Derivadas Parciales de Primer Orden: Razón de Cambio y Regla de la Cadena, Apuntes de Cálculo Avanzado

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Derivadas parciales de

primer orden

Razón de cambio y regla de la cadena

Derivadas parciales de primer

orden

Razón de cambio

CONTENIDOS

Saberes previos Antes de iniciar el estudio de las funciones de varias variables, recordemos algunos contenidos que nos ayudarán a comprender íntegramente lo que estudiaremos en esta lección. ➢Reglas de derivación. Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno, luego compare las soluciones con sus compañeros.

Derivadas parciales de primer orden

Derivadas parciales (regla práctica) Podemos usar la siguiente regla práctica para calcular derivadas parciales para una función de tres (o dos) variables 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧). 𝜕𝑓 𝜕𝑥 Considerar a 𝒚 y 𝒛 como constantes y derivar respecto de 𝑥. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 Considerar a 𝒙 y 𝒛 como constantes y derivar respecto de 𝑦. 𝜕𝑓 𝜕𝑧 Considerar a 𝒙 y 𝒚 como constantes y derivar respecto de 𝑧.

EJEMPLO PARA MOSTRAR EN CLASE

Calcule las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes:

a) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 2𝑥𝑦³ + 3 𝑦

2 𝑥³ − 9_. b)_ 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 3

• 𝑡𝑎𝑛 𝑦 2 − 𝑥³. c) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2 8 +𝑦 4

2

• 𝑥. d) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑒 −𝑦 2
• 4 3 𝑦 2 − 𝑥. e) 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥+ 2 𝑦 3 𝑦− 9 𝑥 2

3 − 9 𝑦 2 6 . Solución:

𝒇(𝒙; 𝒚) = 𝒆

𝟑

• 𝒕𝒂𝒏 𝒚

− 𝒙³

𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 𝟏𝟐𝒙 + 𝒚

• 𝟐𝒙

𝒚 − 𝟖𝒙

Interpretación geométrica 𝝏𝒇 𝝏𝒚 𝒙𝟎; 𝒚𝟎 Pendiente de la recta tangente en el punto 𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑓( 𝑥 0 ; 𝑦 0 ) de la curva 𝐶 (orientada en la dirección de 𝑗Ԧ) formada por la intersección de la gráfica de 𝑓 y el plano perpendicular a 𝑋𝑌 que pasa por 𝑥 0 ; 𝑦 0 y es paralelo a 𝑗Ԧ 𝐶 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙𝟎; 𝒚𝟎 𝟏 𝝏𝒇 𝝏𝒚

Trabajo individual La gráfica de la función 𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 − 𝒚 representa una colina. Una persona se encuentra ubicada en el punto 2 , 5 ; 1 , 5 ; 𝑓 2 , 5 ; 1 , 5. Determine la pendiente de ascenso (o descenso) cuando la persona camina en la dirección a.- Positiva del eje X b.- Positiva del eje Y

Interpretación como razón de cambio Las derivadas parciales también pueden interpretarse como la razón de cambio instantáneo de la función respecto de una variable, mientras la otra permanece constante. Así,

• 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑥 0 ; 𝑦 0 se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de la función 𝑓 a lo largo del semieje positivo 𝑋.

𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑥 0 ; 𝑦 0 se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de la función 𝑓 a lo largo del semieje positivo 𝑌. Es decir, las derivadas parciales miden la velocidad de variación parcial de la función con respecto a cada variable, cuando las demás se mantienen fijas.

EJEMPLO Una lámina de metal plana se encuentra en un plano 𝑋𝑌 y su temperatura (en grados Celcius) en un punto 𝑥; 𝑦 está dada por la siguiente expresión 𝑇 𝑥; 𝑦 = 10 𝑥 2

• 𝑦 2 2 (donde 𝑥 e 𝑦 , se miden en centímetros). Calcule la razón de cambio de la temperatura desde la posición 2 ; 1 a) En la dirección positiva del eje 𝑋 b) En la dirección positiva del eje 𝑌 Solución:

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDIANTE: 1

• La ley de los gases ideales 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 (en la que los números 𝑛 y 𝑅 toman valores constantes) relaciona las variables de presión 𝑝, volumen 𝑉 y temperatura 𝑇 de un gas. Demuestre que
• 𝜕𝑝 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑝 = − 1 Solución: PASO 1: Para expresar las derivadas parciales, expresemos cada una de las variables en términos de las otras: 𝑝 = 𝑛𝑅 𝑇 𝑉 ; 𝑉 = 𝑛𝑅 𝑇 𝑃 ; 𝑇 = 1 𝑛𝑅 𝑃𝑉 PASO 2: Derivamos parcialmente cada una de las variables anteriores, respecto de la variable que necesitamos: 𝜕𝑝 𝜕𝑉 = 𝑛𝑅 −𝑇 𝑉 2 ; 𝜕𝑉 𝜕𝑇 = 𝑛𝑅 1 𝑃 ; 𝜕𝑇 𝜕𝑃 = 1 𝑛𝑅 𝑉

PASO 3: Multiplicamos y simplificamos: 𝜕𝑝 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑃 = −𝑛𝑅 𝑇 𝑣 2 𝑛𝑅 1 𝑃 1 𝑛𝑅 𝑉 = −𝑛𝑅 𝑇 𝑉𝑃 Pero notemos que −𝑛𝑅𝑇 = 𝑃𝑉 en consecuencia: 𝜕𝑝 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑃 = − 1