Campo electrostatico, Apuntes de Física

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TEMA 1 CAMPO ELECTROSTÁTICO 1.- Concepto de Campu. Campo de fuerzas Si en una región del espacio existe una magnitud física del puntos, la función que a uno asocia a cada punto el valor que la magnitud toma en él recibe el nombre de Campo. Supongamos una habitación que tiene una estufa en un lugar delerminado, Si midiéramos la temperatura estacionaria en diferentes puntos de ella encontraríamos, en general, valores diferentes (las regiones más próximas a la estufa tendrían temperaturas más altas que las más alejadas). Si a cada punto de la habitación le asignamos la temperatura a la que se encuentra, la habitación constituye un Campo de temperaturas. Imaginemos un recipiente grande que contiene agua. Diferentes puntos del recipiente tendrán diferente presión (los más próximos al fondo tendrán mayor presión que los más próximos a la superficie), La asociación de la presión a cada punto del recipiente constituye un Campo de presiones. Igualmente, los diferentes puntos de una montaña se encuentran a diferente altura sobre el nivel del mar. Si a cada punto de la montaña le asignamos la altura a la que se encuentra, tendremos un campo de alturas. En todos los ejemplos qu puesto hasta ahora, la magnitud física que hemos asociado a cada punto era una alar, Si a cada magnitud escalar, razón mpo correspondiente. recibe el nombre de campo € punto le asociamos una cnagnitad y vectorial, el campo correspondiente es un campo vevtorial. Supongamos un río que discurre por su cauce. En distintos puntos del mismo la velocidad del agua será, en general, diferente. Si a cada punto le asociamos la velocidad, tendremos un Campo de velocidades, ejemplo característico de campo vectorial. Un cuerpo situado en los alrededores de la Tierra se encuentra sometido a una cierta fuerza. Si a cada punto de los que radean a la Tierra le asignamos la fuerza que en él experimenta un determinado cuerpo patrón, tendremos un campo de fuerzas. Iz Para visualizar cómo varía la magnitud asociada a : cada punto en la región en la que está definida, se recurre ; a representar los campos gráficamente. Veamos en primer : lugar cómo se representan los campos escalares. Conside- remos el campo de alturas en una montaña; la forma más sencilla de ver cómo varía la altura es unir, mediante una línea, todos los puntos de la montaña que se encuentran a (b) la misma altura (Figura 14): tendremos así un conjunto de Figura 4 curvas situadas espacialmente. Proyectando estas curvas sobre el plano XOY, tendremos representadas las conocidas curvas de nivel (Figura 15), Observemos que las curvas de nivel suministran rápidamente información: hacia la izquierda las curvas están más espaciadas que hacia la derecha, lo que indica que la montaña tiene menor pendiente por la izquierda que por la derecha. Consideremos ahora el ejemplo del campo de presiones definido en un recipiente con agua: cada plano paralelo a la base del recipiente es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a idéntica presión (Figura 2a). La proyección de estos planos horizontales sobre un plano vertical da lugar a un conjunto de rectas paralelas de igual presión (Figura 2/4): son las líneas isóbaras. En general, los campos escalares se representan gráficamente mediante superf , E a : a A l toma idéntico valor (isosuperficies) o bien mediante /, '¡* entas-que.eL escala isolíneas, que son las que resultan de proyectar las | Ñ isosuperfi tes sobre un plano. La forma más frecuente de representar gráficamente un campo vectorial es dibujar las líneas de campo. Dichas í ibujan de forma que el vector que caracteriza al campo vectorial sea tan; puntos, En caso de los campos de fuerza, las líneas de campo suelen llamarse líneas de fuerza. En la figura 3 hemos representado las líneas de campo