ ı como un nulo costo, que de no ser as´ı, resultar´ıa elevado para los estudiantes y colegas de muchos lugares. Las Publicaciones Electr´onicas de la Sociedad Matem´atica Mexicana tienen acceso libre en l´ınea, pueden copiarse en el ordenador o imprimirse en papel para uso personal. Adem´as, el lector podr´a adquirir las publicaciones en CD o impresas en papel empastado.

Primavera de 2008 Emilio Lluis-Puebla

2 Introducci´on

denota con f −^1 y se llama inversa de f. Si existe un isomorfismo entre dos espacios

vectoriales U y V se dice que los espacios son isomorfos y escribimos U ∼= V.

Si K es un campo, el conjunto de homomorfismos o funciones lineales de U en V lo denotamos con HomK (U, V ) (o con L(U, V ), A(U, V )). Le podemos dar una estructura de espacio vectorial sobre K. Una gran parte del Algebra Lineal consiste del estudio de este espacio vectorial.

Dada una funci´on lineal f : U −→ V entre espacios vectoriales sobre un campo

K podemos considerar su n´ucleo, es decir, el conjunto de todos los elementos

de U cuya imagen es el cero de V , denotado con ker f. Podemos considerar

la imagen de f , es decir, el conjunto de los elementos de V que provienen de

elementos de U , denotado con im f. Tambi´en podemos considerar subespacios de

un espacio vectorial. Estos son subconjuntos tales que el cero del espacio pertenece al subconjunto y este ´ultimo es cerrado bajo la suma y multiplicaci´on escalar.

Sucede lo esperado: la imagen bajo una funci´on lineal de un subespacio es un subespacio; la imagen inversa de un subespacio bajo una funci´on lineal es un sub- espacio; en particular, el n´ucleo y la imagen de una funci´on lineal son subespacios (de donde deben serlo).

La suma de dos subespacios U y V de W , denotada U + V , es el conjunto de

todas las sumas u + v donde u ∈ U y v ∈ V. Se dice que W es suma directa

interna de U y V si todo elemento de W puede escribirse en forma ´unica como

suma de uno de U y uno de V y escribimos W = U ⊕ V. Podemos definir la suma

directa externa de espacios vectoriales {Vi}ni=1 sobre un campo K y la denotamos

con ⊕ni=1Vi como el espacio vectorial cuyos elementos son listas ordenadas de la forma (v 1 , ..., vn) con las operaciones usuales de suma y multiplicaci´on escalar. Si un espacio vectorial V es suma directa interna de subespacios de V entonces es isomorfo a la suma directa externa de los mismos subespacios. En vista de esto

´ultimo hablaremos de la suma directa.

Un espacio vectorial es suma directa de dos subespacios si, y s´olo si, es suma de ellos y su intersecci´on es vac´ıa. La suma directa posee la siguiente propiedad

importante llamada universal: si ϕj : Vj −→ V son funciones lineales de espacios

vectoriales e ıj : Vj −→ ⊕Vi son las inclusiones para i ∈ I = { 1 ,... , n}, entonces existe una funci´on lineal ´unica ϕ : ⊕ni=1Vi −→ V tal que ϕ ◦ ıj = ϕj , j ∈ I.

Introducci´on 3

Esta propiedad caracteriza a la suma directa y podemos representarla mediante el diagrama V ϕj ↗

x ϕ Vj ıj −→ ⊕ni=1Vi

Decimos que un vector v ∈ V es una combinaci´on lineal de elementos de un

subconjunto S de V si existe un n´umero finito de elementos {vi}ni=1 de S tal que v = ∑n

i=1 αivi,^ αi^ ∈^ K. Las^ αi^ se llaman^ coeficientes. El conjunto de todas las

combinaciones lineales 〈S〉 de un subconjunto no vac´ıo S de V es un subespacio que contiene a S y es el m´as peque˜no de los subespacios de V que contiene a S. Dicho

espacio se llama subespacio generado por S y es, por lo tanto, la intersecci´on de

todos los subespacios que contienen a S. Como caso particular, si 〈S〉 = V , todo elemento de V es una combinaci´on lineal de elementos de S y diremos que V est´a

generado por el subconjunto S de V.

El siguiente resultado es fundamental y es consecuencia de la propiedad universal para la suma directa: considere Kn^ = ⊕nj=1Kj donde cada Kj ∼= K, K un campo fijo, g: { 1 ,... , n} −→ Kn^ dada por i 7 −→ ei y V un espacio vectorial sobre K. Entonces para toda funci´on f : { 1 , 2 , ..., n} −→ V existe una funci´on lineal ´unica

φ : ⊕nj=1Kj −→ V tal que f = φ ◦ g, es decir, el siguiente diagrama conmuta:

V

x φ^ ↖f Kn^ ∼= ⊕Kj ←− { 1 , 2 ,... , n} g

La funci´on g se llama funci´on can´onica.

