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Campo electrostático
Un poco de historia
Tales de Mileto , sabio griego que vivió seiscientos años antes de Cristo, descubrió que frotando un trozo de ámbar 1 (que es una resina de origen fósil), éste era capaz de atraer cuerpos muy ligeros. Posteriormente, en el S. XVIII, el francés Du Fay observó que frotando trozos de vidrio (por ejemplo con algún tipo de tela con pelo, o con piel de gato) podía obtenerse una propiedad antagónica a la que se conseguía en el ámbar. Es decir, si se acerca a una bolita de plástico muy ligera a una barra de vidrio después de frotado, la bolita de plástico es atraída por la barra de vidrio. De igual forma, si acercamos una barra de ámbar después de frotarla, la bolita de plástico también es atraída por esa barra. Sin embargo, si acercamos simultáneamente las dos barras frotadas a la bolita de plástico ésta no se mueve. La explicación es que estas barras poseen dos tipos de electrización diferente a los que Du Fay llamó electricidad vítrea (del vidrio) y electricidad resinosa (del ámbar). Esta hipótesis de Du Fay fue rechazada en 1752 por Benjamin Franklin quien suponía que en los cuerpos podía encontrarse un fluido, en exceso o en defecto, que llamó electricidad positiva y electricidad negativa 2.
(^1) En griego, ámbar se dice elektron.
20 CAPÍTULO 2. CAMPO ELECTROSTÁTICO
En 1785, Charles Coulomb comprobó experimentalmente la ley de la interacción entre partículas cargadas, pero no fue hasta principios del siglo XX que el físico nortamericano Robert Adams Millikan fue capaz de medir la carga del electrón, mediante su conocida experiencia de la gota de aceite^3. Esta experiencia consiste en introducir en un gas gotitas de aceite por medio de un atomizador, tal como se muestra en la Figura 2.1. Estas gotitas caen muy lentamente, con su peso compensado por la viscosidad del medio 4. Ahora bien, las gotas se cargan electrostáticamente al salir del atomizador, por lo que su movimiento de caída se altera fuertemente si se hace actuar un campo eléctrico vertical. Ajustando convenientemente el campo, puede lograrse que la gota permanezca en suspensión, teniendo de esta forma una expresión para calcular el valor de la carga, ya que:
mg = qE
donde m es la masa de la gota de aceite, y E el campo eléctrico al que se la somete. Millikan comprobó que las variaciones de esta carga eran siempre múltiplos de una carga elemental, la del electrón, encontrando el valor de ésta: e = 1,602 × 10-19^ culombios.
Figura 2.1. Experimento de la gota de aceite de Millikan (Tomada de Pontificia Universidad Católica de Chile http://www.uc.cl)
(^2) Como podemos ver, aunque la hipótesis era falsa, al menos utilizó un nombre
acertado. (^3) Millikan recibió el premio Nóbel de Física en 1923 en parte por este
experimento. (^4) Este tipo de movimiento viene regido por la ley de Stokes, según la cual, la
gota experimenta un valor del rozamiento con el fluido proporcional a su velocidad.
22 CAPÍTULO 2. CAMPO ELECTROSTÁTICO
distancia entre ellas (ver Figura 2.2 ), el valor de la fuerza de interacción viene dado por:
1 2
q q f k r
donde k es una constante cuyo valor depende del medio en el que se encuentre la carga q 1. En el vacío, expresada en el SI de unidades, el valor de k es 9·10^9. El carácter vectorial de esta fuerza viene determinado por un vector dirigido de q a q 1 , que llamaremos r^ G^ , de forma que:
1 (^1 )
q q f k r r
G G
En esta expresión se puede observar que el sentido de la fuerza será coincidente o anticoincidente con el de r^ G^ en función de que las cargas en interacción tengan el mismo signo (las positivas o las dos negativas) o signos contrarios, respectivamente. (El alumno puede dibujar la interacción en todos los casos posibles y comparar los resultados). Si cambiamos la carga situada en el punto P, q 1 , por otra q 2 , o por otra, en general, q i, la interacción de cada una de ellas con q responde siempre a una expresión formalmente idéntica a (2.1), es decir:
3
i i
q q f k r r
G G
q q (^) i
q r q (^1) G
r q 2
q G f 2
G
P
P
P
r^ G f i
G
f 1
G
Figura 2.2. Interacción electrostática entre cargas puntuales
2.3 Campo electrostático de una carga puntual
Cualquiera que sea el valor de la carga qi en la Figura 2.2, la interacción con q dada por (2.2) siempre tiene una parte común. Este término es el campo electrostático creado por q en el punto P.
