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Grado de Óptica y Optometría Física
SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 3: CAMPO ELÉCTRICO
- En los puntos (0; 3) y (-3; 0) de un sistema de coordenadas donde las distancias se miden en cm, se sitúan dos cargas puntuales de valores 2,0 y -2,0 nC respectivamente. a) Calcula el campo eléctrico (valor, dirección y sentido) en el origen de coordenadas. b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto en el que hay que colocar una carga de -5,0 nC para que se anule el campo eléctrico en el origen? c) Repite el apartado anterior considerando que la carga es de +5,0 nC.
a) Se dibujan los vectores intensidad de campo y se calculan los módulos de dichos vectores:
1 9 9 4 1 A 12 O^910 0 03^2102210 E k Q^ · ·^ · N = (^) r = (^) , = C
(^2 9 ) (^2 )
A O 0 03
E k Q^ · ·^ · N r (^) , C
− = = =
Se obtienen los vectores intensidad de campo y se realiza la suma:
EO = E 1 O + E 2 O= −2·10 4 j − 2·10^4 i = (^) ( −2·10 ; 4 −2·10^4 )C^ N
Este vector tiene de módulo: EO = 8·10^4 NC y está dirigido en el tercer cuadrante, formando
un ángulo Oy 225º Ox
arctg E α (^) E = ^ = ^ con el eje X positivo.
b) La tercera carga debe situarse de tal forma que el campo eléctrico creado por ella sea tal que anule la intensidad de campo en O, es
decir, debe tener el mismo módulo que E^ O^ y de
sentido contrario. Luego estará situada en el primer cuadrante y, formando un ángulo de 45º con el eje X positivo. La distancia desde esta tercera carga al punto O vendrá dada por:
Q 1
Q 2
(0; 3)
E1O
E2O O X
Y
(-3; 0)
EO
Q 1
Q 2
(0; 3)
E 30
EO
O X
Y
(-3; 0)
Q 3
45º
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4 9 9 8·10 9·10 5·10 r 32 O r 3 O 4, 0cm
− = → =
Las coordenadas cartesianas de la posición de esta carga serán:
( r 3 O cos 45º ;^ r 3 Osen45º^ ) =( 2,8; 2,8)cm
c) En el caso de una carga de -5,0 nC, debe situarse en el tercer cuadrante, a 225º y una distancia de 4,0 cm del punto O. De esta forma, el campo eléctrico creado por esta carga cancelará el campo generado por las cargas Q 1 y Q 2 en el punto O.
- En los puntos (4,–2) y (1,2) de un sistema de coordenadas donde las dimensiones se expresan en metros, se colocan dos cargas de – 5 μC y +12 μC, respectivamente. Calcula a) el campo eléctrico en el punto (–1,0) (m) y b) la fuerza sobre un electrón situado en este mismo punto.
a) El campo eléctrico en (-1,0) se obtiene considerando los campos eléctricos creados por las cargas:
e r er r k Q r
E k Q u u = 121 + 222
Las distancias r 1 y r 2 y los vectores u 1 y u 2 :
1 2 2 2 2 2 1
2
1 4 0 2 25 4 29 1 1 0 2 4 4 8 5 2 29 29 2 2 8 8
r ( ) ( ) r ( ) ,
,
= − − + − − = + = = − − + − = + = = ^ − = ^ −^ −
u
u
El campo eléctrico entonces,
( ) ( )
( )
9 6 9 6 2 2
(^9 6 3 2 3 2 9 63 2 3 ) 3 3
910 5 10^5 2 9101210 2 29 29 29 8 8 8 910 10 5 5 12 2 910 10^5 2 12 29 8 29 8 8 110 10 110 N/C
/ / / /
· (^ )·^ , · · ,
· · (^ )·(^ )^ ·(^ )^ , · · (^ )·^ ·(^ ) , · , , ·
− −
− −
= −^ ^ −^ ^ + ^ −^ − =
= ^ ^ ^ −^ −^ ^ + ^ −^ ^ ^ ^ −^ ^ + ^ − = ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ = − −
E
2 4 x
2 1
y
r 2
r 1
u 2
u 1
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c) La densidad superficial de carga es:
(^1010) 2 2 2
Q Q , · · C
σ S a , m
− − = = = =
- a) En una región de la atmósfera terrestre se ha medido el campo eléctrico resultando ser de 150 N/C a una altura de 250 m y de 170 N/C a 400 m, en ambos casos dirigido hacia abajo. a) Calcula el flujo del vector campo eléctrico a través de un cubo de lado 150 m cuyas caras inferior y superior se encuentran a alturas 250 y 400 m, respectivamente. b) Aplica la ley de Gauss para calcular la carga en el interior del cubo. c) Calcula la densidad de carga de la atmósfera en esa región. Para hacer los cálculos supón que el campo es uniforme entre 250 y 400 m y desprecia la curvatura de la Tierra.