Diremos que el conjunto {vj }nj=1 de vectores de V es (i) linealmente indepen-

diente si φ es inyectiva, (ii) un conjunto de generadores si φ es suprayectiva y (iii)

una base si φ es biyectiva.

En otras palabras, el conjunto {vj } es linealmente independiente si

φ

∑^ n j=

αj ej

∑^ n j=

αj vj = 0

implica que αj = 0 para toda j = 1,... , n; αj ∈ Kj. El que φ sea suprayectiva equivale a decir que todo elemento de V se puede escribir como

∑n j=1 αj^ vj^ , es decir,

Introducci´on 5

de Kn^ y Km^ los colocamos como vectores columna. As´ı, la soluci´on de la ecuaci´on AX = 0 es el n´ucleo de la funci´on lineal f = A: Kn^ −→ Km^ y por lo anterior

dim (ker f ) = dim Kn^ − dim (im f ) = n − r

donde r es el rango de A.

Hemos visto que HomK (U, V ) es un espacio vectorial. Si dim U = m y dim V = n entonces dim HomK (U, V ) = mn. Sea f ∈ HomK (U, V ), β = {ui}mi=1 base de U y β′^ = {vi}ni=1 base de V. Como f (ui) ∈ V , f (ui) puede escribirse como combinaci´on lineal de elementos de β′, es decir

f (u 1 ) = α 11 v 1 + · · · + α 1 nvn .. .

f (um) = αm 1 v 1 + · · · + αmnvn.

Este sistema de ecuaciones lo podemos escribir en la forma  

f (u 1 ) .. . f (um)

α 11 · · · α 1 n .. .

αm 1 · · · αmn

v 1 .. . vn

La matriz

t

α 11 · · · α 1 n .. .

αm 1 · · · αmn

 se llama matriz asociada a f , la denotaremos con

[f ]β

′

β y decimos que^ representa^ a^ f^.

Si [u]β representa el vector traspuesto de coordenadas de u con respecto a la base β y [f (u)]β′^ es el de f (u) con respecto a β′^ entonces se tiene que

[f ]β

′ β [u]β^ = [f^ (u)]β′

es decir, multiplicar el vector de coordenadas de u con respecto a la base β por la matriz [f ]β ′ β nos da el vector de coordenadas del vector^ f^ (u) con respecto a^ β′. Ahora consideremos dos bases de U : β = {ui}ni=1 y γ = {u′ i}ni=1. Entonces

(^1) U (u 1 ) = u 1 = α 11 u′ 1 + · · · + α 1 nu′ n .. .

(^1) U (un) = un = αn 1 u′ 1 + · · · + αnnu′ n.

Luego, la matriz cuadrada

N (^) βγ =

α 11 · · · αn 1 .. .

α 1 n · · · αnn

6 Introducci´on

se llama matriz de transici´on de la base β en la base γ.

La matriz de transici´on N (^) βγ puede verse como la matriz asociada a la funci´on lineal 1U : U −→ U con respecto a las bases β y γ.

Tenemos los siguientes resultados: (i) si f ∈ HomK (U, U ) y N es la matriz de transici´on de la base β = β′^ a la base γ = γ′^ entonces [f ]γ ′ γ =^ N^ −^1 [f^ ] β′ β N^ y (ii) si f ∈ HomK (U, V ), N es la matriz de transici´on de la base β en la base γ de U y M es la matriz de transici´on de la base β′^ en la base γ′^ de V entonces [f ]γ γ ′= M −^1 [f ]β ′ β N^. Finalmente, existe un isomorfismo

HomK (U, U ) ∼= Mn(K)

dado por f 7 −→ [f ]ββ.

Pasamos ahora al estudio del espacio vectorial HomK (U, U ) cuando U es un espa- cio vectorial de dimensi´on finita sobre K. Sus elementos los llamaremos

operadores lineales. Podemos definir otra operaci´on binaria en HomK (U, U ) me-

diante ρ 2 ρ 1 (v) = ρ 2 (ρ 1 (v)) la cual hace de HomK (U, U ) un ´algebra sobre K. As´ı, HomK (U, U ) es un objeto provisto de varias estructuras que lo hace sumamente interesante. (En efecto, si A es un ´algebra con uno sobre un campo K entonces A resulta ser isomorfa a una sub´algebra de HomK (U, U ).)

