¡Descarga cambios de coordenadas y más Apuntes en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!
Sistema de coordenadas polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Coordenadas cilíndricas En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r, θ, z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje Z y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje X y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada z que determina la altura del cilindro. Cilíndricas a Rectangulares Rectangulares a Cilíndricas Cilíndricas a Esféricas Convertir el Punto a coordenadas cilíndricas. el cuadrante donde es negativo (-3) y es positivo (3) es el IV cuadrante. Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es: Convertir el punto en coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares. Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es: Escribir la ecuación en coordenadas cilíndricas. Sabemos que entonces sustituimos en la ecuación, obteniendo: y ésta ecuación ya está expresada completamente en coordenadas cilíndricas, pues solo depende de y
Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3).π/6,3). X = 4 cos 5π/6,3). π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2 (√3). Y = 4 sen 5π/6,3). π/ 6 = 4 (1/2) = 2 Z = 3 Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación: x^2 + y^2 =4z^2 y^2 = x a) Por la sección procedente sabemos que la grafica de x^2 +y^2 =4z^2 es un cono <> con su eje en el eje z. si sustituimos x^2 + y^2 por r^2 , obtenemos su ecuación en cilíndricas. x^2 +y^2 =4z^2 ecuación en coordenadas rectangulares. r^2 = 4z^2 ecuación en coordenadas cilíndricas. b) La superficie y^2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y^2 por r^2 sen^2 ө y x por r cos ө, obtenemos: y^2 = x ecuación rectangular. r^2 sen^2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө. r(r sen^2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizarcos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar r sen^2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizarcos ө = 0 dividir los dos mienbros por r r =cos ө / sen^2 ө despejar r r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas. Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r. Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas: r^2 cos 2 ө + z^2 + 1 = 0 r^2 cos 2 ө + z^2 + 1 = 0 ecuación en cilíndricas r^2 (cos^2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar sen^2 ө) + z^2 = 0 identidad trigonometrica. r^2 cos^2 ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar r^2 sen^2 ө +z^2 = - X^2 –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar y^2 +z^2 = -1 sustituir r cos ө por x y r sen ө por y Y^2 –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar x^2 –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar z^2 = 1 ecuación rectangular. Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.
Coordenadas esféricas
Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto M en el espacio, donde ρ) de un punto M en el espacio, donde ρ =│OM│ es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en lasOM│OM│ es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en las es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ) de un punto M en el espacio, donde ρ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OM. El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares.
Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es ρ = sen θ sen φ) de un punto M en el espacio, donde ρ = ρ =ρ = sen θ sen φ) de un punto M en el espacio, donde ρ = y Que es la ecuación de una esfera con centro y radio Utilice una computadora para trazar la imagen del sólido que se obtiene al taladrar un agujero de radio 3, que pasa por el centro de una esfera de radio 4. Solución, Para que las ecuaciones resulten sencillas, escojamos el sistema de coordenadas de modo que el centro de la esfera se encuentre en el origen y el eje del cilindro que forma el agujero sea el eje z. Podríamos usar coordenadas cilíndricas o esféricas para describir el sólido, pero la descripción es más sencilla si empleamos coordenadas cilíndricas. Entonces, la ecuación del cilindro es r=3 y la ecuación de la esfera es o .Los puntos del solido se encuentran fuera del cilindro y dentro de la esfera, de modo que satisfacen las desigualdades. 3≤ r ≤ Para asegurar que la computadora trace solo las partes apropiadas de estas superficies buscamos su intersección resolviendo el sistema de ecuaciones r=3 y r = = 3 → → → z= ±
COORDENADAS POLARES