a) Para obtener el flujo del vector campo eléctrico a través del cubo, hay que considerar el flujo a través de cada una de las caras. El flujo a través de las caras laterales es nulo, ya que el vector superficie es perpendicular al campo eléctrico. Por lo tanto, sólo hay que considerar el flujo a través de las caras superior e inferior:
Φ = 1 E ·S 1 1 = 150 150· ( )^2 cos º 0 =3 410, · 6 V·m
Φ 2 = E ·S 2 2 = 170 150· ( )^2 cos 180 º = −3 9 10, · 6 V·m
El flujo total es:
Φ = Φ + Φ 1 2 = ( 3 4, − 3 9 10, )· 6 = −4 510, · 5 V·m
b) La carga en el interior del cubo se puede calcular a través de la ley de Gauss:
( )
0 5 0 0 12 5 6
E·S·cos^ Q
, · Q Q ·Q , · · , · , · C 4,0 C
ε −^ − μ
E·S
c) La densidad de carga de la atmósfera en esa región: (^612) 2
q^ Q^ Q^ , ·^ ,^ ·^ C/m^3
ρ V S· h ·
−^ − −
E 1 h^ = 250 m
E 2
S 1
S 2
h = 400 m
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- Dos cargas eléctricas q 1 =2,0 μC y q 2 =-5,0 μC se encuentran en las posiciones señaladas en la figura. Calcula a) el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en el punto B, b) potencial eléctrico en los puntos A y B y c) el trabajo para trasladar una carga de -2,0 μC desde A hasta B. d) ¿Qué diferencia hay si la carga que se traslada es de +2,0 μC?
a) Se actúa de la misma forma que en ejercicios anteriores.
1 9 6 3 (^1 12 ) 9·10 2·10^ 0, 72·10 ;cos 4 ,sen^3 B B 5 5 5 E k^ q^ N
r C^ α α
− = = = = =
luego,
( )
1 1 1 3 3
cos , sen 0, 58·10 ; 0, 43·
E B E B EB
N
C
De la misma forma:
2 9 6 3 2 B 22 B 9·10^ 5·10 32 5, 0· E k q^ N r C
− = = =
luego, E^ 2 B = (^) ( 0, E 2 B) =( 0;5, 0·10^3 )C^ N
La intensidad de campo en el punto B será:
EB = E 1 B + E 2 B= (^) ( 0,58·10 ;^3 − 0, 43·10^3 ) + (^) ( 0;5, 0·10^3 ) =( 0,58·10 ; 4, 57·10^3 3 )^ NC
El módulo del vector intensidad de campo eléctrico es:
EB 103 · 0 58, 2 4 57, 2 4 610, · 3 N = + = C
El vector se encuentra en el primer cuadrante y forma formando un ángulo
By 83º Bx
arctg E θ (^) E = ^ = ^ con el eje X positivo.
b) El potencial en los puntos A y B se obtiene de la forma siguiente:
1 2 9 6 9 6 (^1 21 )
A A A A A 2 2
V V V k q^ k q^ · ·^ · · , ·kV r r
q 2
B X
E1B
r1B E2B
r2B
q 1
EB
α
3,0 m
2,0 m q (^1) q 2
2,0 m A
B
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luego, E^ 1 P = (^) ( E 1 P cos α, E 1 Psen α) =( 0, 71·10 ; 0, 71·10^4 4 )^ NC
(^2 9 ) (^2 22 )
P P 0, 053
E k Q^ N r C
− = = =
luego, (^) E^ 2 P = ( 0, − E 2 P) = (^) ( 0; −0, 71·10^4 )^ NC
Por lo tanto, E^ (^) B = E 1 B + E 2 B= (^) ( 0, 71·10 ;0, 71·10^4 4 ) + (^) ( 0; −0, 71·10 (^4) ) =( 0, 71·10 ; 0^4 )^ NC
b) 1 2 9 9 9 9 (^1 21 )
910 6 310^910 2 2310 0 38
P P P P P 0 075 0 053
V V V k Q^ k Q^ · , ·^ · ,^ · , kV r r , ,
c) El trabajo para trasladar un electrón desde ∞ hasta P viene dado por:
W ∞P = q V ( ∞− VP ) = − e V−^ P = 1 610, · −^19 · ,0 3810 · 3 =0 6110, · −^16 J
d) La fuerza debido al campo eléctrico es el producto del vector intensidad de campo por la carga a la que afecta dicha interacción:
F^ = qE = − 1 610 , · −^19 · ,0 7110 · 4 i = −1 1410, · −^15 i N
- Tres cargas puntuales q 1 , q 2 y q 3 están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 2,5 m. Calcula la energía potencial de esta distribución de cargas a partir del trabajo necesario para traer las cargas desde el “infinito” hasta sus posiciones finales si q 1 = q 2 = q 3 = 4,2 μC. Para ello, a) supón una carga positiva de 4,2 μC en un punto cualquiera y calcula el trabajo necesario para situar una segunda carga igual a la primera a una distancia de 2,5 m. Después, b) calcula el trabajo para situar una tercera carga igual a las anteriores a una distancia de 2,5 m de las otras dos de manera que las tres queden situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 2,5 m. Finalmente, c) calcula la energía potencial de la distribución.
