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ANTIDERIVADAS P1 97
La función 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en el intervalo 𝐼, si:
′
(𝑥) = 𝑓(𝑥) /Al derivar F se obtiene f /
El operador asociado a las antiderivadas es la Integral Indefinida. 𝐶 es una constante.
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑪 / La integral de f es F/
La expresión 𝑓
𝑑𝑥 se conoce como INTEGRANDO , y la DIFERENCIAL 𝑑𝑥 indica la
variable con respecto a la cual se está antiderivando.
Así, las reglas de derivación vistas al revés son Integrales Inmediatas, por ejemplo:
𝑥
[ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) ] = 𝑠𝑒𝑐
2
2
INTEGRALES INMEDIATAS
Para antiderivar potencias, siendo 𝑛 una constante (𝑛 ≠ − 1 ) se tiene que:
𝑛
𝑛+ 1
Cuando 𝑛 = − 1 , se obtiene un logaritmo, pero debe añadirse VALOR ABSOLUTO:
− 1
Para la función exponencial 𝑎
𝑥
, la constante ln(𝑎) se divide: ∫
𝑥
𝑎
𝑥
𝑙𝑛
( 𝑎
)
El caso especial de 𝑒
𝑥
es idéntico a su derivada: ∫
𝑥
𝑥
En cuanto a trigonométricas, si el resultado involucra cosenos, cotangentes o cosecantes,
se agrega un signo negativo (−) para compensar el efecto de la derivada
2
2
Tangentes, cotangentes, secantes y cosecantes tienen las siguientes antiderivadas:
Sea 𝑎 una constante, las funciones trigonométricas inversas, permiten enunciar que:
𝟐
2
𝟐
2
Propiedades: La integral Indefinida es un operador lineal P1 99
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Todos los esfuerzos de antiderivar se basan en acoplar la función a las integrales
conocidas (por las reglas de derivación). En este sentido, las técnicas son recetas para
casos específicos.
Las técnicas deben analizarse rápidamente, una por una, en el orden en que se presentan.
# Sustitución o Cambio de Variable P 384
Permite simplificar el integrando para determinar la antiderivada.
′
- 𝐹 es una antiderivada de 𝑓
′
Se define una función como variable cuya derivada sea un factor del integrando
y se procede a reemplazar.
Determinada la antiderivada, se vuelve a la variable original
# Integración por Partes P387 (Demostración)
Permite modificar el integrando gracias a la derivada.
- Seleccionar 𝒖 y 𝒅𝒗 de tal forma que 𝒖 𝒅𝒗 = INTEGRANDO
Obtener 𝒅𝒖 derivando y 𝒗 antiderivando
Se define una función como variable cuya derivada sea un factor del integrando y se procede a
reemplazar. Determinada la antiderivada, se vuelve a la variable original
La selección de 𝑢 y 𝑑𝑣 es clave en la resolución de una integral indefinida. Es importante
tener en mente que la expresión 𝑢 se derivará para obtener 𝑑𝑢 y 𝑑𝑣 se antideriva para
obtener 𝑣.
