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Ejercicios de Cambios de base
- Considera el subconjunto B = {(1, 1), (− 1 , 1)} de R
2 .
(a) Demuestra que es una base.
(b) Determina las coordenadas de los vectores v 1 = (1, 1), v 2 = (1, −1),
v 3 = (0, 2) con respecto a esta base.
(c) Sean w 1 = (1, 1), w 2 = (− 1 , 2), w 3 = (0, −2) vectores escritos en coor-
denadas con respecto a B. Determina sus coordenadas con respecto a la
base can´onica.
- Considera la siguiente base de R
3 :
β =
(a) Demuestra que en efecto β es una base.
(b) Determina las matrices de cambio de coordenadas de la base can´onica C
a β y de β a C.
(c) Determina las coordenadas con respecto a β del vector (1, 1 , 1) dado en
coordenadas con respecto a C.
(d) Rec´ıprocamente, considera el vector (− 1 − 1 , 1) cuyas coordenadas est´an
en la base β. Determina sus coordenadas con respecto a C.
- Sea v = (v 1 , v 2 , v 3 ) ∈ R
3 cuyas coordenadas est´an tomadas en la base can´onica
C = {e 1 , e 2 , e 3 }. Determina las coordenadas de v en las bases
β 1 = {e 2 , e 1 , e 3 }, β 2 = {e 1 , e 3 , e 2 }, β 3 = {e 3 , e 2 , e 1 }
- Calcula las coordenadas del vector v = (3, − 1 , 4 , 2) respecto de la bases
β 1 =
β 2 =
- Considera una base B de R
2 formada por los vectores v 1 = (− 1 , −1) y v 2. El
vector v = (− 3 , 1), dado en coordenadas con respecto a la base can´onica, tiene
coordenadas (2, 1) en la base B. Determina, si es posible, v 2.
- Considera B = {v 1 ,... , vm} una base de R
m y B
′ = {w 1 ,... , wn} una base de
R
n
. Considera una transformaci´on lineal f : R
m → R
n que asigna f (vi) = wi.
(a) Determina la imagen y el n´ucleo de f.
(b) Considera el vector a 1 = (1, 0 ,... , 0) ∈ R
m donde las coordenadas son
con respecto a la base B. Determina las coordenadas de f (v) con respecto
a B
′ .
(c) ´Idem con el vector ai cuyas coordenadas con respecto a B son todas ceros
salvo la que ocupa el lugar i.
- Sea v = (1, 2 , 1 , −1), coordenadas en la base can´onica. Construye una base
de R
4 en que las coordenadas de v sean (1, 1 , 1 , 1). Determina si esa base es
unica.´
- Considera una base B = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } de R
4 y los conjuntos:
B 1 = { 2 v 1 , 2 v 2 , 2 v 3 , 2 v 4 }, B 2 = {−v 1 , v 2 , −v 3 , v 4 }
(a) Demuestra que tambi´en son bases de R
4 .
(b) Establece las relaciones entre las coordenadas con respecto a B y las
coordenadas con respecto a B 1 y B 2.
(c) Si un vector tiene coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) con respecto a B 1 , deter-
mina sus coordenadas con respecto a B 2.
- Sea f : R
m → R
n una transformaci´on lineal. Considera B = {v 1 ,... , vs} una
base de ker(f ).
(a) Determina si es posible ampliar B a una base {v 1 ,... , vs, vs+1,... vm} de
R
m .