a) Se sitúa la primera de las cargas en uno de los vértices (A), lo cual no conlleva trabajo ya que no existe aún ningún campo eléctrico. En segundo lugar se trae la segunda carga desde el infinito hasta otro de los vértices (B). El trabajo para trasladar esta carga, q 2 , teniendo en cuenta que ya se tiene una carga eléctrica, q 1 , que crea un campo eléctrico a su alrededor, viene dado por:
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( ) (^ )
6 2 2 2 1 2 9 1
B B B B
W q V V q V k q ·q · , · , J r ,
− ∞ =^ ∞−^ = −^ = −^ = −^ = −
b) Por último, se trae otra carga, q 3 , desde el infinito hasta el tercer vértice (C), teniendo en cuenta que ahora tenemos un campo eléctrico creado por las dos primeras cargas:
( ) (^ )
6 2 3 3 3 1 2 9 1 2
C C C C C
W q V V q V q k q^ k q · · , · , J r r ,
− ∞ ∞
= − = − = − ^ + = − = −
c) Teniendo en cuenta que las tres cargas tienen el mismo valor, q, y se encuentran separadas entre sí la misma distancia, r, el trabajo total será:
3 2 3 910^9 (^ 4 210^6 )^2 0 19 2 5 W W B^ W C^ k q · · , · , J r ,
− = (^) ∞ + (^) ∞ = − = − = −
Además, W = −∆E (^) P = EP ∞ − EP = − EP → EP =0 19, J
- En las proximidades de un plano de grandes dimensiones con una densidad de carga +0,40 μC/m^2 se coloca una carga puntual de +30 nC. a) Calcula el valor, dirección y sentido del campo eléctrico en el punto P 1 de la figura. b) ¿En qué punto de la línea perpendicular al plano que une éste con la carga es nulo el campo eléctrico? c) Calcula el valor, dirección y sentido del campo eléctrico en el punto P 2 de la figura.
a) Se calculan los módulos de las intensidades de los campos:
1 9 9 3 (^1 )
P P 0,
E k Q^ N r C
− = = =
1
(^63) (^2 )
P 2 2·8,85·
E N
C
− = = (^) − =
Los dos vectores se encuentran orientados tal y como muestra la figura, luego:
1 EP 5010 · 3 i N = (^) C
Q
σ
E1,P 1
E2,P 1
10 cm + P^1
-^ P^2
10 cm
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componente en el sentido positivo del eje y. Por lo tanto, la carga del plano 2 debe ser negativa, tal como se muestra en la figura. El vector campo E 1 en el punto A:
1 1 0
= ^ 0 0 , , 2 σε N/C
E
El vector campo E 2 en A:
2 2 2 0 0
= ^0 , 2 σ ε cos 45 , − 2 σε sin 45 N/C
E
expresión donde los valores de σ 1 y σ 2 se están considerando positivos.
El campo total:
0 0 0 A =^ ^0 ,^2 σ ε cos^45 ,^2 σε −^2 σε sin^45 = 0 100 0,^ ,^ N/C
E
Igualando las componentes y y z a su valor numérico, podemos obtener los valores numéricos de:
2 2 0 9 9 0 1 2 1 2 9 9 9 0 0
2 2 45 0 45 2 5110^45 1 7710^ 1 810
2 2
2 2
cos · , · C/m , · C/m cos sin sin , · ·sin , · C/m , · C/m
− −
− − −
Entonces, teniendo en cuenta el signo de las cargas, σ 1 =1,8·10-9^ C/m^2 y σ 2 =-2,5·10-9^ C/m^2.
b) Los campos E 1 y E 2 en el punto B:
1 9 (^1 )
, , , , , · , , N/C
σ ε
− −
= ^ ^ = ^ =
E
2 2 (^ )^ (^ )
0
E = 2 σ ε 0 , − cos 45 ,sin 45 = 0 , −100 100, N/C
El campo total en el punto B es:
EB = ( 0 , −100 96 , + 100 ) = ( 0 , −100 196, )N/C
y su módulo:
EB = 100 2 + 1962 = 220 N/C
E 1 B
EB
E 2
