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desarrollo de ejercicios de vectores, cuadratica, limites
Tipo: Ejercicios
1 / 30
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Unidad 1 - Tarea 1 - Funciones de varias variables
Estudiantes
Ricardo Oviedo Duran Cód. 13850945
Jorge Uribe Cód.
Cristian Bayona Cód.
Jorge Ruiz Cód.
Sneider Alvarez B Cód. 1090455694
Tutora
Grupo: 203057_
Septiembre 2020
El siguiente trabajo trató sobre los conceptos de la unidad 1, funciones de varias
variables, dónde se realizaron ejercicios para la correcta comprensión de los temas
tales como: Vectores, Rectas y planos, Superficies cuadráticas, Funciones vectoriales,
y Límites y continuidad.
u =
v
(
)
(
)
b. p: (2,-5,14) y q: (-16,23,-4)
Las coordenadas del vector se determinan restando las coordenadas del punto
extremo 𝑞 y el punto origen 𝑝
⃗ v =⃗ pq = q − p =(−16,23 , − 4 )−( 2 , −5,14 )=(−18,28 , − 18 )
El punto medio del segmento de recta pq ´^ se determina sumando las
coordenadas de cada punto y dividiéndolo entre 2
(^) pq ´=
q + p
Un vector unitario se determina dividiendo cada coordenada entre el valor de su
módulo. El módulo (o la norma) que coincide con la longitud del vector, se
determina por:
|⃗ v |=√ x
2
2
2
2
+( 28 )
2
+(− 18 )
2
El vector unitario es:
u ⃗ v
[
x
y
z
]
[
]
[
]
[
]
Figura 1. Determinación grafica del vector PQ en Geogebra
Figura 2. Determinación grafica del punto medio PQ usando Geogebra
d. p: (−3, −2, 1) y q: (14, 4, −1)
e. p: (12, 3, 8) y q: (−5, 16,0)
Respuesta: ⃗ v =⃗^ pq = q −^ p =(−5,16,0)−(^ 12,3,8)=(−17,13^ , −^8 )
Respuesta:
pq ´=
q + p
Respuesta:
|⃗ v |=√ x
2
2
2
2
+( 13 )
2
+(− 8 )
2
El vector unitario es:
u ⃗ v
[
x
y
z
]
[
]
[
]
[
]
2. Grupo de ejercicios 2 – Rectas y planos:
Obtenga una ecuación de la recta L^ que satisfaga las condiciones indicadas. Haga
un análisis de los resultados obtenidos gráficamente con ayuda de GeoGebra:
a. Perpendicular al plano π : 3 x + y + 2 z = 7 y pasa por el punto A= (
)
Observando la gráfica, aunque se encontró la ecuación simétrica, no he podido
lograr que la recta L ⊥ a π pase por el punto A.
b. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,5/2,3) y es
paralela a los planos x + 2 y − z = 0 y 2 x + y + z = 1
Para determina la ecuación de una recta en el espacio es necesario tener 2
datos disponibles: Un punto y el vector director que la recta, que es un vector
paralelo a esta.
Sea (^ x 0
, y 0
, z 0
) (^) un punto de la recta y sea u ⃗ =( u 1
, u 2
,u 3
) (^) su vector director,
entonces la forma vectorial de la ecuación de una recta en el espacio es:
( x , y , z )=( x 0
, y 0
, z 0
Para el caso dado, los 2 planos dados son paralelos a la recta, por lo cual el
producto vectorial de los vectores normales de los planos, será un vector
perpendicular a estos y paralelo a la recta, coincidiendo con un posible vector
director de la recta. Las normales de los planos dados son:
1
2
El producto vectorial es:
u ⃗ =
|
i j k
|
Por lo que la ecuación de la recta es:
( x , y , z )=(− 1 + 3 λ ,
− 3 λ , 3 − 3 λ )
O en su forma paramétrica:
{
x =− 1 + 3 λ
y =
− 3 λ
z = 3 − 3 λ
Graficando en Geogebra:
Figura 4. Grafica de la recta paralela a 2 planos.
c. Pasa por el punto (−5, 4, −1) y es paralelo al eje y****.
