Cálculo II: Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas, Diapositivas de Cálculo

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MA263 CÁLCULO II

𝐶

Integrales triples en coordenadas

cilíndricas

MA263 CÁLCULO II

Logro de la sesión

Al finalizar la sesión, el estudiante,

calcula el volumen, la masa y el centro

de masa de un sólido utilizando el

sistema de coordenadas cilíndricas.

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Volumen de sólido

La integral iterada que me permite el volumen

de la región que comprende el silo es:

¿existirá un sistema de coordenadas donde el

cálculo de esta integral sea más simple?

𝑧 =

4

5

𝑥

2

• 𝑦

2

𝑥

2

• 𝑦

2

= 25

𝑉(𝐸) = න

− 5

5

න

− 25 −𝑥

2

25 −𝑥

2

න

4

5

𝑥

2

+𝑦

2

10

1 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

4 m

6 m

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Sistemas de coordenadas cilíndricas

x

𝑃(𝑟; 𝜃; 𝑧)

𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧)

q

r

y

z

Para convertir de coordenadas cilíndricas a

rectangulares empleamos las ecuaciones:

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ;

𝑦 = 𝑟 sen 𝜃 ;

2

2

2

tan 𝜃 =

Para convertir de coordenadas rectangulares a

cilíndricas usamos.

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Superficies notables en coordenadas cilíndricas

𝑆: 𝑥

2

• 𝑦

2

= 𝑐

2

𝑆: 𝑟 = 𝑐

Ejemplo:

2

2

en coordenadas rectangulares

2

en coordenadas cilíndricas

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Superficies notables en coordenadas cilíndricas

𝑆: 𝑧 = 𝑘

𝑆: 𝑧 = 𝑘

Ejemplo:

en coordenadas rectangulares

en coordenadas cilíndricas 𝑧 = 5

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Ejemplo 1. Las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas cilíndricas, representan superficies.

Identifique las mismas y transfórmelas a coordenadas rectangulares.

a. 𝑟 = 5

b. 𝑧 = 4 𝑟

c. 𝜃 = 𝜋/ 3

MA263 CÁLCULO II

Ejemplo 1. Las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas cilíndricas, representan superficies.

Identifique las mismas y transfórmelas a coordenadas rectangulares.

a. 𝑟 = 5

• 𝑟

2

= 𝑥

2

• 𝑦

2

• 𝑟 = 𝑥

2

• 𝑦

2

𝑥

2

• 𝑦

2

= 5

𝑥

2

• 𝑦

2

= ( 5 )

2

𝑥

2

• 𝑦

2

= 25

en coordenadas rectangulares

en coordenadas cilíndricas

Cilindro

MA263 CÁLCULO II

Ejemplo 1. Las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas cilíndricas, representan superficies.

Identifique las mismas y transfórmelas a coordenadas rectangulares.

c. 𝜃 = 𝜋/ 3 en coordenadas cilíndricas

tan 𝜃 = tan

𝜋

3

𝑦

𝑥

= 3

𝑦 = 3 𝑥

en coordenadas rectangulares

Plano

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Integrales triples en coordenadas cilíndricas

Suponga que 𝐸 es una región de tipo 1 cuya proyección 𝐷

sobre el plano 𝑥𝑦 es convenientemente descrita en

coordenadas polares. En particular, supongamos que 𝑓 es

continua y

1

2

donde 𝐷 está dada en coordenadas polares por

1

2

1

2

1

𝑟cos𝜃, 𝑟sen𝜃 ≤ 𝑧 ≤ 𝑢

2

𝑟cos𝜃, 𝑟sen𝜃

Descripción de la región en coordenadas cilíndricas

MA263 CÁLCULO II

Ejemplo 2. Plantee la integral iterada en el sistema de coordenadas cilíndricas para la integral ׮

𝐸

donde 𝐸 es la región del primer octante limitada por las superficies 𝑆

1

2

: 2 𝑥 + 𝑧 = 6 y

3

2

2

Solución

x

z

y

3

3

6

𝐸

• 𝑥

2

2

2

• 2 𝑥 + 𝑧 = 6

2 (𝑟 cos 𝜃) + 𝑧 = 6

𝑧 = 6 − 2𝑟 cos 𝜃

𝑧 = 6 − 2𝑟 cos 𝜃

𝐸 = 𝑟; 𝜃; 𝑧 ൗ 0 ≤ 𝜃 ≤

𝜋

2

; 0 ≤ 𝑟 ≤ 3 ; 0 ≤ 𝑧 ≤ 6 − 2𝑟 cos 𝜃

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𝐸 = 𝑟; 𝜃; 𝑧 ൗ 0 ≤ 𝜃 ≤

𝜋

2

; 0 ≤ 𝑟 ≤ 3 ; 0 ≤ 𝑧 ≤ 6 − 2𝑟 cos 𝜃

ම

𝐸

𝑦𝑧𝑑𝑉 = න

0

𝜋/ 2

න

0

3

න

0

6 −2𝑟 cos 𝜃

𝑟 sen 𝜃 𝑧𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃

= න

0

𝜋/ 2

න

0

3

න

0

6 −2𝑟 cos 𝜃

𝑧𝑟

2

sen 𝜃 𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃

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7

𝑥

𝑦

𝑧

7

7

Ejemplo 3. El sólido 𝐸, ocupa la región del primer octante que se encuentra dentro del cilindro 𝑥

2

• 𝑦

2

= 4 , arriba

del plano 𝑧 = 0 , dentro de la esfera 𝑧

2

= 7 − 𝑥

2

− 𝑦

2

y entre los planos 𝑥 = 3 𝑦 , 𝑥 = 0. Si la densidad en

cualquier punto del sólido es numéricamente igual a la distancia hacia el eje 𝑧, calcule la masa del sólido.

Solución

𝐸

2

2

2

2

2

𝐸

2

2

2

2

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7

𝑥

𝑦

𝑧

7

7

• 𝑥

2

2

• 𝑧

2

2

2

2

2

2

2

2

• 𝑥 = 3 𝑦

= tan 𝜃 𝜃 =

2

2

2

2