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Doctorando en Educación Matemática. Cálculo multivariado CAMBIO DE COORDENADAS Las coordenadas cilíndricas representan un punto P en el
espacio por medio de triadas ordenadas r, ,z en las que:
1. r y y son coordenadas polares para la proyección
vertical de P sobre el plano xy
- Z es la coordenada rectangular vertical. Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares
r, y,z son las coordenadas cilíndricas r, ,z son
x y x rcos , y rsen , z z, r^2 x^2 y^2 , tan Ejemplo 1 : describa la superficie cuya ecuación en coordenadas
cilíndricas es z^ r
Solución: primero convertimos a una ecuación en coordenadas rectangulares. De la primera ecuación en (2) tenemos z^2 r^2 x^2 y^2 reconocemos la ecuación z^2 x^2 y^2 como la de un cono circular cuyo eje es el eje z Ejemplo 2: Calcule la ecuación en coordenadas cilíndricas para el elipsoide 4 4 1 x^2 y^2 z^2 Solución. Puesto que r^2 x^2 y^2 , de las ecuaciones, tenemos que z^2 1 4 (x^2 y^2 ) 1 4 r^2 Así que la ecuación del elipsoide en coordenadas cilíndricas es 2 2
z 1 4 r
Doctorando en Educación Matemática. Cálculo multivariado Definicion: las coordenadas esfericas represntan un punto P
en el espacio por medio de triadas ordenadas , , en donde:
1. es la distancia de P al origen,
2. , es el ángulo que
OP forma con el je z positivo 0
3. es el ángulo de las coordenadas cilíndricas.
Las ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con las coordenadas cartesianas y cilíndricas son: 2 2 2 2 x y z r z z cos , y rsen sen sen , r sen , x rcos sen cos , 2
Ejemplo 3 : El punto 2 , 4^ ,^ 3 está dado en coordenadas esféricas. Encuentre sus coordenadas rectangulares Solución: De las ecuaciones tenemos: 1 3 z cos 2 cos
sen 3 y sen sen sen
cos 3 x sen cos 2 sen
2
Asi el punto ^2 ,^ 4^ ,^ 3 es , 1 2 3 , 2 (^3) en coordenadas rectangualres. Ejemplo 4 : Encuentre una ecuación en coordenadas esféricas para el cono z x^2 y^2 Solución 1 : Usando geometria: el cono es sométrico respecto al eje z y corta el primer cuadrante el plano yz a lo largo de la recta z = y. El ángulo entre el cono y el eje z positivo es por lo tanto de 4 radianes.
El cono consiste en los puntos cuyas coordenadas esfericas tienen iagual a
4 (^) , por lo que su ecuacion es 4 Solución 2 : Usando álgebra. Si usamos las ecuaciones para sustituir x, y, , z obtenemos el mismo resultado.
Doctorando en Educación Matemática. Cálculo multivariado EJERCICIO 2
- A) Sea P(2, - 2, 1) un punto en coordenadas rectangulares; hallar las coordenadas cilíndricas y esféricas de P.
- Sea Q(12, /6, 3/4) un punto en coordenadas esféricas, hallar las coordenadas rectangulares y cilíndricas de Q.
- Encontrar las coordenadas rectangulares del centro de la esfera de ecuación
r z 4 r cos 6 r sen 2 z
2 2
- Escribir y graficar la ecuación cartesiana de la intersección de las superficies = /2 ,y, = 1.
- La ecuación en coordenadas cilíndricas del cilindro de ecuación cartesiana x^2 + y^2 = 6x es: a) r^2 = 6 Cos b) r = 6 Cos c) r = 6 Sen d) r^2 = 6 Sen .
- Hallar una ecuación en coordenadas rectangulares de la superficie cuya ecuación en coordenadas cilíndricas es r^2 Cos2 + z^2 + 1 = 0. Graficar la superficie. APOSTOL, Tom M. Cálculus Volumen 1 y 2 ( Calculus ), trad., ed. Reverté S.A. 1984. BARTLE, Robert G. Introducción al Análisis Matemático ( The Elements of Real Analysis ), trad.,ed. Limusa S.A. 1982. BARTLE et al. Introducción al Análisis Matemático de una Variable ( Introduction to Real Analysis ), trad., ed. Limusa S.A. 2009. SPIVAK, Michael. Cálculo Infinitesimal ( Calculus ), trad., ed. Reverté S.A. 1992
