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to. Física
y
Mecánica
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Cálculo tensorial
Elvira Martínez Ramírez
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Asignatura: Calculo, Profesor: , Carrera: Enfermería, Universidad: Nebrija
Tipo: Apuntes
2013/2014
1 / 27
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Dpto. Física y Mecánicap^
y
Cálculo tensorial
Elvira Martínez Ramírez
Transformaciones
de^ coordenadas.
Giros^ de^ ejes
cartesianos
Notación Tipos^ de^ tensores
Direcciones
principales
de^ un^ tensor
de^ segundo
orden
Transformaciones
de^ coordenadas.
Giros^ de^ ejes
cartesianos Invariantes
tensoriales Momento^
tensorial^ respecto
a^ una^ recta
R Tensor^ de^ inercia Cuádrica de
inercia
OCW-UPM
C^
d Convenio de Einstein
n
a b^ a b
a b^
a b^
a b
+^ +
+^
+^
=^ ∑
1 1 2
2 3
3
1 ....^ n
n^
i^ i i
a b^ a b
a b^
a b^
a b =
+^ +
+^
+^
=^ ∑^ n
a b c^ a b c
a b c^
a b c^
a b c
+^ +
+^
+^
∑
1 1 2
2 3
3
1 .... j^ j j^
n^ j^ n^
i^ j^ i i
a b c^ a b c
a b c^
a b c^
a b c =
+^ +
+^
+^
=^ ∑
en^ estas
expresiones
la^ suma
se^ verifica
respecto
de^ dos
p^
p
subíndices repetidos de su término general. “Cuando en una
expresión monomia figuren dos subíndices repetidos, se entenderá que se trata de una suma en la que los subíndices repetidos vansumados de 1 a n” sumados de 1 a n.
n a b^
a b= ∑^ i^ i^1
i^ i a b^ i a b =∑ (^) =
OCW-UPM
óNotación T: Tensor de componentes T
ij
T: Tensor de componentes T
ij
N: Número de componentes = n
m
n: Orden del tensor
i^ (^ i
bi^ t idi
i^
l)
m: espacio (uni, bi, tridimensional)
OCW-UPM
f^
d^ d
d^ G^ d
El tensor es independiente del sistema de referencia que se utilice, lo único
b^ l^
d^
d^ f
Transformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos que cambia^
al^ pasar
de^ un^
sistema^
de^ referencia
a^ otro
son^ sus
componentes pero no la magnitud física.
X^
X´^1
X´^
X^2 X^2
5 ´^1 G^ v^ u= G
G^ G^ G^4 3 +
G^5
4 3 v u^ u= +^1
(^5) v = X^1 OCW-UPM
f^
d^ d
d^ G^ d
Transformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos
Z^1 Z’^1
Y’^1 Y^1 'i^
j^ ij v^
v^ α=
1 i^ '
j^ ij ij rs^ ir
js T^
T^ α^
α
X^1
ij^
rs^ ir^
js
X’^1
OCW-UPM
f^
d^ d
d^ G
d
Transformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos Ejes X^ XX^12
3
Ejes X´^ X´^1
X´^23
v^1
w^1
v^2
w^2
v^3
w^3
v^
w
v^ j
wi^ OCW-UPM
f^
d^ d
d^ G
d
Transformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos Ejes X^ XX^12
3
Ejes X´^ X´^1
X´^23
11 12
13
T^ T^
T
⎛^
11 12
13 21 22
23
T^ T^
T
T^ T^
T
T^ T^
T
⎛^
⎜^
⎜^
⎜^
⎝^
11 12
13 21 22