del campo de (e) dh Figura 2 líne: nte a ellas en cada uno de velocidades en la superficie de un río. Supongamos una partícula pequeña, cargada eléctricamente. Si en sus proximidades existe otra partícula cargada, se puede comprobar que entre ambas existe una fuerza de interacción, cuya dirección es la de la recta que une ambas partículas. También resulta útil estudiar las interacciones eléctricas basándose en el hecho de que una partícula cargada crea un Figura 3 campo eléctrico y que cualquier otra partícula interacciona con la primera a través del campo eléctrico existente. 2,- Carga eléctrica. Electrización por inducción y por contacto Las observaciones sobre la atracción eléctrica se remontan a la Grecia antigua. Thales de Mileto observó que cuando se frotaba el ámbar (elektrón), atraía pequeños objetos tales como plumas o pajitas. Confundió esta atracción con la atracción magnética del hierro por la piedra imán (magnetita). En el siglo XVI, Gilbert estudió sistemáticamente los efectos eléctricos (aparentemente, no detectó la repulsión eléctrica) y magnéticos (descubrió que la Tierra es un inmenso imán, con su polo Norte y su polo Sur). Fue el primero que entendió claramente la diferencia entre la atracción eléctrica y magnética e introdujo los conceptos de fuerza eléctrica, atracción eléctrica y polo magnético. Alrededor de 1729, el inglés Stephen Gray descubrió que la atracción y la repulsión eléctrica puede transferirse de un cuerpo a otro si ss conectan mediante determinadas sustancias, especialmente metales (así pues, no solamente frotando puede electrizarse un cuerpo). Charles Francois du Fay (1698-1739) observó que una varilla de vidrio, previamente frotada, atraía a una laminilla de oro. Si se ponían en contacto, entonces se repelían. Pero la laminilla de oro era atraída por otras sustancias previamente electrificadas como el ámbar o la resina. Por ello, sugirió la existencia de dos tipos de electricidad: la vítrea y la resinosa. En 1747, Benjamín Franklin propuso que todo cuerpo tiene una cantidad de electricidad normal. Cuando un cuerpo se frota contra otro, parte de la electricidad se transfiere de uno a otro, con lo que uno de ellos tendrá un exceso de electricidad y el otro un defecto de la misma igual al exceso del primero, pudiendo escribirse el exceso con un más y el defecto con un menos (Hoy sabemos que lo que se transfieren son electrones y, por tanto, al exceso lo caracterizamos con un menos y el defecto con un más). Física IM TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO12 (a) (b) (c) (d) Figura 6. Faraday fue el primero en demostrar el principio de conservación de lu carga utilizando un electroscopio y una cubeta de hielo inicialmente descargada 4.- El experimento de Millikan. Cuantización de la carga Robert. A. Millikan (1868-1953) midió la carga del electrón en su famoso experimento de la gota de aceite dando, además, evidencia convincente de que el electrón era parte constitutiva de los átomos. En su experimento, Millikan dejaba caer gotitas de aceite CTO HO mineral entre dos placas conductoras y paralelas (Figura 7). Ajustó cn. : el valor del campo eléctrico entre las placas hasta que la gotita quedó Bulvsrizado: suspendida en el espacio; en ese momento, el peso de la gotita quedaba exactamente equilibrado por la fuerza eléctrica, A partir de esta igualdad de fuerzas, Millikan encontró que la carga de cada gota A Deol era un múltiplo muy pequeño y entero de 1,6:10"?C y nunca observó A P un valor más pequeño que éste. La carga de la gota era unas veces positiva y otra negativa, lo que indicaba que la gota había perdido o Figura 7. Experimento de Millan ganado electrones, respectivamente (presumiblemente, por frota= miento al ser emitida por el pulverizador). Millikan interpretó que su experimento entrañaba que la menor carga ¡12 C, carga que designó por e y que, en forma negativa, atribuyó al electrón. Como además, la carga de la gota era siempre un múltiplo de e, llegó a lu conclusión de que la carga está cuantizada, siendo la del electrón el cuanto elemental, 5.