El resultado (i) anterior nos lleva a definir lo siguiente: dos matrices cuadradas A

y B son similares (o semejantes) si A = N −^1 BN con N una matriz invertible. De

aqu´ı que las matrices A y B representan al mismo operador lineal f ∈ HomK (U, U ) si, y s´olo si, son similares una con la otra. La relaci´on de similaridad o semejanza es una relaci´on de equivalencia, de manera que las matrices asociadas a un operador lineal espec´ıfico constituyen una clase de equivalencia. Para el caso de matrices, sumarlas y multiplicarlas cuando ´estas son diagonales, es muy sencillo. Simplemente uno suma o multiplica los elementos correspondientes de las diagonales. Esta es una buena raz´on para saber cuales matrices son similares a una matriz diagonal.

Un operador lineal f ∈ HomK (U, U ) es diagonalizable si para alguna base de

U , la matriz asociada es diagonal. Tambi´en decimos que dicha base diagonaliza

a f. Entonces podemos afirmar que f es diagonalizable si, y s´olo si, existe una matriz invertible N tal que N −^1 BN es diagonal. Quisi´eramos dar un criterio para saber cu´ando un operador lineal f es diagonalizable. Para ello necesitamos definir algunos conceptos.

8 Introducci´on

polinomio m´onico de menor grado tal que A es su ra´ız lo denotaremos con mA(λ) y

se llama el polinomio m´ınimo de A. Dicho polinomio es ´unico, divide al polinomio

caracter´ıstico y posee los mismos factores irreducibles que el caracter´ıstico de A. Tambi´en, λ es un valor caracter´ıstico de A si, y s´olo si, λ es una ra´ız del polinomio m´ınimo de A. A´un m´as, una matriz cuadrada A es diagonalizable si, y s´olo si, mA(λ) = (λ−λ 1 )(λ−λ 2 ) · · · (λ−λr ) donde λ 1 ,... , λr son los valores caracter´ısticos distintos de A.

El concepto de similaridad de matrices se traduce en uno de similaridad de

operadores el cual, al igual que el de matrices, es una relaci´on de equivalencia.

¿C´omo determinamos si dos operadores son similares? o equivalentemente, ¿c´omo podemos distinguir las clases de equivalencia? Para hacerlo, definiremos ciertas matrices llamadas formas can´onicas, una para cada clase de equivalencia. Definimos

un conjunto de formas can´onicas para una relaci´on de equivalencia ∼ en un

conjunto C como un subconjunto F de C que consiste de exactamente un elemento de cada clase de equivalencia de ∼. As´ı, una vez obtenidas, bastar´a comparar si son las mismas para cada operador. Existen varias formas can´onicas, nosotros consideraremos en este texto ´unicamente la triangular y la de Jordan.

Sea U un subespacio de V. Denotamos con v + U el conjunto de todas las expresiones de la forma v + u donde u recorre todos los elementos de U. Dichos

v + U los llamaremos clases laterales de U en V. Es inmediato comprobar que

cualesquiera dos clases laterales o son ajenas o son iguales. Denotamos con V /U el conjunto de todas las clases laterales de U en V. Si definimos (u + U ) + (w + U ) = (v + w) + U y λ(v + U ) = λv + U hacemos de V /U un espacio vectorial llamado

espacio cociente. La funci´on lineal p: V −→ V /U tal que v 7 −→ v + U se llama

proyecci´on can´onica.

Si U es un subespacio de V tal que ρ(U ) ⊂ U para ρ ∈ HomK (V, V ) decimos

que U es invariante bajo ρ. Dicho operador ρ: V −→ V induce un operador de

U denotado ρ|U. Se sabe que dim V = dim U + dim V /U. Diremos que un operador ρ ∈ HomK (V, V ) puede representarse por una matriz triangular si su matriz asociada con respecto a alguna base lo es. Su polinomio caracter´ıstico se factoriza como producto de polinomios lineales. Lo inverso es cierto: si el polinomio caracter´ıstico de ρ se factoriza como producto de polinomios lineales entonces existe una base de V para la cual la matriz asociada es triangular. Traducido a matrices tenemos que si A es una matriz cuadrada cuyo polinomio caracter´ıstico se factoriza en polinomios lineales entonces A es similar a una matriz triangular.

Se dice que un operador ρ ∈ HomK (V, V ) es descomponible como suma di-

recta de operadores ρ|Ui si V = ⊕si=1Ui con Ui invariante bajo ρ. Escribimos

Introducci´on 9

ρ = ⊕si=1ρ|Ui. El siguiente resultado se conoce como el teorema de la descom-

posici´on primaria.

