Resolución de integrales triples en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo para Ingenierios

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Integraci´on triple

Cambio de variables

Apellidos, nombre Thome Coppo, N´estor

[email protected]

Departamento Matem´atica Aplicada

Centro Escuela T´ecnica Superior de

Ingenieros de Telecomunicaci´on

1. Resumen de las ideas clave

En este art´ıculo se va a presentar la resoluci´on completa de un problema tipo del tema de integraci´on triple. Se introducen comentarios, cuestiones, observaciones, el an´alisis previo a la resoluci´on, gr´aficas, etc. para que la resoluci´on del problema sea interactiva como si se estuviese oyendo la explicaci´on de clase y trabajando en ese momento las propuestas que all´ı se realizan. Este art´ıculo est´a estructurado como sigue:

Contenido de este art´ıculo

2. Introducci´on.
3. Objetivos.
4. Desarrollo.
5. Cierre.

Cuadro 1: Contenido de este art´ıculo

2. Introducci´on

Es conocido que hay tres procedimientos que generalmente se utilizan para resolver una integral triple. Uno de ellos es:

Resolver la integral directamente en coordenadas cartesianas.

Se utilizar´a siempre que la integral planteada tenga un integrando sencillo para el cual poder hallar una primitiva y, adem´as, que la regi´on de integraci´on no provoque dificultades para calcular las integrales iteradas.

Otro procedimiento es:

Resolver la integral en coordenadas cil´ındricas.

Se utilizar´a cuando el integrando posea una funci´on que contiene la expresi´on x^2 + y^2 y/o si la geometr´ıa de la regi´on de integraci´on proyectada sobre el plano XY permite ser interpretada como un sector circular (truncado).

Un tercer procedimiento es:

Resolver la integral en coordenadas esf´ericas.

Se utilizar´a cuando el integrando posea una funci´on que contenga expresiones del tipo x^2 + y^2 ´o x^2 + y^2 + z^2 y/o si la geometr´ıa de la regi´on de integraci´on contiene gr´aficas de superficies que en coordenadas esf´ericas presetan una ecuaci´on sencilla comparada con su ecuaci´on en coordenadas cartesianas, como por ejemplo esferas, cilindros, conos, etc.

El objetivo de este art´ıculo es profundizar en estos ´ultimos dos casos. Si bien, presentar s´olo estas t´ecnicas corresponde a una simplificaci´on del tema (pues hay otros muchos cambios posibles), son las que m´as ayudar´an a resolver la mayor´ıa de las integrales que posteriormente se necesitar´an en la Ingenier´ıa.

En el cuadro de la Figura 1 se puede observar un esquema b´asico de lo expuesto anteriormente, que puede ayudar a la hora de abordar la resoluci´on de una integral triple.

4. Desarrollo

Es conocido que si se tiene que resolver una integral triple definida sobre un paralelep´ıpedo (con lados paralelos a los planos coordenados), sus extremos ser´an constantes, es decir, ser´a una integral del tipo ∫ (^) b

a

∫ (^) d

c

∫ (^) g

e

f (x, y, z) dz dy dx

Por lo tanto, ser´a muy sencilla de resolver siempre que sea posible hallar una primitiva del integrando mediante m´etodos conocidos.

Sin embargo, ¿qu´e ocurre si la regi´on de integraci´on es, por ejemplo, un cilindro truncado de ecuaci´on x^2 + y^2 ≤ 1 junto a 0 ≤ z ≤ 1? En este caso, se deber´ıa resolver la integral

∫ (^1)

− 1

∫ √ 1 −x 2

− √ 1 −x^2

0

f (x, y, z) dz dy dx ,

que, en coordenadas cartesianas, es bastante problable que sea m´as complicada o imposible de resolver. Para ello, nos ayudaremos de los cambios de variable.

En este punto ser´ıa recomendable repasar el Apartado 2.2.4 titulado Cambio de variable y los subapartados titulados Coordenadas cil´ındricas y Coordenadas esf´ericas, del libro de teor´ıa [1] citado en la Bibliograf´ıa.

Puedes practicar a realizar cambios de coordenadas cartesianas a cil´ındricas y viceversa entrando al objeto de aprendizaje^1 indicado en la P´agina Web [3] citada en la Bibliograf´ıa. Si entras al objeto de aprendizaje indicado en la P´agina Web [4] citado en la Bibliograf´ıa podr´as realizar cambios de coordenadas cartesianas a esf´ericas y viceversa. Algunos ejemplos de c´alculos de volumen los puedes consultar entrando al objeto de aprendizaje indicado en la P´agina Web [2].