- Ley de Coulomb Charles Augustin Coulomb (1736-1806) midió por primera vez, en 1783, las atracciones y repulsiones eléctricas en forma cuantitativa y enunció la ley que las rige. Para ello, utilizó una balanza de torsión (Figura 8), dispositivo que, con «lgunas modificaciones, fue usado más tarde por Cavendish para medir las atracciones Física MT TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO 14 gravitatorias y determinar el valor de la constante de gravitación universal. MEN Eee Si se cargan las esferas 1 y 2 de la figura 8, la fuerza eléctrica sobre 1 Ssperiet tenderá a torcer la fibra de suspensión. Coulomb contrarrestó este efecto de torsión girando la cabeza de suspensión un ángulo 6, necesario para mantener las cargas a la distancia que le interesaba: dicho ángulo es, pues, una medida Fibra aislante relativa de la fuerza eléctrica ejercida sobre la carga de 1. Los primeros resultados experimentales de Coulomb pueden representarse a Fo donde £ es la magnitud de la fuerza eléctrica que actúa sobre cada una de las dos cargas y res la distancia que las separa. Estas fuerzas, según el principio de acción y reacción de Newton, actúan en la recta que une las cargas, son de igual módulo y de sentidos opuestos. Figura 8. Bulanza de torsión de Coulomb . . . . Coulomb también estudió cómo variaba la fuerza eléctrica con el valor relativo de las cargas existentes en las esferas de su balanza de torsión. Siguiendo la técnica de electrización por contacto, amplió la relación de la inversa de los cuadrados a CALA Actualmente, la ley de Conlomb se enuncia así: La fuerza de interacción entre dos cargas puntuales en reposo tiene la dirección de la recta que une las cargas y es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, Matemáticamente, si llamamos E,, a un vector unitario en la dirección de la recta que une las cargas, orientado hacia q, (Figura 9), 4, a su opuesto, Fa a la fuerza que actúa sobre q, y Fi ala que acrúa sobre q, , tendremos: ? qe A > > e, [1.1] A BB, + + 2 Figura 9 [1.3] 2%) Dichas cargas han de estar en reposo. 3") La formulación matemática dada sólo es aplicable en el vacío. Para racionalizar las fórmulas, es costumbre escribirla constante de proporcionalil hace referencia al vacio) como Física ll TEMA 1. CAMPO ELECTROSTÁTICO 15 que el vacío (sus permitividades dieléctricas son muy similares) por lo que la tercera restricción de la ley de Coulomb debe quedar así: 3%) La formulación matemática d 6.- Campo eléctrico Definimos campo slfcinieo! como cualquier región del espacio en de que una carga eléctrica experimenta equivalente a deci "la opuesta del la fuerza que el campo ejercería sobre la unidad de carga negativa situada en dicho punto"). Matemáticamente =E | 1.11] donde admitimos que la pre presencia de g' (llamada carga-testigo o carga-prueba) no modifica la distribución original de la carga o cargas creadoras de del campo. En la pr a, esto es cierto si q'es de valor tan pequeño que su influencia es despreciable. Por ello, podríamos formular con más rigor igor la ecuación E 11] en la forma E=tim£ [1.1115] 430 De la formulación matemática de la intensidad de campo deducimos que los vectores intensidad de campo y fuerza son de la misma dirección dicha y sentido si la carga-testigo es positiva y de sentidos opuestos carga- testigo es negativa. 7.