# Integración de funciones trigonométricas P 393
Se analiza la estructura de las funciones que conforman el integrando según los siguientes
casos y se procede conforme indique la estrategia (ejemplos de la sección 7.3):
Caso
Función del
integrando
Descripción Identidad Ejemplo
𝑠𝑒𝑛
𝑛
(𝑥) ,
𝑐𝑜𝑠
𝑛
(𝑥)
𝑛 impar Pitagóricas para 𝑠𝑒𝑛
2
(𝑥) o 𝑐𝑜𝑠
2
(𝑥) Ej 1 P
𝑛 par Áng. Doble para sen
2
( 𝑥
) o cos
2
( 𝑥
) Ej 2 P
𝑚
(𝑥) 𝑐𝑜𝑠
𝑛
(𝑥)
𝑚 o 𝑛 impar Pitagóricas para sen
2
(𝑥) o cos
2
(𝑥) Ej 3 P
𝑚 y 𝑛 es pares Áng. Doble para sen
2
( 𝑥
) y cos
2
( 𝑥
) Ej 4 P
𝑠𝑒𝑛
( 𝑚𝑥
) 𝑐𝑜𝑠
( 𝑛𝑥
) ,
𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) ,
𝑐𝑜𝑠(𝑚𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑚 y 𝑛 reales
Producto a sumas
(o restas)
Ej 5 P
𝑡𝑎𝑛
𝑛
( 𝑥
) ,
𝑐𝑜𝑡
𝑛
(𝑥)
Pitagóricas para 𝑡𝑎𝑛
2
(𝑥) o 𝑐𝑜𝑡
2
(𝑥)
Ej 8 P
Ej 9 P
𝑡𝑎𝑛
𝑚
(𝑥) 𝑠𝑒𝑐
𝑛
(𝑥) ,
𝑐𝑜𝑡
𝑚
(𝑥) 𝑐𝑠𝑐
𝑛
(𝑥)
𝑛 par Pitagóricas para 𝑠𝑒𝑐
2
(𝑥) o 𝑐𝑠𝑐
2
(𝑥) Ej 10 P
𝑚 impar Pitagóricas para 𝑡𝑎𝑛
2
( 𝑥
) o 𝑐𝑜𝑡
2
( 𝑥
) Ej 11 P
En cada caso se acepta que algún exponente sea cero.
# Sustitución trigonométrica P 400
Se identifica una de las formas (𝑎
2
2
2
2
) o (𝑥
2
2
), por lo general dentro de
raíces cuadradas y se establece la sustitución 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛(𝑡) o 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝑡)
respectivamente. Para llevar a cabo la SUSTITUCIÓN, se dibuja un triángulo rectángulo
a partir del despeje de la función trigonométrica 𝑠𝑒𝑛
𝑥
𝑎
, tan
𝑥
𝑎
o 𝑠𝑒𝑐
𝑥
𝑎
# Fracciones Parciales P 404 (Y ejemplos)
Es un método que logra la descomposición de una fracción en varias FRACCIONES
PARCIALES, prestando atención a su denominador para posteriormente, antiderivar cada
una de las fracciones parciales generadas.
Función racional PROPIA. Si es impropia, primero DIVIDIR.
Denominador descompuesto ÚNICAMENTE en factores lineales o cuadráticos
irreducibles (Δ = 𝑏
2
1. Plantear la descomposición. Habrá tantas fracciones como indique el grado del polinomio
del denominador según los siguientes criterios:
- A. Fracciones con factores lineales en el denominador llevarán una constante en su
numerador (𝐴, 𝐵, 𝐶 … )
- B. Fracciones con factores cuadráticos irreducibles en el denominador llevarán una
expresión lineal de la forma [𝐴𝑥 + 𝐵] o bien [ 𝐴 ∗ (𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟) + 𝐵 ]. El uso
de la derivada busca simplificar la antiderivación posterior a la descomposición.
- C. Por cada factor que se repite (elevado a un exponente 𝑘), se colocan 𝑘 fracciones de
tal manera que el factor en la primera fracción está elevado a 𝑘 y en las siguientes decrece
hasta que el exponente del factor de la 𝑘-ésima fracción sea 1.
Ejemplo
𝑥
5
+𝑥− 2
( 𝑥+ 1
)( 2 𝑥
2
−𝑥+ 1
)( 2 𝑥− 3
)
3
𝐴
𝑥+ 1
𝐵𝑥+𝐶
2 𝑥
2
−𝑥+ 1
𝐷
( 2 𝑥− 3
)
3
𝐸
( 2 𝑥− 3
)
2
𝐹
2 𝑥− 3
O bien
𝑥
5
+𝑥− 2
( 𝑥+ 1
)( 2 𝑥
2
−𝑥+ 1
)( 2 𝑥− 3
)
3
𝐴
𝑥+ 1
𝐵
( 4 𝑥− 1
) +𝐶
2 𝑥
2
−𝑥+ 1
𝐷
( 2 𝑥− 3
)
3
𝐸
( 2 𝑥− 3
)
2
𝐹
2 𝑥− 3
OBS: Las constantes entre descomposiciones pueden diferir, pero el resultado final será el mismo.