Ahora se va proceder al desarrollo de un ejemplo con su resoluci´on completa y una serie de comentarios que permitir´an comprender los entresijos que suelen encontrarse a la hora de resolver una integral con esta problem´atica. Se resolver´a aplicando todos los m´etodos desarrollados en clase de modo que se puedan comparar y apreciar las semejanzas y diferencias entre cada uno de los m´etodos.

(^1) Para visualizar los objetos de aprendizaje debes copiar el enlace correspondiente y pegarlo en un buscador.

4.1. Ejemplo motivador resuelto

Ejemplo 1 Se considera la siguiente integral: ∫ (^1)

− 1

∫ √ 1 −y 2

0

∫ √x (^2) +y 2

x^2 +y^2

dz dx dy

Se pide responder:

(a) ¿Es posible resolver la integral en coordenadas cartesianas mediante m´etodos senci- llos?

(b) ¿Es posible resolver la integral mediante un cambio a coordenadas cil´ındricas?

(c) ¿Es posible resolver la integral mediante un cambio a coordenadas esf´ericas?

An´alisis previo a la soluci´on: Para comenzar, nos planteamos y resolveremos las siguientes cuestiones.

Cuestiones:

(1) ¿Es sencillo encontrar una primitiva de la funci´on para resolver la integral interior con respecto a la variable z?

(2) ¿Es posible, a partir de la integral dada, realizar la gr´afica de la regi´on de inte- graci´on en R^3?

(3) ¿Es importante el orden en que se presentan los extremos de integraci´on?

(4) ¿Es posible aplicar el Teorema de Fubini para resolver la integral en coordenadas cartesianas?

(5) ¿Se est´a calculando el volumen de alg´un s´olido mediante esta integral?

Respondamos a cada una de estas cuestiones.

(1) SI. Al observar el integrando f (x, y, z) = 1, r´apidamente se ve que el c´alculo de una primitiva de la funci´on para resolver la integral interior con respecto a la variable z es sencillo, de hecho es z. Hasta este punto parece razonable intentar resolver la integral en coordenadas cartesianas.

(2) SI. Siempre es posible realizar la gr´afica de la regi´on de integraci´on a partir de una integral planteada.

(3) SI. Es claramente decisivo el orden en que se presentan los extremos de integraci´on. De hecho, en este caso la integral que se encuentra m´as afuera debe ser integrada con respecto a y, la intermedia con respecto a x y la interna, y primera en ser resuelta, debe ser integrada con respecto a z.

(4) SI. Es posible aplicar el Teorema de Fubini por ser, tanto f (x, y, z) como los extremos de integraci´on, funciones continuas.

0

1

Eje Z

1

Eje Y

0 -0.5 (^) 0. Eje X

0.2 0.4^ 0. -1 (^0)

CONO PARABOLOIDE CURVAS DE NIVEL

Figura 2: Regi´on de integraci´on

Paso 2 Para plantear la integral en coordenadas cil´ındricas se debe proyectar el s´olido sobre el plano XY y observar la variaci´on del ´angulo y del radio como si se tratase de las coordenadas polares, ahora en 2 dimensiones. Claramente se observa que el ´angulo cumple − π 2 ≤ θ ≤ π 2 (¿Por qu´e el ´angulo comienza con un valor negativo? ¿Podr´ıa realizarse con valores de ´angulos positivos?) y el radio 0 ≤ r ≤ 1. Para cada uno de los puntos pertenecientes a esta regi´on plana (es decir, a este semic´ırculo), la variaci´on de z (evidentemente, en la gr´afica debemos observar esta variaci´on movi´endonos en la direcci´on del eje Z) se realiza desde el paraboloide hasta el cono. Es decir, expresadas en coordenadas cil´ındircas desde z = x^2 + y^2 = r^2 hasta z =

x^2 + y^2 = r.