- Campo eléctrico creado por una carga puntual, Líneas de Campo Si el campo eléctrico está creado por una única carga puntual, la aplicación simultánea de la ley de Coulomb y de la ecuación [1.11] nos lleva a: ¡q__ q A Er E, q Pa mn |E [1.12] donde +, es un vector unitario cuya dirección es la de la recta que une la carga creadora del Campo q conel punto en el que se evalúa la intensidad de Campo y cuyo sentido es "hacia afuera! . La presencia de un Campo eléctrico.en una región, puede indicarse fácilmente dibujando las llamadas líneas de fuerza o líneas de Campo, que son líneas imaginarias que tienen la propiedad de que el vector Campo es tangente a ellas en cada uno de sus puntos. Para obtener estas líneas de Campo se utilizan, además, las siguientes reglas: El número de líneas de Campo que atraviesan la unidad de superficie situada perpendicularmente a ellas (densidad de líneas de Campo) es proporcional al valor del Campo en la región. Consecuentemente, el Campo es intenso cuando las líneas están muy pr ébil si están muy sepa: Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICON7 Las líneas de Campo se dibujan siempre saliendo de las cargas positivas (manantiales de líneas de ). Es una consecuencia obvia del mideros de líneas de €: hecho de que el vec vector E es tangente a ellas en cada punto. aliendo de un manantial o El número de líneas de Campo que se dibuj ntrando en un sumidero es proporcional al valor de la c; No pueden cortarse 2 líneas de Campo en un punto en el que no exista carga, pues ello supondría la existencia en dicho punto de 2 vectores Campo diferentes, Esta representación del Campo eléctrico es absolutamente coherente con la Ley de Coulomb. En efecto, consideremos una superficie esférica de radio 7 en cuyo centro haya una carga puntual. En cualquier punto de dicha superficie el Campo tiene el mismo valor. El número de líneas de Campo que salen (si q > 0) o llegan (si 4 <0) ala carga deben atravesar la superficie esférica, por lo que la densidad de líneas será N/S =N/4t”. Como la intensidad de Campo es proporcional a la densidad de líneas, E = CN/S = CN/4ar? = C!r”, y ésta es, precisamente, la ley de Coulomb. En la figura 10 pueden observarse las líneas de Campo cuando el Campo lo crea una Ni d Ao Ye carga puntual positiva (Figura 104), una carga xa as, puntual negativa (Figura 10%) y las correspon- o dientes a un Campo uniforme (Figura 1Oc) yS No A o como el que existe entre las placas de un hh condensador. Nótese que en este último caso, de acuerdo con las propiedades enunciadas ía (b) (0) para las líneas de Campo, las líneas son para- Figura 10 lelas y equiespaciadas. El modelo de las líneas de Campo presenta tres inconvenientes destacables: 19) Pueden hacernos creer que las líneas de Campo son algo material y ello es absolutamente falso: constituyen, sólo, un artificio para dar una descripción cualitativa del Campo eléctrico. 2”) El hecho de que sólo se dibujen algunas líneas puede hacernos pensar que el campo está cuantizado y que sólo actúa en determinadas direcciones, lo cual también es falso. El Campo es continuo y existe en todo punto. 3”) Puesto que los dibujos son bidimensionales, podemos perder la perspectiva espacial del campo eléctrico. $.- Principio de superposición ¿Qué ocurre si el Campo eléctrico está creado por más de una carga puntual o por una distribución continua de ellas (como ocurre en la figura 10c)? La respuesta está en el llamado principio de superposición (de carácter empírico) que, literalmente, dice: La fuerza con que interaccionan 2 cargas no se ve alterada por la presencia de una tercera carga. Como consecuencia, la fuerza neta que recibe una carga puntual cuando se introduce en un Campo creado por » cargas puntuales será; [1.13] Física M TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO 18 [1.18] Sila densidad superfi ibución de carga es superficial (corno en las armaduras de un condensador), defi | de carga, 9, como dqlds | [1.19] la superficie d5, De la ecuación anterior, donde dq es la carga existente [dg=0 ás] 11.20] Si la distribución de carga es lineal (como, por ejemplo, un alambre muy fino cargado), definimos la densidad lineal de carga, 2,0 omo A=dg/dt | [121 Si las distribuciones de carga son homogéneas, es decir, si la densidad de carga de la distribución es constante, la ecuación [1.16] se transforma en pinitos AG 1 Distribución clibicas E de! -Distribución cúbica: E=|k,p | |u, | [1.23] | ¿o -Distribución superficial: E=| ko E 7 l ] | [1.24] s xn L -Distribución lineal: E= 12 [E ñ 1.25] =s y Veamos ahora cómo se aplican las ecuaciones anteriores a casos prácticos concretos: 10.