DIPOLO ELÉCTRICO 23
Es decir, si en el espacio vacío colocamos una carga puntual q , la presencia de esta carga modifica las propiedades del espacio que la rodea, apareciendo en cada punto de ese espacio una magnitud vectorial que llamamos campo electrostático, E
G
. Como en el caso de la fuerza electrostática, el sentido de E
G
será coincidente o anticoincidente con el de r
G
en función de que la carga que lo crea (fuente) sea positiva o negativa, respectivamente. Por tanto,
3
q E k r r
G G
con 0
k π ε
donde ε 0 es la permitividad o constante dieléctrica del vacío (en general, del
medio en el que se encuentra el punto P donde se calcula el campo (véase Figura 2.3)). Teniendo en cuenta (2.2) y (2.3), la unidad de medida del campo electrostático en el SI es N/C.
q r
G
E
G
P
Figura 2.3. Campo eléctrico creado por una carga puntual
2.4 Dipolo eléctrico
Un dipolo eléctrico es un conjunto de dos cargas puntuales de igual valor absoluto, signos contrarios, separadas una distancia l. Esta distancia se denomina brazo del dipolo^7. La magnitud que caracteriza el dipolo eléctrico se denomina momento del dipolo y es igual al producto de la carga positiva por el vector de posición de la carga positiva respecto de la negativa ( l
G
, en la Figura 2.4), es decir:
p^ G^ = ql
G
La unidad de medida de esta magnitud en el SI es C·m.
(^7) Evidentemente, para mantener separadas las cargas de distinto signo
separadas una distancia l es necesario realizar un trabajo.
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE CAMPO ELECTROSTÁTICO 25
2.5 Generalización del concepto de campo
electrostático
2.5.1 Campo electrostático creado por varias cargas puntuales, en
un punto en el vacío
Cuando se quiere calcular el campo electrostático creado por varias cargas puntuales en un punto P, hay que tener en cuenta el principio de superposición, según el cual, en los medios lineales se verifica que: “el campo electrostático creado por varias cargas puntuales es la suma de los campos electrostáticos creado por cada una de ellas, en ese punto, como si estuvieran solas”. De esta forma, si tenemos n cargas puntuales, q 1 , q 2 , …, qi , …, qn y queremos calcular el campo eléctrico creado por ellas en un punto P situado a una distancia r 1 , r 2 , …, ri , …, rn , de cada una de las cargas, respectivamente, como muestra la Figura 2.6, teniendo en cuenta (2.3), resulta:
3 1 0
n i i i i
q E r = πε r
= (^) ∑
G G
donde ri
G
es el vector de posición de P respecto de qi.
q 1
q 2
qi
r 1
r 2 ri
E 1
G
E 2
G E i
G
E
G
P
Figura 2.6. Campo eléctrico creado por varias cargas puntuales
26 CAPÍTULO 2. CAMPO ELECTROSTÁTICO
2.5.2 Campo electrostático creado por una distribución continua de
carga, en un punto en el vacío
Antes de ver cómo se calcula el campo creado por una distribución continua de carga, vamos a definir una magnitud que caracteriza a la distribución continua de carga, que llamamos densidad de carga. Supongamos que la carga q está distribuida en un volumen V. Dividimos este volumen en elementos de volumen, infinitésimos de tercer orden, dV , que contienen una carga elemental, dq. El cociente entre el dq y el elemento de volumen que lo contiene es lo que se llama densidad
volumétrica de carga , ρ, es decir:
dq dV
ρ = (^) (2.6)
Esta magnitud está definida para cada punto de la distribución de carga por lo que se dice que es una magnitud local.
Si ρ es constante, la distribución se denomina uniforme u homogénea.
