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Tema 5: Capitalización Compuesta - 1-
TEMA 5 : CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
1. CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los
- CAPITALIZACIÓN COMPUESTA ÍNDICE
- 1.1. CONCEPTO
- 1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN
- 1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
- 1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
- 1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
- 1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
- 1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
- 1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
- TANTOS EQUIVALENTES
- 2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA
- 2.2. TANTO NOMINAL
- DESCUENTO COMPUESTO............................................................
- 3.1. CONCEPTO
- 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
- 3.3. DESCUENTO RACIONAL...........................................................................
- 3.4. DESCUENTO COMERCIAL
- TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES
- SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 5. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA:
- 5.1 DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMÚN................................................
- 5.2 DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO COMÚN
- 5.3 DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
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se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores). 1.1. CONCEPTO La capitalización compuesta es, por tanto, una operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización compuesta.
1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial (C 0 ) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n) , pudiéndose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.
1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN Los intereses son productivos , lo que significa que:
A medida que se generan se acumulan al capital inicial para
producir nuevos intereses en los períodos siguientes.
Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital
existente al inicio de dicho período. Gráficamente para una operación de tres períodos:
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A partir de la expresión anterior ( denominada fórmula fundamental de la capitalización compuesta ) además de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.^1. Finalmente, hay que tener en cuenta que n lo que indica es el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial , por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea). EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.
C 10 = 200 ⋅( 1 + 0 , 05 )^10 = 325 , 78 €
Si se hubiese calculado en simple: C 10 = 200 ⋅( 1 + 0 , 05 ⋅ 10 )= 300 € La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.
1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma: Cn =C 0 ⋅( 1 +i)^ n despejando C 0 resulta:
( )n 0 n 1 i
C C
(^1) Para aplicar la fórmula fundamental de la capitalización compuesta es preciso que el tipo de interés esté expresado en tanto por uno.
0 10 años
200 C 10?
i = 5%
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EJEMPLO 2
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comparme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?
( )
11 , 1236.^5001.^334 ,^99 €
C 1.^500
1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos: In =Cn−C 0
EJEMPLO 3 ¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual?
C 4 = 300 ⋅ ( 1 + 0 , 07 ) 4 = 393 , 24 € In = 393 , 24 − 300 = 93 , 24 €
1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida. Cn =C 0 ⋅ ( 1 +i)n Los pasos a seguir son los siguientes: Pasar el C 0 al primer miembro:
0 2 años
C 0? 1.
i = 6%
0 4 años
300 C 4
i = 7%
I 4?
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Pasar el C 0 al primer miembro:
CC 0 n^ =^ (^1 +^ i)n Extraemos logaritmos a ambos miembros: log (^) C^ C 0 n=log ( 1 + i)n
Aplicamos propiedades a los logaritmos: log Cn −logC 0 =n⋅log ( 1 +i) Despejar la duración:
log ( 1 i) n log Cn log C^0 = (^) + −
EJEMPLO 5
Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.
- 000 ⋅ ( 1 + 0 , 04 ) n^ = 3. 202 €
( ) ( )
( ) 0 , 01703 12 años
log 1 0,
log3.202 log2.
log 1 0,
log3.202 log2. log 1 i n logCn logC^0
= + = =
−
− −
2. TANTOS EQUIVALENTES
La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante.
0 n? años
2.000 3.
i=4%
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Como ya se comentó cuando se hablaba del interés simple, la variación en la frecuencia del cálculo (y abono) de los intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar para que la operación no se viera afectada finalmente. Entonces se comprobó que los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión: i =ik ⋅ k donde k se denominaba frecuencia de capitalización y se definía como el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia (considerando como tal el año). Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta , ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y antes generarán nuevos intereses , por lo que existirán diferencias en función de la frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado. Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las siguientes condiciones: a. Interés anual del 12%: C n = 1. 000 ⋅ ( 1 + 0 , 12 ) 1 = 1. 120 , 00 € b. Interés semestral del 6%: C n = 1. 000 ⋅ ( 1 + 0 , 06 ) 2 = 1. 123 , 60 € c. Interés trimestral del 3%: C n = 1. 000 ⋅ ( 1 + 0 , 03 ) 4 = 1. 125 , 51 € Los resultados no son los mismos , debido a que la capitalización de los
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Cn =C 0 ⋅ ( 1 +ik)n ⋅k Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas operaciones , esto es, dado que la operación es la misma –ya que lo único que ha cambiado es la frecuencia de cálculo de los intereses–, se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes: C 0 ⋅ ( 1 +i) n=C 0 ⋅( 1 +ik)n ⋅k Simplificando la igualdad, eliminando C 0 y la potencia n queda finalmente: ( 1 +i) =( 1 +ik)k Expresión que indica la relación en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes. El valor de i en función de ik será: i = ( 1 +ik ) k− 1 El valor de ik en función de i será: ( 1 +i) =( 1 +ik )k ⇒k( 1 +i) =k^ ( 1 +ik) k⇒( 1 +i)^1 k= 1 +ik⇒ 1 +ik=( 1 +i)^1 k i k = ( 1 +i) 1 k− 1
EJEMPLO 6 Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año a un tanto del 12% efectivo^2 anual,suponiendo: a. Devengo anual de intereses: i = 0 , 12 C 1 = 1. 000 ⋅ ( 1 + 0 , 12 ) 1 = 1. 120 , 00 € …/…
(^2) Cuando habla de tanto por ciento efectivo anual nos está indicando el problema que quiere que se utilicen tantos equivalentes para que el montante final (C 1 ) sea igual al que resultaría de aplicar el 12% anual sea cual sea el devengo de los intereses.
