Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas: Ejercicios y Aplicaciones, Apuntes de Cálculo Avanzado

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INTEGRALES TRIPLES

FACULTAD DE INGENIERÍA

¿Qué recuerdas?

• FACULTAD DE INGENIERÍA

Logros esperados

• Representa gráfica y simbólicamente la región de integración de una integral triple tanto en coordenadas cartesianas como en cilíndricas.
• Analiza el uso coherente y pertinente de coordenadas cilíndricas en el cálculo de una integral triple.

Saberes previos Antes de iniciar el estudio de las funciones de varias variables, recordemos algunos contenidos que nos ayudarán a comprender íntegramente lo que estudiaremos en esta lección. Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno, luego compare las soluciones con sus compañeros. ➢Grafica de regiones limitadas del espacio. ➢Integrales dobles en coordenadas polares.

Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas se usan para describir regiones que son simétricas respecto a alguno de los ejes. La posición de un punto 𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧) en el espacio está determinada por los números 𝑟; 𝜃 y 𝑧 donde 𝑟; 𝜃 son las coordenadas polares del punto (𝑥; 𝑦). 𝒓; 𝜽 : Coordenadas polares de 𝑃’ 𝒛: Distancia dirigida de 𝑃 al plano 𝑋𝑌 𝑃’ Proyección de^ 𝑃^ sobre^ 𝑋𝑌

Integral triple en coordenadas cilíndricas El siguiente teorema muestra el cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas para calcular integrales triples. Sea 𝑓 continua en el sólido 𝐸 ⊂ ℝ 3 , entonces se cumple ම 𝑬

𝑬

EJEMPLO Exprese la integral (^) ׮ 𝐸 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑉 como una integral triple iterada en coordenadas cilíndricas el sólido limitado por 𝑥 2

• 𝑦 2 = 9 ; 𝑧 + 𝑥 2 9

𝑦 2 9

Solución

PROBLEMA Determine ම 𝑬 𝟓 𝒙 𝟐

• 𝒚 𝟐 𝒅𝑽 donde 𝐸 es el sólido limitado por el cilindro 𝒙 𝟐
• 𝒚 𝟐 = 𝟏, el plano 𝒛 = 𝟒 y el paraboloide 𝒛 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 . Solución PASO 1: Graficamos el sólido descrito en el ejercicio. (^) 𝒙𝟐^ + 𝒚𝟐^ = 𝟏 𝒚 𝒙 𝒛 𝒛 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 𝒛 = 𝟒

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDIANTE: PASO 2: Proyectamos en el plano 𝑋𝑌 y describimos esta proyección en coordenadas polares 𝐸𝑋𝑌: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋; 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. 𝒙 𝒚 PASO 3: Determinamos la variación de 𝑧. Observamos el sólido y notamos que: Limite inferior: Superficie 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , a cilíndricas: 𝑧 = 1 − 𝑟 2 . Limite superior: Superficie 𝑧 = 4 , a cilíndricas: 𝑧 = 4. Luego el sólido descrito en coordenadas cilíndricas es 𝐸: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋; 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 ; 1 − 𝑟 2 ≤ 𝑧 ≤ 4. = න 0 2 𝜋 න 0 1 5 𝑟 2 ( 3 + 𝑟 2 )𝑑𝑟 𝑑𝜃 = න 0 2 𝜋 6 𝑑𝜃 = 12𝜋. PASO 4: Calculamos la integral triple ම 𝐸 5 𝑥^2 + 𝑦^2 𝑑𝑉 = න 0 2 𝜋 න 0 1 න 1 −𝑟^2 4 5𝑟. 𝒓 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃 = න 0 2 𝜋 න 0 1 5 𝑟 2 ( 3 + 𝑟 2 )𝑑𝑟𝑑𝜃