Paso 3 Resolver la nueva integral. Recordando que el jacobiando al realizar el cambio

de coordenadas cartesianas a coordenadas cil´ındricas es r se tiene que ∫ (^1)

− 1

∫ √ 1 −y 2

0

∫ √x (^2) +y 2

x^2 +y^2

dz dx dy =

∫ π 2 − π 2

0

∫ (^) r

r^2

r dz dr dθ

∫ π 2

− π 2

0

r[z]rr 2 dr dθ

∫ π 2 − π 2

0

r[r − r^2 ] dr dθ

∫ π 2

− π 2

[

r^3 3

r^4 4

] 1

0

dθ

∫ π 2 − π 2

[

]

dθ

∫ π 2

− π 2

dθ

π 12

(c) Se recuerda que la relaci´on entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) y las coordenadas esf´ericas (ρ, θ, ϕ) viene dada por:   

x = ρ sen(ϕ) cos(θ) y = ρ sen(ϕ) sen(θ) z = ρ cos(ϕ)

Para plantear la integral en coordenadas esf´ericas, lo primero que se debe hacer es analizar la variaci´on del ´angulo θ, que tiene la misma representaci´on en los 3 tipos de coordenadas (polares, cil´ındricas y esf´ericas). Es claro, en este caso, como antes, se tiene que − π 2 ≤ θ ≤ π 2. Ahora se debe observar la variaci´on del ´angulo ϕ. Se recuerda que este ´angulo toma el valor ϕ = 0 cuando el punto se halla sobre el eje Z positivo y aumenta de valor al ir bajando, hasta alcanzar su m´aximo valor posible que corresponde a ϕ = π cuando el punto se encuentra en el eje Z negativo. Claramente, en este ejemplo, se tiene que π 4 ≤ ϕ ≤ π 2 puesto que ϕ comienza su variaci´on en el cono y llega hasta el plano XY para abarcar todo el paraboloide. Se podr´ıa tomar el punto (0, 1 , 1) que satisface la ecuaci´on del cono (¿Por qu´e?) y, utilizando trigonometr´ıa en un tri´angulo rect´angulo con dos lados que miden 1, se deduce a que la variaci´on comienza en ϕ = π 4. Falta encontrar la variaci´on de ρ. Se recuerda que gr´aficamente ρ representa la distancia de un punto del s´olido al origen. Del dibujo se observa que debe comenzar en ρ = 0 y llegar hasta el paraboliode, con lo cual de su ecuaci´on expresada en coordenadas esf´ericas se debe extraer la variaci´on de ρ. En efecto,

ρ cos(ϕ) = z = x^2 + y^2 = [ρ sen(ϕ) cos(θ)]^2 + [ρ sen(ϕ) sen(θ)]^2 = ρ^2 sen^2 (ϕ).

Despejando se llega a ρ = (^) sencos( (^2) (ϕϕ)).

4.2. Actividades

Ejercicio 2 Realizar el cambio en el orden de integraci´on en la siguiente integral ∫ (^1)

0

∫ (^1) √x

∫ (^1) −y

0

f (x, y, z) dz dy dx

ordenando los diferenciales dz dx dy y tambi´en dx dy dz.

Respuesta: ∫ (^1)

0

∫ (^) y^2

0

∫ (^1) −y

0

f (x, y, z) dz dx dy,

∫ (^1)

0

∫ (^1) −z

0

∫ (^) y^2

0

f (x, y, z) dx dy dz.

Ejercicio 3 Evaluar la siguiente integral ∫ ∫ ∫

Q

√ 3 x^2 + 3z^2 dV

siendo Q el s´olido acotado por y = 2x^2 + 2z^2 y el plano y = 8.

Respuesta: 256π

√ 3 /15.

Ejercicio 4 Calcular el volumen del s´olido limitado por:

x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4 , z^2 ≥ x^2 + y^2 , z ≥ 1.

Respuesta: π 3 [15 − 8

√ 2].

Ahora: ¡Manos a la obra! Ya puedes resolver los Ejercicios planteados en el libro de teor´ıa indicado en la Bibliograf´ıa.

5. Cierre

En este art´ıculo el alumno dispone de la resoluci´on completa de un ejemplo motivador que es un ejemplos cl´asico que se presenta como aplicaci´on en la teor´ıa de integraci´on triple, resuelto mediante todos los m´etodos. Ahora, vali´endose de estos ejemplos completamente desarrollados, podr´a realizar los ejercicios propuestos en el libro de teor´ıa.

6. Bibliograf´ıa

7. Libros

[1] N. Thome: Teor´ıa y Problemas de An´alisis Vectorial, Ed. Universidad Polit´ecnica de Va- lencia, Ref. 2008.299, ISBN: 978-84-8363-229-1.

8. Referencias de fuentes electr´onicas

[2] https://laboratoriosvirtuales.upv.es/eslabon/volumen_aprox/

[3] https://laboratoriosvirtuales.upv.es/eslabon/carte_cilindricas/

[4] https://laboratoriosvirtuales.upv.es/eslabon/carte_esfericas/