- Campo creado por una distribución lineal uniforme de carga de longitud £ Como la carga está uniformemente distribuida, tendremos una densidad lincal de carga A. Y supongamos que tenemos que calcular el campo eléctrico en un punto P que está situado a una distancia a de la distribución de carga, como se indica en la figura 13. Tomaremos una carga elemental dq = Adx, y descompondre- mos el vector dE en sus componentes cartesianas, tomando el eje X paralelo a la distribución lineal (y el eje Y perpendicular a ella). . á e eee E l dE, =-dEsendi al nr Figura 13 r” dE, =dEcos0j=k PP cos0 7 Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO 1 10 Puesto que tenemos tres variables (x, r y 6), escribiremos todas ellas en función de 6. x=atg0 => dx= de Sustituyendo en las expresiones de dE, y dE, tenemos, dE,=|k, y, PAsorÍ osado j =(% 2cos6do)7 NA Para obtener E, y Ey, integramos las expresiones anteriores entre los límites de 6, es decir entre 0=-0,y 0=0, (1 Zsenaao)í a E E.= [ri Lsenoao i (1 Etccsa], a a 1% alo (c058, —cos8, )i donde hemos tenido en cuenta la relación trigonométrica: cos(- 6,) = cos B,. (a A A 5 A = ¿4 5 md 6d8 | j= (4 > 1] 1Q=8SrP)| [1.39] siendo y el radio de la esfera. Si analizamos la ecuación [1.39], comprobare- mos que Q s adimen: onal. Su unidad, en el Sistema Internacional, es el “ estereorradián. Puesto que el área de una esfera es 411”, el ángulo sólido total subtendido desde cualquier punto es Q=58S/1= (41 / =41 srad [1.40] Figura 18 Cuando la superficie es pequeña, S se CC convierte en d$ y no ha de ser necesariamente un casquete esférico (puede ser plana). Si res perpendicular a la superficie, entonces el ángulo sólido subtendido desde un punto vale (Figura 19) dQ =dS/? [1.41] Figura 19 Si el vector d$ no es paralelo a r, es preciso proyectar la superficie sobre un plano perpendicular a r de forma que r y d$' sean paralelos (Figura 20). En esta situación, do E dS cosg [1.42] Aunque la ecuación | 1.40] la hemos deducido para el caso concreto de una pe esfera, puede demostrarse (aunque nosotros no lo haremos) que el ángulo sólido e A. — PER . . . . A Figura 20 total subtendido desde cualquier punto interior de una superficie cerrada cualquiera vale 47 srad. * Ley de Gauss para el campo eléctrico. - Supongamos una superficie cerrada í cualquiera en cuyo interior se encuentra una carga puntual q (Figura 21). El flujo elemental a través de una superficie elemental será (Ecuación [1.37]) do =E-d3 =4, Li, 45 = hp O o y r El flujo a través de toda la superficie será (ecuación [1.38]) Figura 21 d= d, E-dS= d, kogdQ= kuad, dQ=k,gd7 Como ky = 1/(41e,) nos quedará: Física 1 TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO 114 que es función lineal de la propia distancia. Evidentemente, £f,.., = 0; es decir, el campo en el centro de la distribución es nulo. Demostraremos ahora que el campo es continuo, para lo cual analizaremos el comportamiento del mismo en la superficie de la distribución (r=R). - En el exterior, tomando r =R queda: 2 dre, R? =£ pi 3e, E= u= - En el interior, tomando también =R, obtenemos el mismo resultado, Por tanto, efectivamente, el campo es continuo para todo valor que tome r si rzR AE, Y 1 ÉS = A Ll si reR ÁNE) Y 3e, 14.2.