TEOREMA. Si ρ ∈ HomK (V, V ) posee el polinomio m´ınimo

mρ(λ) = f 1 (λ)η^1 f 2 (λ)η^2... fs(λ)ηs

donde los fi(λ) son polinomios m´onicos irreducibles distintos, entonces V

es suma directa de los subespacios ker fi(ρ)ηi^ y ´estos son invariantes bajo

ρ. A´un m´as, fi(λ)ηi^ es el polinomio m´ınimo de ρ|ker fi(ρ)ηi.

Como consecuencia se tiene que ρ ∈ HomK (V, V ) posee una matriz asociada diagonal si, y s´olo si, su polinomio m´ınimo mρ(λ) es producto de polinomios lineales distintos.

Un operador lineal ρ ∈ HomK (V, V ) se llama nilpotente si ρn^ = 0 para alguna

n > 0. El entero r es el ´ındice de nilpotencia de ρ si ρr^ = 0 pero ρr−^1 6 = 0.

Tambi´en diremos que una matriz cuadrada A es nilpotente si An^ = 0 y r es el

´ındice de nilpotencia de A si Ar^ = 0 pero Ar−^1 6 = 0. Obs´ervese que el polinomio

m´ınimo de un operador nilpotente de ´ındice r es mρ(λ) = λr^ y su ´unico valor caracter´ıstico es el cero. Entonces existe una base del espacio vectorial tal que la matriz asociada a ρ es triangular. El encontrar formas can´onicas para dichos operadores nilpotentes nos permiten encontrar formas can´onicas para cualquier operador que se factorice como producto de polinomios lineales. As´ı tenemos la siguiente

PROPOSICION. Si ρ ∈ HomK (V, V ) es de ´ındice de nilpotencia r y v ∈

V tal que ρr−^1 (v) 6 = 0, entonces el conjunto {ρr−^1 (v), ρr−^2 (v),... , ρ(v), v} es

una base del subespacio que genera, cuya matriz asociada posee ´ındice de

nilpotencia r y es de la forma

A´un m´as, si ρ ∈ HomK (V, V ) es de ´ındice de nilpotencia r, entonces ρ posee

una matriz asociada diagonal por bloques que son de la forma de la matriz

anterior.

Se sabe que existe al menos una matriz de orden r y que las otras son de ´ordenes ≤ r. El n´umero de matrices est´a determinado en forma ´unica por ρ y el n´umero de matrices de todos los ´ordenes es igual a la dimensi´on de ker ρ.

Introducci´on 11

y A se llama matriz asociada a la forma bilineal f con respecto a la base γ,

tambi´en denotada [f ]γ. Se tienen los siguientes resultados para una forma bilineal f : V × V −→ K:

(i) Si N es la matriz de transici´on de una base γ en otra γ′^ de V entonces la matriz B asociada a f con respecto a γ′^ es B = tN AN. (ii) Bil(V ) ∼= Mn(K) dado por f 7 −→ [f ]γ. (iii) Si N es la matriz de transici´on de la base {ui} en la base {vi}, entonces tN −^1 es la matriz de transici´on de las bases duales {fi} en {gi}. (iv) Sea V ∗∗^ = (V ∗)∗, entonces V ∼= V ∗∗.

Diremos que una forma bilineal de V es sim´etrica si f (u, v) = f (v, u) para toda

u, v ∈ V. Sucede que una forma bilineal es sim´etrica si, y s´olo si, su matriz asociada es sim´etrica, i.e. es igual a su traspuesta. Si f posee una matriz asociada diagonal entonces f es sim´etrica.

La forma cuadr´atica asociada a f es la funci´on q: V −→ K dada por q(v) =

f (v, v), v ∈ V. Sea A la matriz sim´etrica asociada a la forma bilineal sim´etrica f. Entonces q(X) = f (X, X) = tXAX =

i,j aij^ xixj^. Si^ A^ es diagonal,^ q(X) = a 11 x^21 + · · · + annx^2 n. La f´ormula f (u, v) = [q(u + v) − q(u) − q(v)]/2 permite obtener f a partir de q.

Si f es una forma bilineal sim´etrica y K es de caracter´ıstica diferente de 2, entonces existe una base de V tal que f posee una matriz asociada diagonal. Una

matriz sim´etrica B es congruente con una matriz sim´etrica A si existe una matriz

no singular o invertible N tal que B = tN AN. As´ı, si A es una matriz sim´etrica con elementos en un campo de caracter´ıstica diferente de 2, entonces A es congruente con una matriz diagonal.