El vector dirección del eje y:
La ecuación de la recta es
R =⃗ p + t ⃗ v ;
R =(−5, 4,− 1 )+ t ( 0,3,0)
3. Grupo de ejercicios 3 – Superficies Cuadráticas:
Identifique el tipo de superficie de las siguientes ecuaciones, escriba una
parametrización y realice la gráfica con ayuda de GeoGebra; Observación: Es
necesario realizar el proceso de complementación de cuadrados:
a. (^) x
2
2
− 4 x − 4 y − 4 z + 17 = 0
Haciendo el proceso de complementación de cuadrados tenemos:
x
2
− 4 x + 4 + z
2
− 4 z + 4 ± 4 y + 17 − 8 = 0 ( x − 2 )
2
+( z − 2 )
2
− 4 y + 9 = 0
Despejando y tenemos:
( x − 2 )
2
2
( z − 2 )
2
2
y
Es la Ecuación de un paraboloide elíptico porque es de la forma
y
c
x
2
a
2
z
2
b
2
Hallamos el vértice haciendo:
x − 2
2
z − 2
2
=0, y ,
y
v =(2,
b. (^) x
2
2
Completando cuadrados en las variables x, z, tenemos:
x
2
2
− 32 z = 16 y + 15
x
2
2
− 2 z + 1 − 1 )= 16 y + 15
( x +
2
2
− 1 )= 16 y + 15
( x +
2
2
− 16 = 16 y + 15
( x +
2
2
= 16 y +
( x +
2
2
64 y + 125
( x +
2
+(^ z − 1 )
2
64 y + 125
( x +
2
+(^ z − 1 )
2
= y +
y =
( x +
2
2
La ecuación se corresponde con una superficie tipo paraboloide con sección
transversal elíptica, que abre hacia el eje cuya variable no aparece elevada al
cuadrado. Graficando la ecuación en Geogebra tenemos:
Aplicamos factorización
( (^) x + 3 )
2
− 2 (^ y − 3 )
2
(
z +
)
2
( x + 3 )
2
2 ( y − 3 )
2
(
z +
)
2
d. 6 �$ + 3�$ − 2�$ + 12� − 18� − 8� + 7 = 0
e. 4x² + 9 𝑦 ² − 𝑧 ² − 54 𝑦 − 10 𝑧 + 56 = 0
se agrupan los términos semejantes de iagual signos:
4 x
2
2
− 54 y − z
2
− 10 z + 56 = 0
4 x
2
2
− 6 y )
2
+( z
2
− 10 z )
2
4 ( x )
2
2
− 6 y + 9 )
2
+( z
2
− 10 z + 25 )
2
4 ( x )
2
2
− 6 y + 9 )
2
+( z
2
− 10 z + 25 )
2
( x )
2
+( y − 3 )
2
+( z − 5 )
2
Despejando y tenemos:
( y − 3 )
2
2
( z − 5 )
2
2
x
Es un paraboloide elíptico porque es de la forma
Formula:
y
c
x
2
a
2
z
2
b
2
Se remplaza para halla vértice:
y − 3
2
z − 5
2
=0, x ,
x
v =(2,
4. Grupo de ejercicios 4 – Funciones vectoriales:
En los siguientes ejercicios, para la función vectorial dada R ( t^ )^ escriba sus vectores
normales unitarios, la ecuación de la recta tangente en el punto P^ y su curvatura. Dibuje
la curva trazada por la función vectorial y la recta tangente con ayuda de GeoGebra.
a. R^ (^ t^ )= t
2
i + t
3
j + t
− 1
k , P =
(
)
Calculamos la magnitud
‖[
R ´ ( t ) x
R ´ ´ ( t ) ] x
R ´ ( t )‖=
√
(
)
2
(
)
2
2
=
√ 15
2
∗ 23835
N ( t )=
(
)
(
)
Calculamos la curvatura de R usando la ecuación:
K (^ t )=
3
K ( t )=
‖(
)‖
(
)
3
√
2
(
)
2
2
(
)
3
√
(
)
3
(
)
3
b. R^ (^ t^ )=cos^ (^ t^ )^ i − tj − sen (^ t ) k^ con P (^
π
La función vectorial dada es una curva parametrizada que proyectada en el
coordenado “yz” arroja una sinosoidal, la gráfica de dicha función en el espacio
incluyendo el punto P dado es:
Figura 6. Grafica de la curva parametrizada.
El valor de t que hace que la función parametrizada arroje las coordenadas del
punto P es
t =
π
Para determinar el vector normal unitario debemos determinar en primer lugar el
vector tangente a la curva en el punto P, empleando derivadas:
dR ( t )
dt
=− sen ( t )− 1 −cos ( t )
Evaluando en t =^
π
dR ( t )
dt
