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Matem´atica Discreta.
Apunte Te´orico.
Congruencias Aritm´eticas.
Prof: G. D´ıaz Ciarlo.
1. Generalidades.
Definici´on 1.1 Dados a, b ∈ Z y m ∈ Z> 0 , diremos que a es congruente con b m´odulo m (escribimos a ≡ b (m)) si a − b es m´ultiplo de m.i.e., m|a − b
a ≡ b (m) ⇔ m|a − b
Ejemplo 1. 20 ≡ 5 (3) pues 3 | 20 − 5 7 ≡ 1 (2) pues 2 | 7 − 1 11 ≡ −4 (5) pues 5 | 11 − (−4) 23 ≡ 23 (m) pues m| 23 − 23
Podemos definir en los enteros la siguiente relaci´on aRb ⇔ a ≡ b (m). Esta relaci´on es una relaci´on de equivalencia.
Proposici´on 1.3 La congruencia m´odulo m es una relaci´on de equivalencia en el con- junto de los enteros.
Demostraci´on.
i. Reflexiva. Para cualquier entero a, se verifica
a ≡ a pues m|a − a
ii. Sim´etrica. Queremos probar que a ≡ b(m) ⇒ b ≡ a(m)
a ≡ b(m) ⇒ m|(a − b) ⇒ m| − (a − b) ⇒ m|b − a ⇒ b ≡ a(m)
iii. Transitiva. Queremos probar que a ≡ b(m) ∧ b ≡ c(m) ⇒ a ≡ c(m).
a ≡ b(m) ∧ b ≡ c(m) ⇒ m|(a − b) ∧ m|(b − c) ⇒ m|(a − b) + (b − c) = a − c ⇒ m|a − c ⇒ a ≡ c(m)
Sabemos que toda relaci´on de equivalencia definida en un conjunto parte al conjunto en clases de equivalencia. Analicemos en el conjunto Z la relaci´on
a R b ⇔ a ≡ b(3)
y sus clases de equivalencia. Tomemos el entero 2 y veamos que elementos est´an en la clase del 2. A la clase del 2 pertenecer´an todos aquellos enteros a tales que a ≡ 2(3), esto es
[2] = {a : 3|a − 2 }
Si 3|a − 2 entonces existe un entero q tal que a − 2 = 3q o equivalente
a = 3q + 2
Esta ´ultima igualdad nos dice que son todos los enteros a que al dividirlos por 3 nos da resto 2, luego tenemos
[2] = {... , − 7 , − 4 , − 1 , 2 , 5 , 8 , 11 ,.. .}
A continuaci´on analicemos la clase del 1. Un razonamiento similar al anterior nos lleva a concluir que [1] = {a : 3|a − 1 } [1] = {a : a = 3q + 1}
Esta ´ultima igualdad nos dice que son todos los enteros que al dividirlos por 3 nos da resto 1, luego tenemos que
[1] = {... , − 8 , − 5 , − 2 , 1 , 4 , 7 , 10 ,.. .}
Por ´ultimo si analizamos la clase del 0 concluimos que en ella est´an todos los enteros que al dividirlos por 0 nos da resto 3, estos son
[0] = {... , − 9 , − 6 , − 3 , 0 , 3 , 6 , 9 ,.. .}
Es claro que no existen mas clases que las analizadas, estas son [0], [1] y [2] pues al dividir un entero por 3 el resto r debe ser 0 ≤ r < 3, esto es 0, 1 ´o 2. Concluimos que la relaci´on a ≡ b ⇔ a ≡ b(3) parte al conjunto Z en tres clases de equivalencia, estas son [0], [1] y [2].
Ejemplo 1.4 Analizar las clases de equivalencia de la relaci´on definida en Z como
a R b ⇔ a ≡ b(5)
Otras propiedades importantes de la congruencia aritm´etica son las siguientes.
Teorema 1.8 Sean a y b 6 = 0 dos n´umeros enteros y m un entero no negativo, sean adem´as a ≡ b(m) y c ≡ d(m), entonces
- a + c ≡ b + d(m) Dos equivalencias m´odulo m se pueden sumar miembro a miembro.
- ak ≡ bk(m), k ∈ Z En una equivalencia m´odulo m se pueden multiplicar ambos miembros por un mismo n´umero entero.
- ac ≡ bd(m) Dos equivalencias m´odulo m se pueden multiplicar miembro a miembro.
- k ∈ Z> 0 entonces ak^ ≡ bk(m) En una equivalencia m´odulo m se pueden elevar ambos miembros a un mismo exponente entero positivo.
- ak ≡ bk(m) y D(k, m) = 1, entonces a ≡ b(m)
- a ≡ b(m) y k|m entonces a ≡ b(m)
Demostraremos algunas de estas propiedades. Demostraci´on.
- a ≡ b(m) y c ≡ d(m), entonces m|a−b y m|c−d. Luego existen h y k enteros tales que
a − b = mh y c − d = mk Por lo tanto a − b + c − d = mh + mk (a + c) − (b + d) = m(h + k) Entonces a + c ≡ b + d(m)
- a ≡ b(m), entonces m|a − b, luego m|k(a − b) = ka − kb. Por lo tanto ka ≡ kb(m)
- a ≡ b(m) y c ≡ d(m), entonces m|a − b y m|c − d, esto es a − b = mh y c − d = mk. Luego a = b + mh y c = d + mk, entonces
ac = (b + mh) · (d + mk) = bd + bmk + mhd + m^2 hk = bd + m · (bk + dh + mhk) = bd + mq
Por lo tanto ac − bd = mq y esto significa que ac ≡ bd(m)
2. Ecuaciones de Congruencia.
Supongamos que a y b 6 = 0 son enteros y m ∈ Z> 0 podr´ıamos hacernos la siguiente pregunta, ¿Existe x ∈ Z tal que ax ≡ b(m)? Esta ´ultima ecuaci´on recibe el nombre de ecuaci´on de congruencia. Veremos algunos ejemplos y como resolver las mismas.
Ejemplo 2.1 Resolver 9 x ≡ 6(7).
Soluci´on. Observemos que la ecuaci´on 9x ≡ 6(7) es equivalente a 9x − 6 m´ultiplo de 7, esto es, 9 x − 6 = 7y con y ∈ Z. Esta ´ultiima ecuaci´on es equivalente a la ecuaci´on diof´antica 9 x − 7 y = 6. Sabemos que esta ecuaci´on diof´antica tiene soluci´on en Z porque D(9, 7) = 1|6. Resol- viendo la misma obtenemos la soluci´on particular x 0 = −18, y 0 = −24. La soluci´on que a nosotros nos interesa es x. Sabemos que todas las soluciones est´an dadas por
x = x 0 +
b D(a, b)
· k k ∈ Z
Por lo tanto todas las soluciones de la ecuaci´on de congruencia original est´an dadas por
x = − 18 − 7 k, k ∈ Z
Vale tratar el problema en forma general. Consideremos la ecuaci´on de congruencia
ax ≡ b(m)
La misma es equivalente a ax − b = my, y ∈ Z ax − my = b
Esta ´ultima es una ecuaci´on diof´antica y sabemos que la misma tiene soluci´on si y solo si D(a, m)|b
Ejemplo 2.2 Resolver las siguientes ecuaciones de congruencia.
- 17 · x ≡ 20(45)
- 84 · x ≡ 66(270)
- 28 · x ≡ 30(60)
- 12 · x ≡ 9(15)
- 3 · x ≡ 5(7)
- 12 · x ≡ 15(22)
- 19 · x ≡ 42(50)
- 18 · x ≡ 42(50)