De la expresión (2.6) se puede obtener, conocida ρ, el valor de la carga total
de la distribución, q , sin más que despejar de ella e integrando para todo el volumen V , o sea:
V
dq = ρ dV ⇒ q = (^) ∫ ρdV (2.7)
Si en (2.7) la densidad volumétrica de carga es constante, sale fuera de la integral obteniéndose la relación correspondiente para una distribución uniforme, es decir:
q q V V
= ρ ⇒ ρ = (^) (2.8)
De (2.8) se ve fácilmente que la unidad de medida en el SI de la densidad volumétrica de carga es C/m^3. De forma análoga, si la carga q está distribuida en una superficie S , se divide dicha superficie en superficies elementales, infinitésimos de segundo orden, dS , cada uno de los cuales contiene una carga elemental dq. El cociente entre este elemento de carga y el infinitésimo de segundo orden que
lo contiene, se denomina densidad superficial de carga , ρ s. Esto es:
s
dq dS
ρ = (^) (2.9)
Por último, si la carga q está distribuida en una línea, L , se divide la línea en elementos de longitud, dl , cada uno de los cuales contiene una carga elemental dq. El cociente entre este elemento de carga y el elemento
de longitud que lo contiene se denomina densidad lineal de carga , ρ l. Su
expresión viene dada por:
28 CAPÍTULO 2. CAMPO ELECTROSTÁTICO
3
(^4) o q
dq E r πε r
= (^) ∫
G G
que, teniendo en cuenta (2.7), queda:
3
(^4) o V
dV E r r
ρ πε
= (^) ∫
G G
Distribución superficial. Se procede de forma análoga al caso de la carga volumétrica, dividiendo la superficie en infinitésimos de segundo orden, dS , como se ve en la Figura 2.8. Cada uno de ellos contiene una carga elemental, dq , que se comporta como puntual, creando un campo en P, también elemental, formalmente idéntico al de la ecuación (2.12), donde ahora, teniendo en cuenta (2.9), queda una expresión análoga a (2.13). Es decir,
3
s o S
dS E r r
ρ πε
= (^) ∫
G G
dq, dS
dE
G
P
r^ G
Figura 2.8. Campo creado por una distribución superficial de carga
Distribución lineal. Siguiendo los mismos pasos que en los casos anteriores se llega a una expresión similar a (2.13) y (2.14) pero teniendo en cuenta ahora la expresión (2.10). O sea,
3
l o L
dl E r r
ρ πε
= (^) ∫
G G
donde dl es elemento de longitud que contiene la carga elemental, dq , como se ve en la Figura 2.9.
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE CAMPO ELECTROSTÁTICO 29
r
G dE
G
P
dq, dl
Figura 2.9. Campo creado por una distribución lineal de carga
Ejemplo 2.
Encuentra el campo eléctrico creado por una carga uniformemente distribuida en un alambre recto de longitud L, en un punto P situado donde indica la Figura 2.10.
O P X
a
Figura 2.10. Alambre recto con la carga uniformemente distribuida
Resolución
Se divide el alambre en dl , cada uno de los cuales contiene un dq que se comporta como una carga puntual. Este dq crea en P un campo elemental dE
G (véase Figura 2.11). La aplicación del principio de superposición nos lleva a una integral como la de la expresión (2.15), donde ahora dl = dx , r = L + a − x y r r = i G G
. Como hay que sumar todas las contribuciones, los límites de la integral serán los dos extremos del alambre, es decir:
(^0) ( )^2
1 4
L (^) l
o
dx E i L a x
ρ πε
= ∫ + −
G G (2.16)
Resolviendo la integral de (2.16) y expresando el resultado en términos de los datos del problema se obtiene la solución final:
1 (^4) o ( )
q E i πε a L a
=
G G
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE CAMPO ELECTROSTÁTICO 31
X
r
E
G
dE
G
dE
G
r
a
P
θ (^) θ
Y
Figura 2.12. Campo creado por un alambre recto infinito homogéneamente cargado
Ejemplo 2.
Encuentra el campo eléctrico creado por una carga uniformemente distribuida en un aro de radio R , en un punto situado en el eje del aro, a una distancia a del centro del mismo.