- Campo creado por una distribución plana e indefinida Supongamos una distribución uniforme, plana e indefinida de carga (Figura 24), siendo O la densidad superficial. La superficie gaussiana más conveniente es un cilindro perpendicular al plano, de altura 2r y de área de la base S. Dada la simetría, E es perpendicular alas bases y el flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo. Así pues, d E-d8= | E-d8=2 | E-dS=2 | Eñ:dS =2ES Ear Bases Buse Base Según la ley de Gauss este flujo será igual a Jefrero/En, Y COMO Qcículo = 4S, tendremos finalmente que 2 ES = 0 S/e, > E= 0/(2 Eg). Figura 24 A [A E=— 11.44] 2e, Es de destacar el hecho de que el campo es uniforme (no depende de la distancia). Aún cuando no existen distribuciones infinitas como la propuesta, la ecuación [1.44] proporciona resultados válidos para distribuciones finitas si el punto no está muy alejado (en comparación con las dimensiones de la distribución) y no está próximo a los bordes. 15.- Trabajo necesario para mover una carga puntual. Energía potencial electrostática Puesto que la fuerza eléctrica que una carga puntual ejerce sobre otra es central y su módulo depende de la distancia entre ambas, dicha fuerza será conservativa y, por tanto, existirá una energía potencial electrostática asociada a ella, de forma que la relación entre ambas es: Física IT TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO 116 F¿=-VU donde con f%. hemos querido indicar la fuerza realizada por el campo. Si tomamos la distancia 7 como única variable, la ccuación anterior puede escribirse en la forma [1.45] A continuación estudiaremos el caso particular en que una carga puntual q* se mueve en el seno de un campo electrostático creado por otra carga puntual Q. En primer lugar obtendremos U,-U. dU=F dr => -["dU=[Fdr => U¿-U¿=['k 2 dy ¡002 >) a ra ta A B fi 1 U,-U, =k Qq | =-= 11.46] lt y como el trabajo realizado por la fuerza conservativa es igual a la variación de la energía potencial con signo .00 donde con W, queremos indicar trabajo realizado por el campo. Si el campo está creado por varias cargas cambiado W.(A> B)=-AU =U,-U,= [1.471 puntuales, Q,, Q», ...,Q,, el trabajo necesario para mover una carga-testigo q' vendrá dado, según el principio de superposición, por ” 11 W.(4> B)= wee) E ña Ya Analicemos el signo del segundo miembro de la ecuación [1.47] 2) Si el signo de Q es igual al signo de q”, lo que equivale a decir que la fuerza de interacción es repulsiva, a.1) Si rg > 7, (las partículas se alejan), entonces ambos miembros son positivos, lo que quiere decir que el sistema ha perdido energía potencial y, por tanto, el trabajo será realizado por el campo (W¿ > 0). 2.2) Si rg < ra (las partículas se acercan), entonces se produce un aumento de la energía potencial del sistema y eso sólo es posible si se realiza un trabajo sobre el mismo; por tanta, el trabajo será realizado por un agente exterior sin cambiar la Energía cinética (W¿< 0 = W.,, =- W¿+ AE¿>0). b) Si el signo de Q es diferente del signo de q”, lo que equivale a decir que la fuerza de interacción es alracliva, b.1) Si »y > 7, el sistema aumenta de energía potencial y, por tanto, el trabajo tendrá que ser realizado por un agente exterior sin cambiar la Energía cinética (W¿ < 0 = W.,, =- We + AE¿> 0). b.2) Si ry < 7, el sistema disminuye de energía potencial y, por tanto, el trabajo será realizado por el propio campo (W¿> 0). Si tomamos el origen de energías potenciales en el infinito (U,, =0), lo que parece lógico ya que en esas condiciones la fuerza de interacción es nula, entonces la ecuación [1.46] se transforma en Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO 117 es decir, la diferencia de potencial entre dos puntos representa el trabajo que el campo realiza (agente exterior) para trasladar la unidad de carga positiva del primer punto al segundo (del segundo al primero, sin cambiar la Energía cinética de la misma). También representa el cambio de energía potencial que experimenta la unidad de carga positiva al ser trasladada por