Lagrange de calculo de varias variables, Apuntes de Cálculo Avanzado

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Extremos de funciones de

varias variables

Criterio del Hessiano, multiplicadores de Lagrange y Hessiano orlado

Extremos relativos de una función de dos y tres variables

Criterios del Hessiano

Máximos y mínimos condicionados

Método de multiplicadores de LaGrange y Criterio del

Hessiano orlado

CONTENIDOS

Saberes previos Antes de iniciar el estudio de las funciones de varias variables, recordemos algunos contenidos que nos ayudarán a comprender íntegramente lo que estudiaremos en esta lección.

Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno, luego compare las soluciones con

sus compañeros.

Derivadas de orden superior.

Determinantes de orden y.

Saberes previos

1. Calcule la segunda derivada de las siguientes funciones:

a)

b)

c).

2. Calcule el determinante siguientes matrices:

a).

b).

c).

Sea una función definida en y es un punto de mínimo local de cuando para todo suficientemente cerca de. es un punto de máximo local de cuando para todo suficientemente cerca de Cualquier punto del eje X es punto de mínimo local 𝑥 𝑦 𝑧 𝒇 ( 𝒙 ; 𝒚 )= 𝒚 𝟐 El punto es punto de máximo local. ¿Existen puntos de mínimo local? 𝑥 𝑦 𝑧

𝒇 (^ 𝒙 ; 𝒚 )=| 𝒙

𝟐

• 𝒚 𝟐

EXTREMOS RELATIVOS

Sea una función con derivadas parciales de segundo orden continuas. Para hallar los extremos relativos de la función , se siguen los siguientes pasos: Paso 1. Se determinan los puntos críticos que son las soluciones del sistema: Paso 2. Para cada punto crítico se calcula el siguiente determinante, llamado Hessiano Máximos y mínimos: Funciones de dos variables

EJEMPLO PARA MOSTRAR EN CLASE Determine los extremos relativos de la siguientes función: a). Solución:

EJEMPLO PARA MOSTRAR EN CLASE Determine los extremos relativos de la siguientes función: c). Solución:

EJEMPLO PARA MOSTRAR EN CLASE Una caja rectangular cerrada con un volumen de se construye con dos clases de material. La parte superior e inferior se hace con un material que cuesta dólares el metro cuadrado; los lados, con un material que cuesta dólares el metro cuadrado. a) Modele la función costo en función de dos variables. b) Determine las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo. Solución:

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDIANTE: 1 Sea la función Determine los puntos críticos de y clasifíquelos (máximo relativo, mínimo relativo, punto silla). Solución: PASO 1: Se calculan los puntos críticos resolviendo el sistema: Reemplazamos la segunda ecuación en la primera y obtenemos: de donde y de la segunda ecuación Como las funciones «seno» y «coseno» nunca se anulan simultáneamente, tenemos que: De donde obtenemos las soluciones: donde Luego todos los puntos críticos son de la forma: donde