Resolución
Procedemos igual que en el Ejemplo 2.1, dividiendo la carga en dq contenidos en elementos de longitud, dl. Cada uno de estos dq crea un campo elemental en P, dE
G
. Si se estudia la simetría del problema se observa que para cada dq existe otro, diametralmente opuesto a él, que crea un campo elemental tal que su componente Z es igual al anterior y la componente perpendicular a Z es opuesta a la anterior, tal como se observa en la Figura 2.13, de forma que, al sumar todas las contribuciones (principio de superposición) aparece una simplificación del problema. Es decir,
dE = kdE (^) z + ndE ⊥
G G (^) G
z^ cos q q q q ∫ dE^^ =^ k^ ∫ dE^ +^ ∫ ndE^ ⊥= k^ ∫ θdE
G G (^) G G (2.20)
donde dE z representa la componente perpendicular a Z y n^ G^ el vector unitario de cualquiera de las direcciones perpendiculares a k
G . Teniendo en cuenta que en (2.20) los valores de r y θ son los mismos para todos los dq , queda:
2 0
1 cos 4
q E k r
θ πε
=
G G
que si se expresa en función de los datos del problema nos proporciona el resultado del campo creado por el aro uniformemente cargado, en el punto P. Es decir:
32 CAPÍTULO 2. CAMPO ELECTROSTÁTICO
2 2 32 0
1 4
qa E k πε R a
=
G G (2.21)
P (^) Z O
E
r G
dl, dq
r
a
dE
G
dE
G
θ θ dEz
dE ⊥
Figura 2.13. Campo creado por un aro homogéneamente cargado
Es interesante analizar, a partir de la ecuación (2.21), cuánto vale el campo en el centro del aro. En este caso, a = 0, por lo que el campo será nulo. Este resultado podría haberse obtenido únicamente por consideraciones de simetría 9.
Ejemplo 2.4 10
Encuentra el campo eléctrico creado por un disco uniformemente cargado, de radio R , en un punto del eje del disco, situado a una distancia a del centro del mismo.
Resolución
Como la distribución de cargas es superficial, si la dividimos en infinitésimos de 2º orden, tendríamos que resolver una integral doble, lo cual supone una gran dificultad en este nivel. Sin embargo, podemos utilizar el principio de superposición para sumar efectos de distribuciones que, conocido el campo que crean, no sean puntuales. Es evidente que la simetría de este problema nos lleva a dividir la carga en aros elementales, como se ve en la Figura 2.14. Cada uno de estos aros, de radio r , contiene una carga elemental, dq , y contribuye al campo en P con un dE
G como el de (2.21), es decir:
2 2 32 0
1 4
dq a dE k πε r a
=
G G (2.22)
(^9) Se propone al alumno que lo resuelva por este procedimiento. (^10) Este ejercicio es muy útil para aprender a utilizar el principio de
superposición con cargas que no sean puntuales. Además, permite solventar la dificultad matemática que conlleva la resolución de integrales dobles, reduciendo el problema a una integral simple por consideraciones de simetría.
34 CAPÍTULO 2. CAMPO ELECTROSTÁTICO
o El número total de líneas de campo eléctrico desde un punto con carga es proporcional a la magnitud de esa carga. o La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto.
(a) (b) Figura 2.15. Líneas de campo eléctrico. (a) Carga puntual positiva. (b) Dipolo eléctrico
ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 35
Estrategias para la resolución de problemas
En este apartado pretendemos dar unas líneas de actuación que sirvan de orientación para resolver los problemas de este capítulo. En ningún caso se trata de dar una receta que seguir al pie de la letra, si no de establecer un procedimiento, nunca cerrado, que ayude a enfrentarse a los problemas. Paso 1. Lee atentamente el problema. A veces es necesario leer el enunciado más de una vez para entenderlo absolutamente. Paso 2. Dibuja, cuando proceda, un diagrama para visualizar la situación física del problema. Paso 3. Estudia la simetría del problema para simplificar al máximo la resolución. Paso 4. Cuando proceda, utiliza el principio de superposición, partiendo de situaciones conocidas, para llegar a la solución buscada.
Problemas
2.1 Tres cargas puntuales idénticas, q , se colocan en tres esquinas de un
cuadrado de lado L. Calcula la fuerza sobre una carga puntual de valor – 3 q si ésta se coloca: a) en el centro del cuadrado, b) en la esquina vacía del cuadrado.
2.2 Dos esferas muy pequeñas, que pueden considerarse como puntuales,
pesan 4 N cada una. Ambas cuelgan de un punto común, mediante hilos inextensibles de 5 cm de longitud. Cuando se suministra a las esferas una cantidad igual de carga negativa, se separan formando los hilos que las unen al punto común, un ángulo de 45º con la vertical. Calcula el valor de la carga.
2.3 Calcula el campo eléctrico creado por un dipolo de momento dipolar
p
G
, en un punto cualquiera del eje del dipolo, a una distancia a del brazo del dipolo.
2.4 Demuestra que la energía potencial, U , de un dipolo de momento p
G
que se encuentra en un campo uniforme E
G
, está dada por: U = − p ⋅ E
G G
2.5 Una pequeña masa puntual, m , de carga q , está restringida a
moverse verticalmente dentro de un tubo cilíndrico estrecho y sin