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b. Devengo semestral de intereses: Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de cálculo es semestral, habrá que calcular previamente el tanto semestral equivalente al anual de partida, para después calcular el montante. i 2 = ( 1 + 0 , 12 )^1 2 − 1 = 1 , 05830 − 1 = 0 , 05830 C 1 = 1. 000 ⋅( 1 + 0 , 05830 )^2 = 1. 120 , 00 € c. Devengo trimestral de inteseses: Igual que en el caso anterior, habrá que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido. i 4 = ( 1 + 0 , 12 ) 14 − 1 = 1 , 02874 − 1 = 0 , 02874 C 1 = 1. 000 ⋅( 1 + 0 , 02874 )^4 = 1. 120 , 01 € Los resultados son los mismos, debido a la utilización de intereses equivalentes. Las pequeñas variaciones se deben al redondeo de los decimales. 2.2. TANTO NOMINAL Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relación anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo idénticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresión de equivalencia. En este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fácilmente de su unidad habitual (en años) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal (Jk). El tanto nominal se define como un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización k por el tanto k-esimal: J k =ik⋅ k De ahí se deduce que:
k i k =Jk
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Semestral: i 1 Jk 1 1 0 , 208 1 1 , 0816 0 , 0816 8 , 16 % k k^2 − = =^ =
− =^ +
=^ +
Trimestral: i 1 Jk 1 1 0 , 408 1 1 , 08243 0 , 08243 8 , 243 % k k^4 − = =^ =
− =^ +
=^ +
Mensual: i 1 Jk 1 1 012 ,^0811 , 08300 0 , 08300 8 , 300 % k k^12 − = =^ =
− =^ +
=^ +
El tipo de interés efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo nominal está calculado para trabajar en una determinada unidad de tiempo y sólo en ésa; si se quiere cambiar a otra unidad distinta, habrá que volver a recalcular el tanto nominal, para que el resultado final no cambie. b. Cálculo del tanto nominal si el devengo de intereses es anual, semestral, trimestral y mensual siendo el TAE del 8%: Anual: J k =[ ( 1 +i)^1 k− 1 ] ⋅k=[( 1 + 0 , 08 )^11 − 1 ] ⋅ 1 =[ 1 , 08 − 1 ] ⋅ 1 = 0 , 08 = 8 % Semestral: J k =[ ( 1 +i)^1 k− 1 ] ⋅k=[( 1 + 0 , 08 )^12 − 1 ] ⋅ 2 =[ 1 , 03923 − 1 ] ⋅ 2 = 0 , 07846 = 7 , 846 % Trimestral: J k =[ ( 1 +i)^1 k− 1 ] ⋅k=[( 1 + 0 , 08 )^14 − 1 ] ⋅ 4 =[ 1 , 01943 − 1 ] ⋅ 4 = 0 , 07771 = 7 , 771 % Mensual: J k =[ ( 1 +i)^1 k− 1 ] ⋅k=[( 1 + 0 , 08 )^112 − 1 ] ⋅ 12 =[ 1 , 00643 − 1 ] ⋅ 12 = 0 , 07721 = 7 , 721 % El tipo de interés nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales. Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de un tanto nominal, éste deberá ser diferente en función de la frecuencia de capitalización para la cual se haya calculado.
