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Cap´ıtulo 9
Diagonalizaci´on ortogonal de matrices
reales sim´etricas
9.1 Diagonalizaci´on ortogonal de matrices sim´etricas
Se cumple el siguiente resultado para matrices cuadradas reales: A es sim´etrica si y s´olo si existen Q ortogonal y D diagonal tales que A = QDQ−^1. Recordamos que esta es la expresi´on de la diagonalizaci´on por semejanza, y que por tanto D es la matriz de autovalores, y las columnas de Q forman la base de los correspondientes autovectores.
En el Ap´endice del cap´ıtulo anterior vimos que Q es ortogonal si y s´olo si sus columnas son base ortonormal para el producto escalar can´onico. Por tanto podemos expresar: A sim´etrica si y s´olo si existe una base de vectores propios ortonormal en el espacio eucl´ıdeo can´onico.
Teniendo en cuenta que Q−^1 = Qt, podemos expresar la ecuaci´on anterior en la forma A = QDQt.
Por ser A diagonalizable mediante una matriz ortogonal se dice de A que es ortogonalmente diagonalizable.
A continuaci´on desglosaremos las propiedades arriba indicadas que cumple toda matriz sim´etrica real, justificando algunas de ellas.
- Si A es real y sim´etrica de orden n, entonces tiene n ra´ıces reales contando multipli- cididades, por tanto n autovalores reales contando multiplicidades, y la dimensi´on de los subespacios propios es igual a la multiplicidad algebraica de los correspondientes autovalores, por lo que es diagonalizable. Existen entonces P regular y D diagonal tales que A = P DP −^1. P tiene como columnas una base de autovectores y D como elementos los correspondientes autovalores en el mismo orden.
- Los subespacios propios correspondientes a autovalores distintos son ortogonales entre s´ı respecto del producto escalar can´onico. Veamos la demostraci´on de esta propiedad: Consideremos el productox⃗ tA⃗y siendox⃗ ey⃗ autovectores de A correspondientes a los autovalores distintos λ y μ respectivamente. x⃗ tA⃗y =x⃗ tμ⃗y = μ⃗x yt⃗ [1] Por otra parte, por ser A sim´etrica podemos escribir la primera igualdad c´omo: x⃗ tA⃗y =x⃗ tAyt⃗ = (A⃗x )yt⃗ = (λ⃗x )yt⃗ = λ⃗x yt⃗ [2] Igualando los dos ´ultimos t´erminos de [1] y [2] tenemos: (λ − μx)⃗ yt⃗ = 0 y por tantox⃗ yt⃗ = 0, obteni´endose que los autovectores correspon- dientes a distintos autovalores son ortogonales en el espacio eucl´ıdeo can´onico, o
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expresado de otra forma, los subespacios propios son mutuamente ortogonales res- pecto del producto escalar can´onico.
- Obteniendo para cada subespacio propio una base ortogonal, y uniendo estas bases, lograremos una base ortogonal de IRn^ formada por autovectores de A. Dividiendo cada vector por su norma obtendremos finalmente una base ortonormal de autovec- tores. La matriz Q que diagonaliza ortogonalmente A tendr´ıa por columnas estos vectores.
Se puede demostrar f´acilmente que se cumple el resultado rec´ıproco de que A ortogonal- mente diagonalizable implica A sim´etrica.
En efecto, considerando A = QDQt^ y tomando traspuestas obtenemos At^ = QDQt^ = A, por tanto la existencia de diagonalizaci´on ortogonal implica que la matriz A ha de ser sim´etrica.
Ejemplo 9.1 Diagonalizar ortogonalmente la matriz A =
Se obtiene que los valores propios son λ 1 = 8, λ 2 = 3 y λ 3 = 6. Por ser los tres valores propios distintos la matriz tiene 3 subespacios propios de dimensi´on 1:
Resolviendo los SL [A − λI|⃗0] para encontrar los vectores propios obtenemos:
V 8 =< (1, − 1 , 0) > V 3 =< (1, 1 , 1) > V 6 =< (1, 1 , −2) >
Se comprueba f´acilmente que los tres vectores son ortogonales respecto del producto escalar can´onico.
La matriz P =
(^) es ortogonal, y por tanto la matriz A se puede
factorizar en la forma A = P DP t.
Ejemplo 9.2 Diagonalizar ortogonalmente la matriz A =
, cuya ecuaci´on
caracter´ıstica es 0 = −λ^3 + 12λ^2 − 21 λ − 98 = −(λ − 7)^2 (λ + 2)
La matriz A es real y sim´etrica por tanto sabemos que existe una base ortogonal de vectores propios.
V 7 = {( 2 z 2 − y, y, z) / y, z ∈ IR}
De aqu´ı podemos obtener el vectorv⃗ 1 = (1, 0 , 1)
Para obtener un vectorv⃗ 2 que pertenezca a V 7 y sea ortogonal av⃗ 1 tenemos que resolver la ecuaci´on:
( 2 z 2 − y, y, z).(1, 0 , 1) = 0 2 z−y 2 +^ z^ = 0 4 z − y = 0 ⇒ y = 4z y sustituir el resultado, y = 4z, en la expresi´on gen´erica de un vector de V 7 : ( 2 z 2 − y, y, z)
V 4 tiene dimensi´on dos, y su expresi´on param´etrica es V 4 = { (z, y, z) / y ∈ IR , z ∈ IR }. Dos vectores de V 4 ortogonales entre s´ı y unitarios son por ejemplou⃗ 2 = (0, 1 , 0) yu⃗ 3 = (1, 0 , 1)/
B = {(− 1 , 0 , 1)/
