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jESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
CÁLCULO VECTORIAL
UNIDAD 4. INTEGRALES DE LINEA E INTEGRACIÓN MÚLTIPLE.
4.1-4.2 INTEGRALES DE LINEA DE FUNCIONES ESCALARES Y VECTORIALES, DEPENDENCIA E
INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA.
TALLER FORMATIVO # 6
TEMA 1
Un alambre tiene la forma de la circunferencia 𝒙
𝟐
𝟐
𝟐
; 𝒂 > 𝟎. Determine su masa si la
densidad en un punto (𝒙, 𝒚) del alambre está dada por la función 𝝆(𝒙, 𝒚) = |𝒙| + |𝒚|.
Solución:
La masa del alambre viene dada por la expresión:
𝑐
𝜌
𝑥, 𝑦
𝑑𝑠
𝑐
|𝑥| + |𝑦|
𝑑𝑠
Parametrizando la curva 𝐶 cuya trayectoria representa la forma del alambre, en este caso una
circunferencia de radio a:
2
2
2
𝑎 cos
, 𝑎 cos
2
2
2
2
Luego,
𝑚 = ∫ [𝜌 (𝑟(𝑡))] ‖𝑟´(𝑡)‖𝑑𝑡
2 𝜋
0
|𝑎 cos
2 𝜋
0
2 𝜋
0
2
2 𝜋
0
De acuerdo a la definición de valor absoluto:
Por tanto,
2
𝜋/ 2
0
2
𝜋
𝜋/ 2
2
3 𝜋/ 2
𝜋
2
2 𝜋
3 𝜋/ 2
2
[𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(𝑡)]
0
𝜋
2
2
[−𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(𝑡)]
𝜋
2
𝜋
2
[−𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑡)]
𝜋
3 𝜋
2
2
[
)]
3 𝜋
2
2 𝜋
2
TEMA 2
Calcular el trabajo efectuado por el campo de fuerzas definido en ℝ
𝟑
al mover un objeto a lo largo de la traza entre 𝒚
𝟐
𝟐
= 𝟒 con 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏 , orientada
positivamente.
Solución:
Parametrizamos la traza indicada:
2
2
𝑥 = 1 − 2 cos
Por tanto:
TEMA 3
Sea 𝑭
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝒋 un campo de fuerzas de ℝ
𝟐
. Calcule el trabajo
que debe realizar 𝑭 para mover un objeto por un tramo recto desde el punto (𝟏, 𝟐) hasta el
punto (𝟑, 𝟒).
Solución.
Inicialmente revisamos si el campo vectorial 𝐹 es conservativo.
𝐹 es conservativo si y sólo si 𝛻 × 𝐹 = 0
Como el campo es 𝐶
1
en ℝ
2
, bastará con comprobar que se cumple con la condición:
2
2
3
2
2
2
2
Por tanto, el campo es conservativo y 𝐹 es un campo de gradientes.
2
3
2
2
Calculamos la funcion potencial f de la que proviene ese campo de gradientes.
2
3
2
3
2
2
3
1
2
2
2
2
2
2
3
2
Luego, la función potencial es:
2
2
3
Dado que se trata de un campo consevativo su integral de línea de campo vectorial es
independiente de la trayectoria
𝐶
𝐶
𝐶
2
2
3
2
2
3