Decimos que una forma bilineal f es antisim´etrica si f (u, v) = −f (v, u) para

toda u, v ∈ V. Si V es de dimensi´on finita, f es antisim´etrica si, y s´olo si, su matriz

asociada A es tal que A = −tA, es decir, antisim´etrica. Tambi´en decimos que f

es alternante si f (v, v) = 0 para toda v ∈ V. Se tiene que toda forma bilineal es

suma de una sim´etrica y una antisim´etrica.

Si consideramos el caso en que K = CI , una forma f : V × V −→ CI se llama

hermitiana si f es lineal en la primera variable y f (u, v) = f (v, u) para u, v ∈ V.

La forma cuadr´atica q: V −→ IR asociada a f , dada por q(v) = f (v, v) se llama

forma cuadr´atica hermitiana.

Si K = IR, decimos que f : V × V −→ IR est´a definida positivamente si

f (v, v) > 0 para toda v ∈ V , v 6 = 0.

12 Introducci´on

Ahora consideraremos espacios vectoriales sobre IR o CI. En ellos podemos definir una forma bilineal sim´etrica o hermitiana definida positivamente 〈 , 〉 lla-

mada producto escalar o interno sobre IR o CI. Este producto escalar permite

definir los conceptos de longitud y ´angulo. La norma o longitud ||v|| de un vector

v que pertenece a un espacio vectorial sobre K = IR o CI se define como

〈v, v〉.

Dos vectores son ortogonales si 〈v, w〉 = 0. El ´angulo θ entre dos vectores u, v ∈ V

diferentes de cero se define como θ = arccos(〈u, v〉/||u|| ||v||) para θ ∈ [0, π]. El con-

junto U ⊥^ = {v ∈ V | 〈u, v〉 = 0 ∀u ∈ U , U un subconjunto de V } se llama conjunto

ortogonal a U y resulta ser un subespacio de V. Sea {vi}ni=1 un conjunto de vectores

de V. {vi}ni=1 es ortogonal si 〈vi, vj 〉 = 0 para i 6 = j y ortonormal si 〈vi, vj 〉 = δij.

El siguiente teorema es de particular importancia y en su demostraci´on se establece un procedimiento para encontrar una base ortonormal de un espacio vectorial de

dimensi´on finita llamado procedimiento de Gram-Schmidt:

TEOREMA. Sea {ui}ni=1 una base del espacio vectorial de dimensi´on

finita V sobre IR o CI. Entonces existe una base ortonormal {vi}ni=1 de V

tal que la matriz de transici´on es triangular.

Un resultado ´util es el siguiente: si U es un subespacio de V entonces V ∼= U ⊕U ⊥.

As´ı, podemos hablar de una proyecci´on llamada ortogonal de V en U , pU : V −→ V

tal que im pU = U y ker pU = U ⊥.

Un espacio que posee un producto escalar se llama espacio con producto es-

calar. Sea V un espacio vectorial con producto escalar sobre un campo K = IR

o CI y g: V −→ V ∗^ dada por g(v)(u) = gv (u) = 〈u, v〉. As´ı claramente, cada vec- tor v ∈ V nos determina un funcional gv. Lo inverso tambi´en sucede: si V es de dimens´on finita y f : V −→ K un funcional, entonces existe un vector ´unico v ∈ V tal que f (u) = 〈u, v〉, para toda u ∈ V. Estos resultados nos dicen que cualquier funcional es igual al producto escalar con un vector fijo de V.

Sea u un elemento fijo de un espacio vectorial de dimensi´on finita V con producto escalar y ρ ∈ HomK (V, V ). Consideremos f ∈ V ∗^ un funcional dada por f (v) = 〈ρ(v), u〉. Luego, existe un vector ´unico u′^ ∈ V tal que 〈ρ(v), u〉 = 〈v, u′〉 para toda v ∈ V. Definimos ρ∗: V −→ V tal que ρ∗(u) = u′. Entonces 〈ρ(v), u〉 = 〈v, ρ∗(u)〉,

ρ∗^ resulta ser lineal, ´unico, y se le llama operador adjunto de ρ.

Si A es la matriz asociada a ρ con respecto a una base ortonormal de V entonces la matriz asociada a ρ∗^ es A∗^ = tA.

Se define un isomorfismo f : V −→ V ′^ entre espacios vectoriales con producto

escalar como un isomorfismo que preserva productos escalares, es decir, tal que 〈f (v), f (u)〉 = 〈v, u〉 para toda v, u ∈ V.