Al comenzar el estudio del Cálculo se trabaja con coordenadas cartesianas, y al avanzar en el estudio del cálculo se aprecia la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar cálculos y procedimientos que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. Cada sistema tiene sus propias aplicaciones. Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto en un espacio bidimensional, consistente en un ángulo y una distancia, definido por un origen O y una línea X saliendo del origen. A la recta X se le conoce también como eje polar. Al trazar un vector con punto inicial en el origen, de longitud r, e inclinado con un ángulo θ, tendremos un vector P definido por las variables r y θ ( Los ángulos se pueden expresar en grados o en radianes). El sistema de coordenadas polares se representa por la coordenada (r, θ). Un sistema de coordenadas polares se puede representar en el plano, por ejemplo el punto (4, 30º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde el origen, con un ángulo de 30° medido en sentido anti horario con respecto al eje X por ser positivo. Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos: Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( , θ) se puede representar como ( , θ ± ×360°) o (− , θ ± (
- 1)180°), donde es un número entero cualquiera. El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar a números no negativos ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]). El sistema de coordenadas polares (r, θ) se puede convertir a coordenadas cartesianas (x, y) si se parte de un triángulo rectángulo, y teniendo en cuenta a Pitágoras se obtiene r =√ x 2
+ y
2 =√( r. cos θ ) 2
+( r. sen θ )
2 Usando la función tangente se puede hallar el ángulo θ
Coordenadas cilíndricas
Corresponde a la generalización del sistema de coordenadas polares del plano Euclídeo, representado por la terna ordenada (r, θ, z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P. Es útil en problemas con simetría axial
Cilíndricas a Cartesianas Cartesianas a Cilíndricas
x = r. cos θ y= r. sen θ z = z Θ = tg-1(y/x) r = (x^2 +y^2 )1/2^ z = z
Coordenadas esféricas
Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto M en el espacio, donde ρ) de un punto M en el espacio, donde ρ =│OM│ es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en lasOM│OM│ es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en las es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ) de un punto M en el espacio, donde ρ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OM. Es útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Esféricas a Cartesianas X = ρ.cos θ.sen φ) de un punto M en el espacio, donde ρ y = ρ.sen θ.sen φ) de un punto M en el espacio, donde ρ z = ρ.cos φ) de un punto M en el espacio, donde ρ Cartesianas a Esféricas
Ρ = (x^2 + y^2 + z^2 )1/2^ Θ = tg-1(y/x) φ) de un punto M en el espacio, donde ρ = tg-1^ [(x^2 + y^2 )1/2^ / z]
Coordenadas cilíndricas
Corresponde a la generalización del sistema de coordenadas polares del plano Euclídeo, representado por la terna ordenada (r, θ, z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P. Es útil en problemas con simetría axial
Cilíndricas a Cartesianas Cartesianas a Cilíndricas
x = r. cos θ y= r. sen θ z = z Θ = tg-1(y/x) r = (x^2 +y^2 )1/2^ z = z
Coordenadas esféricas
Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto M en el espacio, donde ρ) de un punto M en el espacio, donde ρ =│OM│ es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en lasOM│OM│ es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en las es la distancia del origen a M, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ) de un punto M en el espacio, donde ρ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OM. Es útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Esféricas a Cartesianas X = ρ.cos θ.sen φ) de un punto M en el espacio, donde ρ y = ρ.sen θ.sen φ) de un punto M en el espacio, donde ρ z = ρ.cos φ) de un punto M en el espacio, donde ρ Cartesianas a Esféricas
Ρ = (x^2 + y^2 + z^2 )1/2^ Θ = tg-1(y/x) φ) de un punto M en el espacio, donde ρ = tg-1^ [(x^2 + y^2 )1/2^ / z]
POLAR COORDINATES
As we begin the study of calculus working with
Cartesian coordinates, and advance the study of
the calculation shows the need to use polar
coordinates to perform calculations and procedures
that could be done successfully with Cartesian
coordinates. Each system has its own applications.
Polar coordinates are a coordinate system for
defining the position of a point in a two dimensional space, consisting of an angle
and a distance defined by an origin O and a line X leaving the origin. A straight line
X is also known as polar axis. By drawing a vector with initial point at the origin, of
length r, and inclined at an angle θ, we have a vector P defined by the variables r
and θ (angles can be expressed in degrees or radians). The polar coordinateangles can be expressed in degrees or radians). The polar coordinate
system is represented by the coordinate (angles can be expressed in degrees or radians). The polar coordinater, θ).
A polar coordinate system can be represented in the drawing, for example the
point (angles can be expressed in degrees or radians). The polar coordinate4, 30 °) indicates that it is at a distance of four units from the origin, with a 30
° angle measured counter-clockwise about the axis X to be positive.
One aspect to consider in the polar coordinate system is that a single point in the
plane can be represented by an infinite number of different coordinates, which
does not happen in the Cartesian coordinate system. So in the polar coordinate
1) Perform eight exercises to change polar coordinates to Cartesian and
2) Make six polar coordinate graphs and identify their respective names.