2. Realizar las sumas de fracciones indicadas e igualar los numeradores de ambos
miembros de la igualdad
3 𝑥 + 1
(𝑥 + 3 )(𝑥 − 2 )
=
𝐴
𝑥 + 3
𝐵
𝑥 − 2
=
𝐴(𝑥 − 2 ) + 𝐵(𝑥 + 3 )
3 3 𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 − 2 ) + 𝐵(𝑥 + 3 )
3. Determinar los valores de las constantes en la igualdad resolviendo un sistema
planteado según 3.A o 3.B, reemplazar en la descomposición y antiderivar.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
# Comparación P2 35
[
]
, 𝑓 y 𝑔 son integrables
∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
/La Integral preserva las desigualdades/
# Acotamiento P2 36
- ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , 𝑓 y 𝑔 son integrables
∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 ⇒ 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
# Linealidad P2 36
TEOREMAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA
# Sustitución en integrales definidas P2 48
′
es continua en [𝑎, 𝑏]
- 𝑓 es continua en el rango de 𝑔
′
𝑏
𝑎
𝑔(𝑏)
𝑔(𝑎)
𝑥 = 𝑏
𝑥 = 𝑎
𝑢 = 𝑔(𝑎)
𝑢 = 𝑔(𝑎)
>> Valor Promedio para integrales P2 53
- 𝑓 es integrable en [𝑎, 𝑏]
𝑝
𝑏
𝑎
# Teorema de Valor Medio para integrales P2 53
𝑓 es continua en
[
]
ENTONCES ∃𝑐 ∈
𝑝
# Teorema de simetría P2 53
𝑎
−𝑎
𝑎
0
𝑎
−𝑎
Integrales Impropias
Se asignan variables a los extremos que tienden a infinito o aquellos que provocan que el
integrando se vuelva infinito y se analizan sus antiderivadas evaluadas en estas variables,
con límites. Si el límite existe, la integral CONVERGE, caso contrario, DIVERGE.
# Extremos Infinitos P 434
+∞
𝑎
= lim
𝑏→+∞
𝑏
𝑎
𝑏
−∞
= lim
𝑎→−∞
𝑏
𝑎
+∞
−∞
0
−∞
+∞
0
# Integrandos Infinitos P 442
[
y lim
𝑥 →𝑐
−
𝑐
𝑎
= lim
𝑡→𝑏
−
𝑡
𝑎
- 𝑓 es continua en (𝑐, 𝑏] y lim
𝑥 →𝑐
𝑏
𝑐
= lim
𝑠 →𝑐
𝑏
𝑐
[
]
y lim
𝑥 →𝑐
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
Aplicaciones P 442
El proceso de bosquejo en las aplicaciones, principalmente de área y volumen requiere que
se determinen intersecciones de ser posible, y se defina claramente la región, así como los
elementos (rectas, funciones, puntos, la diferencial escogida, entre otros) que intervienen.
Posterior al planteo de la diferencial, se indica y resuelve la integral correspondiente.
# Área - Coordenadas Rectangulares
Bosquejar la región 𝑅 > Indicar uso de 𝑑𝑥 o 𝑑𝑦 > plantear 𝑑𝐴
𝐴(rectángulo) = 𝐿
1
× 𝐿
2
∥
=
# Área - Coordenadas Polares
Bosquejar la región 𝑅 > plantear 𝑑𝐴
𝐴(Sector circular) =
2
2
# Volumen de sólidos de revolución - Coordenadas Rectangulares
Bosquejar la región 𝑅 > Indicar el eje de rotación > Indicar uso de 𝑑𝑥 o 𝑑𝑦 > plantear 𝑑𝐴
Si la diferencial 𝑑ℎ
𝑑𝑥 o 𝑑𝑦
es PERPENDICULAR al eje de rotación, se generan discos
o arandelas
2
2
2
Si la diferencial 𝑑𝑟 (𝑑𝑥 o 𝑑𝑦) es PARALELA al eje de rotación, se generan cascarones o
cortezas cilíndricas
2
# Longitud de curvas en el plano
Coordenadas Función Diferencial
Rectangulares en 𝑥 𝑦 = 𝑓
2
Rectangulares en 𝑦 𝑥 = 𝑓
2
Paramétricas 𝑥 = 𝑓
2
2
Polares 𝑟 = 𝑓
2
2