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3. DESCUENTO COMPUESTO
3.1. CONCEPTO
El descuento compuesto es la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización. 3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN Los intereses son productivos, lo que significa que: A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto, los intereses de cualquier período siempre los genera el capital del período anterior, al tanto de interés vigente en dicho período. En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C 0 –) será de cuantía menor , siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera. Al igual que ocurría en simple, se distinguen dos clases de descuento : racional y comercial, según cuál sea el capital que se considera en el cómputo de los intereses que se generan en la operación: DESCUENTO RACIONAL DESCUENTO COMERCIAL 3.3. DESCUENTO RACIONAL Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un período el capital al inicio de dicho período,
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Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial , es decir, sobre el que resulta de la anticipación del capital futuro. Se trata de la operación de capitalización compuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el capital actual. De otra forma, partiendo de la expresión fundamental de la capitalización compuesta: Cn =C 0 ⋅ ( 1 +i)n se despeja el capital inicial (C 0 ) :
( )n 0 n 1 i
C C
Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido , se obtendrá el interés total de la operación (Dr), o descuento propiamente dicho : Dr =Cn−C 0 Si sustituímos el valor del capital inicial (C 0 ):
( ) ( )
= − = − + n = n⋅ − + n r n 0 n n 1 i
C 1 1
1 i
D C C C C
Dr =Cn⋅( 1 − ( 1 +i)−n)
EJEMPLO 8 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de interés del 5% anual compuesto? ¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?
0 3 años
C 0? 24.
i = 5%
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Calculemos previamente la cantidad que tendremos que entregar en el momento actual: C 0 ⋅ ( 1 + 0 , 05 ) 3 = 24. 000 € C 0 =^241 , 05.^0003 = 20. 732 , 10 € Calculemos ahora el importe de los intereses ahorrados, es decir, el importe del descuento, primero por diferencia entre el capital inicial y el final y, posteriormente, por la fórmula directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente: Dr =Cn−C 0 Dr = 24. 000 − 20. 732 , 10 = 3. 267 , 90 € De la otra forma: Dr =Cn⋅( 1 − ( 1 +i)−n) D r = 24. 000 ⋅( 1 − ( 1 + 0 , 05 )−^3 ) = 24. 000 ⋅ 0 , 1361624 = 3. 267 , 90 €
3.4. DESCUENTO COMERCIAL En este caso se considera generador de los intereses de un período el capital al final de dicho período, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho período. El proceso a seguir será el siguiente: Gráficamente:
Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue: Periodo n: C n Periodo n-1: C n − 1 =Cn−In=Cn−Cn⋅d=Cn⋅ ( 1 −d) Periodo n-2: Cn − 2 = Cn− 1 −In− 1 =Cn− 1 −Cn− 1 ⋅d=Cn− 1 ⋅ ( 1 −d) =Cn⋅( 1 −d) ⋅( 1 −d) =Cn⋅( 1 −d)^2 …/…
0 1 2 n- 2 n- 1 n
C 0 C 1 C 2 Cn-2 Cn-1 Cn …
… d
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Dc =Cn−C 0 Dc = 10. 000 − 5. 904 , 90 = 4. 095 , 10 € De la otra forma: Dc =Cn⋅( 1 − ( 1 −d)n) D c =Cn⋅( 1 − ( 1 −d)n) = 10. 000 ⋅( 1 −( 1 − 0 , 10 )^5 ) = 10. 000 ⋅ 0 , 40951 = 4. 095 , 10 €
4. TANTOS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES
Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando un capital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los resultados serán diferentes según se realice por un procedimiento u otro. Sería conveniente encontrar la relación que deben guardar los tantos de interés y los tantos de descuento para que el resultado de la anticipación fuera el mismo cualquiera que sea el modelo de descuento empleado. Se trata de buscar la relación de equivalencia entre tantos de descuento y de interés. Esta relación de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en uno y otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos descuentos Dr = Dc , por tanto: Dr =D c
( ) (^ (^ ) ) n n n (^1) in C 1 1 d C 1 1 = ⋅ − −
simplificando, dividiendo por Cn:
( ) ( ( ) ) ( ) n n n^1 (^1 d)n 1 i 1 1 d 1 1 1 i
Restando la unidad y, posteriormente, multiplicando por -1:
( ) n (^1 d)n 1 i
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Extrayendo raíz n a la ecuación, queda la relación de equivalencia buscada:
( ) (^ )^1 i^1 d 1 d^1 1 i n 1 n^ n
- n^ = −^ ⇒ + = − Finalmente, despejando d:
1 i
i 1 i
1 i 1 1 i d 1 1
= +^ −
El tanto de descuento comercial «d» equivalente al tanto «i» será:
1 i d i = +
Análogamente, conocido «d» se podrá calcular el tanto «i»: d = 1 +ii⇒d⋅ ( 1 +i) =i⇒d+d⋅i=i⇒d=i−d⋅i⇒d=i⋅( 1 −d) ⇒i= 1 −dd
1 d i d = −
Hay que tener en cuenta que la relación de equivalencia es independiente de la duración de la operación. Por tanto, se cumple que para un tanto de interés solamente habrá un tipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo en la operación. EJEMPLO 10 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta…? 1º Caso: …a un tipo de interes del 5% anual compuesto (descuento racional):
( )n 0 n 1 i
C C
( )
C 24.^000
2º Caso: …a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial): …/…