las fuerzas del campo del primer punto al segundo. Al igual que ocurría con la energía potencial, no pueden medirse potenciales absolutos sino diferencias de potencial (y ello, por definición). Si queremos medir potenciales "absalutos", es preciso tomar un origen arbitrario de potenciales: como en el infinito la fuerza de interacción es nula, tomaremos dicho punto como origen (además, de esa forma el potencial y la energía potencial tienen el mismo origen). Así pues, el potencial de un punto representa el trabajo que debe realizar el campo (agente exterior) para trasladar la unidad de carga positiva desde ese punta hasta el infinito (desde el infinito hasta dicho punto, sin cambiar la Energía cinética de la misma). De esta forma, y, == [1.52] 11.52.1] La unidad de potencial electrostático en el Sistema Internacional es el voltio, definido como la diferencia de potencial que existe entre dos puntos de un campo eléctrico cuando las fuerzas del campo deben realizar un trabajo de un julio para trasladar una carga de un culombio desde el primer punto hasta el segundo. Definimos superficie equipotencial como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano en los que el potencial toma el mismo valor. De la ecuación [1.50] deducimos que av =-E-di [1.50.11 Recordemos la expresión matemática de la diferencial de una función escalar, como Y, en función de su gradiente: dav =VWV de [1.50.2] De las ecuaciones [1.50.1] y [1.50.2] deducimos que: E=-VV [1.53] Sabemos de un tema anterior que el vector VU es perpendicular a las superficies equipotenciales y tiene el sentido de los potenciales crecientes; por ello, la ecuación [1.53] nos dice que el campo eléctrico es perpendicular a las superficies equipotenciales y tiene el sentido de los potenciales decrecientes. La ecuación [1.48] nos da la energía potencial de un sistema de dos cargas: utilizándola en la ecuación [1.52] obtendremos el potencial creado por una carga puntual Y en un punto que dista + de ella. [1.54] Física IT TEMA 1.- CAMPO ELECFROSTÁTICO 19 17.- Cálculo del potencial eléctrico para diversas distribuciones continuas de carga Para calcular el potencial creado por distribuciones continuas de carga tenemos dos caminos: 2) Dividir la distribución en elementos infinitesimales de carga dq, que pueden tratarse como cargas puntuales. Según la ecuación [1.54], el potencial elemental creado por dq será dY =k, dg/r , donde r representa la distancia de dg al punto en el que se pretende calcular el potencial. Según el principio de superposición, el potencial total creado por la distribución será la suma de todos los potenciales elementales, es decir, de V=k, f [1.55] 7 dende la integral será de línea, de superficie o de volumen según sea la distribución. b) Calcular el valor del campo mediante algún procedimiento (aplicando la ley de Gauss, por ejemplo) y aplicar la definición dada por la ecuación [1.50]. 17.1.- Potencial creado por una distribución lineal de carga uniforme e indefinida En su momento, dedujimos (Ecuación [1.27]) que el campo creado por una distribución lineal de carga uniforme e indefinido a una distancia a de la misma era 2k,4 3 a E= Puesto que sólo tiene coordenada y (a juega el papel de y), - sex: 702 E=%y > EU > == Pé da a da Usaremos integrales indefinidas en vez de definidas con objeto de no presuponer el origen de potenciales Y =-2p4 [E ah, 4ina+C a A la vista de la expresión matemática que hemos obtenido, di Rue parece lógico elegir el origen de potenciales a una distancia unidad £a= 1) del conductor, con lo que C = 0 y el potencial queda en la forma hiela V=2kp4 Ina [1.56] eba lA 17.2 Potencial creado por un anillo en un punto de su eje Figura 25 El potencial creado por una carga elemental del anillo(Figura 25) au viene dado por El potencial total será Física II TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO 120