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Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones Lineales.
(Algunos extra´ıdos del libro de Luis Eduardo Sol´a Conde Introducci´on a los
M´etodos Matem´aticos en Biolog´ıa y Ciencias Ambientales )
- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
2 x + 3y + z = 1
− 2 x + y + 4z = 1
y − 2 z = 1
2 x − y + z = 1
3 y − 3 z = 2
− 4 x − 4 y + 4z = 2
−x + 2y − 3 z = − 3
−x − 4 y + 3z = − 2
− 2 x − 2 y = − 5
x 1 − 2 x 3
2 x 2
3 x 1
− 2 x 1
x 2 − x 3
2 x 1
4 x 1
2 x 1
- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
x 1
x 2
2 x 1 − x 3
3 x 1 − x 2
6 x 1 − 5 x 2
6 x 1 − 4 x 2
x 1
− 7 x 1 − 14 x 2 + 14x 3 − 21 x 4 = − 1
x 1
− 7 x 1 − 14 x 2 + 14x 3 − 20 x 4 = − 1
πx 1
2 x 3
3 x 4
- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
−x + 3y + 4z = 0
− 3 y + 2z = − 1
− 2 x + 2y + z = 2
2 x − y − 3 z = 1
3 x − 2 z = 2
x + 4y + 2z = − 2
7 x + 4y − 2 z = 2
11 x + 8y − 2 z = 2
x + z = 1
y − 2 z = 1
−x + 2y + z = 1
y − z = 1
4 x − 6 y = 3
− 2 x + 3y = − 3 / 2
8 x − 12 y = 6
6 x − 9 y = 9/ 2
5 x + 4y = 1
x − 2 = 0
− 3 y = 0
2 x − 3 y = 0
- ¿Qu´e puedes decir, sin hacer ning´un c´alculo, de la compatibilidad de los si-
guientes sistemas?
x − 5 y + 3z = 0
− 4 x + 2y + 3z = 0
2 y − 3 z = 0
2 x − 3 y + 4z = 0
3 x − 4 y + z = 0
x 1
3 x 2 − 5 x 3
- Estudia la compatibilidad y las soluciones de los siguientes sistemas en funci´on
de los valores de α y β.
2 x − y + z = 1
3 y − 3 z = 2
− 4 x + αy + 4z = 2
3 x 1 − x 2
6 x 1 − 5 x 2 + x 3 + x 4 = 3
6 x 1 − 4 x 2
αx + 2y − 3 z = − 3
−x − 4 y + 3z = − 2
− 2 x − 2 y = β
- Construye, si es posible, sistemas de tres ecuaciones con tres inc´ognitas que
cumplan las siguientes condiciones (cuando lo sea construye al menos dos sis-
temas distintos):
a) Que tenga soluci´on ´unica x 1 = 1, x 2 = π, x 3
b) Que sea compatible y el conjunto de soluciones sea x 1 = λ, x 2 = λ,
x 3 = 2λ.
c) Que sea compatible y el conjunto de soluciones sea x 1 = λ + μ, x 2 = λ,
x 3 = 2λ − μ.
d ) Que no tenga soluci´on.
e) Que sea compatible y el conjunto de soluciones sea x 1 = λ+μ+, x 2 = λ,
x 3 = 2λ − μ.
- Sea M la matriz ampliada de un sistema lineal de ecuaciones. Supongamos
que M 11
= 0. Determina el n´umero de operaciones de suma, resta, producto
y cociente de n´umeros reales que necesita el m´etodo de Gauss para hacer que
las dos primeras columnas de M tengan ceros debajo de la diagonal.
- Supongamos que el m´etodo de Gauss del ejercicio anterior ha terminado, que el
sistema es compatible determinado y denominamos las inc´ognitas x 1 ,... , x n
Determina el n´umero de operaciones de suma, resta, producto y cociente de
n´umeros reales que se necesitan para calcular el valor de x n , x n− 1 y x n− 2
(n ≥ 3).