23 ´^ ´^
´ ´^ ´^
´ T^ T^
T T^ T^
T ⎛^
⎞ ⎜^
⎟ ⎜^
⎟ ⎜^
⎟
31 32
33
T^ T^
T
⎜^
⎝^
⎠^
31 32
33 ´^ ´^
´ T^ T^
T ⎜^
⎟ ⎝^
⎠
T^
´Tij
T^ rs
ij^ OCW-UPM
d
11 12
13 T^ T^
T
⎛^
⎜^
Tipos de tensores
11 12
13 21 22
23 T^ T^ ij
⎜^ T^ T T^ T^ T
= ⎜^
⎜^
⎝^
Dado el tensor^ Tensor transpuesto: se obtiene intercambiando filas y columnas
31 32
33 T^ T^
T
⎝^
11 21
31 T^ T^
T
T^ T^
T^ T^
T
⎛^
⎜^
⎜^
12 22
32 13 23
33
T^ T^ ij^ ji
T^ T^
T
T^ T^
T
=^ = ⎜
⎜^
⎝^
OCW-UPM
d
11 12
13 T^ T^
T
⎛^
⎜^
Tipos de tensores
11 12
13 21 22
23 T^ T^ ij
⎜^ T^ T T^ T^ T
= ⎜^
⎜^
⎝^
Dado el tensor
31 32
33 T^ T^
T
⎝^
Tensor^ adjunto:
sus^ componentes
son^ los
adjuntos
respectivos
en^ el
determinante del tensor, siendo estos
A^ A^
A
⎛^
11 12
13 21 22
23 A adjij
A^
A
T^
A^ A^
A
A^ A^
A
⎛^
⎜^
= ⎜^
⎜^
⎝^
31 32
33 A^ A^
A
⎜^
⎝^
22 23
23 21 T^ T^
T^ TA A^
, 11
12 31 33
33 31 =^
=A A^ T^
T^
T^ T
OCW-UPM
Tipos de tensores
1 12 T^ T^13 ω^2
23 3 32
33 1
11 2
21 3 31
T^ T T^ T^
A^ A
A
ω^ ωv
ω^ ω
ω+ +
=^
= 1 11
12 13 12 22 23 v^ T^
T^ T^
T
T^ T^
T 13 32
33 T^ T^
T A^
Aji 1
A^ ji^ j i v^
ω = T
ji (^1) − (^) T = ij Tij
OCW-UPM
l^ d^
d^
d^ d
Direcciones principales de un tensor de segundo orden Cuando se aplica el tensor T a un vector v , se obtiene Cuando se aplica el tensor T a un vector v , se obtienemediante la ecuación de transformación las componentes delvector en los nueves ejes
ω:
La recta que contiene al vector v forma con los ejes X
X^ X
La recta que contiene al vector v, forma con los ejes X
, X, X 1 2 , 3
ángulos
α,^ α,^1
α.^3
G^
G v u
OCW-UPM
l^ d^
d^
d^ d 3
11
12 131 2 (^ -^ )^
+^ +
= 0 u^ u^
u T^ λT^ T
Direcciones principales de un tensor de segundo orden
3 11
12 131 2 21 22
23 1
2 3 (^ ) +(^
-^ )^ +^
= 0 u^
u^ u T^ T
λT 31 32
331 2
3 +^ +(
-^ )^
= 0 u^ u
u T^ T T
λ
Para que el sistema sea compatible, ,se tiene que anular eldeterminante de los coeficientes de la matriz
11
12
13 T^
T^
T
determinante
de^ los^
coeficientes
de^ la^ matriz 21 22
23 31
32 33
T^ T
T
T^
λ^ T T
−^
31
32 33
OCW-UPM
l^ d^
d^
d^ d
Se obtiene una ecuación de tercer grado en
λ
Direcciones principales de un tensor de segundo orden
K+L
∆λ λλ
es la ecuación característica o ecuación secular cuyas raíces λ^ λ^ λ
son los valores propios del tensor λ,^ λ,^ λ^1
son los valores propios del tensor. 3
- Cada valor propio corresponde a una dirección principal.*^ Si^ el
sistema
tiene^
tres^ soluciones
reales
tiene
tres
Si^ el^ sistema
tiene^
tres^ soluciones
reales,
tiene^
tres
direcciones principales, y si tiene una solución real tiene una dirección principal.
OCW-UPM