¡Descarga Limitas de funciones reales: Propiedades y ejemplos - Prof. Pascuas y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Cap´ıtol 1
Funcions reals d’una variable real
1.1 Generalitats
- R ´es el conjunt dels nombres reals. Uns conjunts de nombres reals que s’utilitzen molt sovint s´on els intervals: [a, b] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } ´es l’interval tancat d’extrems a i b, on a, b ∈ R i a ≤ b. (a, b) = { x ∈ R : a < x < b } ´es l’interval obert d’extrems a i b, on a, b ∈ R i a < b. [a, b) = { x ∈ R : a ≤ x < b } i (a, b] = { x ∈ R : a < x ≤ b } s´on els intervals semioberts o semitancats d’extrems a i b, on a, b ∈ R i a < b. (−∞, +∞) = R, (a, +∞) = { x ∈ R : a < x }, [a, +∞) = { x ∈ R : a ≤ x }, (−∞, a) = { x ∈ R : x < a } i (−∞, a] = { x ∈ R : x ≤ a }, on a ∈ R.
- Una funci´o f ´es una regla que a cada nombre real x d’un cert conjunt li assigna un ´unic nombre real f (x), que es diu el valor de la funci´o f en x. Exemples. La funci´o f (x) = 2x fa correspondre a cada nombre real x el seu doble 2x. Aix´ı, f (1) = 2, f (
2, etc. Moltes funcions venen definides per f´ormules, com el cas de l’exemple anterior. Pero tamb´e hi ha funcions importants definides d’altres maneres. Per exemple, la funci´o valor absolut | · | esta donada per
|x| =
x, si x ≥ 0, −x, si x < 0.
- El domini Dom(f ) d’una funci´o f ´es el conjunt de tots els nombres reals en els que esta definida f. De vegades s’utilitza la notaci´o f : D −→ R per indicar que f ´es una funci´o amb domini el conjunt D. Si no es d´ona expl´ıcitament el domini d’una funci´o f , s’ent´en que Dom(f ) ´es el conjunt de tots els nombres reals x pels quals t´e sentit la regla o f´ormula que defineix f (x). Exemples. Els dominis de les funcions dels exemples anteriors coincideixen amb R, pero el domini de la funci´o g(x) = 1/x ´es el conjunt R \ { 0 } de tots els nombres reals diferents de zero (perqu`e 1/x no t´e sentit per a x = 0).
2 Funcions reals d’una variable real
- La imatge (o recorregut) Im(f ) d’una funci´o f ´es el conjunt de tots els valors que pren f en el seu domini. El conjunt de tots els valors que una funci´o f pren en un subconjunt A del seu domini es denota per f (A) i es diu la imatge per f de A. Aix´ı f (Dom(f )) = Im(f ). Exemples. La imatge de la funci´o valor absolut ´es [0, +∞), mentre que Im(f ) = R, f ([0, +∞)) = [0, +∞), Im(g) = R \ { 0 } i g((0, +∞)) = (0, +∞), si f i g s´on les funcions dels exemples anteriors.
- La grafica Graf(f ) d’una funci´o f ´es la corba y = f (x) del pla euclidia R^2 , ´es a dir, Graf(f ) = { (x, f (x)) : x ∈ Dom(f )}. Exemples. Les grafiques de les funcions f i g dels exemples anteriors s´on la recta y = 2x (figura 1.1) i la hiperbola equil`atera y = 1/x (figura 1.2):
-2 -1 1 2
2
4
x
y
y = 2x
Figura 1.1: Gr`afica de f.
-4 -2 2 4
2
4
x
y
y = 1 x
Figura 1.2: Gr`afica de g.
La gr`afica de la funci´o valor absolut ´es la corba y = |x| dibuixada en la figura 1.3:
-2 -1 1 2
1
2
x
y
y = |x|
Figura 1.3: Gr`afica de la funci´o valor absolut.
4 Funcions reals d’una variable real
−x x
(−x, y) y (x, y)
Figura 1.5: Gr`afica d’una funci´o parella.
x
y
−x
−y
(x, y)
(−x, −y)
Figura 1.6: Gr`afica d’una funci´o imparella.
Utilitzant aquests fets ´es facil obtenir tota la grafica d’una funci´o parella o imparella a partir de la part de grafica que esta en el semipla x ≥ 0 o b´e x ≤ 0.
Exemples. La funci´o valor absolut ´es parella mentre que les funcions f i g dels exemples anteriors s´on imparelles. Observeu les simetries de les seves grafiques en les figures 1.1-1.3. Les funcions monomiques fn(x) = xn, n = 1, 2 , 3 ,... , s´on parelles quan n ´es parell i s´on imparelles quan n ´es senar. Les grafiques de f 1 , f 2 i f 3 s´on la recta y = x, la parabola y = x^2 (figura 1.7) i la c´ubica y = x^3 (figura 1.8), respectivament.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
x
y
y = x
y = x^2
Figura 1.7: Gr`afiques de f 1 i f 2.
-2 -1 1 2
2
4
6
8
x
y
y = x^3
Figura 1.8: Gr`afica de f 3.
1.1. Generalitats 5
Els dibuixos de les gr`afiques de f 2 n i f 2 n+1, per a n = 2, 3 , 4... s´on semblants a les de f 2 i f 3 , respectivament, com es pot comprovar en la figura 1.9:
-1 1
1
2
x
y
y = x^2 y = x^3 y = x^4 y = x^5 y = x^6 y = x^7
Figura 1.9: Gr`afiques de les funcions fn, per a n = 2,... , 7.
Observeu que Im(f 2 ) = [0, +∞) mentre que Im(f 3 ) = R. En general, tenim que Im(f 2 n) = [0, +∞) i Im(f 2 n− 1 ) = R, per a n = 1, 2 , 3 ,....
Evidentment hi ha funcions que no s´on ni parelles ni imparelles, per exemple g(x) = x + 1 no ´es parella ni tampoc imparella ja que g(−1) = 0 i g(1) = 2 i per tant g(−1) 6 = ±g(1).
1.1. Generalitats 7
∗ Simetria horitzontal: F (x) = f (−x). Llavors Graf(F ) = { (−x, y) : (x, y) ∈ Graf(f ) }, ´es a dir, la grafica de F s’obt´e aplicant la simetria d’eix x = 0 a la grafica de f (figura 1.15).
y = f (x)
(x, y)
x
y (x + c, y)
x + c y = f (x − c) Figura 1.14: Translaci´o horitzontal.
y = f (x)
(x, y)
x
(−x, y) y
−x y = f (−x) Figura 1.15: Simetria horitzontal.
∗ Dilatacions (contraccions) horitzontals: F (x) = f (x/c), essent c > 1 (0 < c < 1). Llavors Graf(F ) = { (cx, y) : (x, y) ∈ Graf(f ) }, ´es a dir, la grafica de F s’obt´e aplicant una dilataci´o (contracci´o) de factor c en la direcci´o de l’eix de les x’s a la grafica de f (figures 1.16 i 1.17).
y = f (x)
(x, y)
x
y
(cx, y)
cx
y = f (x/c)
Figura 1.16: Dilataci´o horitzontal de factor c = 32.
y = f (x)
(x, y)
x
y (cx, y) cx
y = f (x/c)
Figura 1.17: Contracci´o horitzontal de factor c = 23.
- Grafiques de les funcions polinomiques de grau dos. Esta clar que les grafiques de les funcions polinomiques de graus inferiors a dos (funcions de la for- ma F (x) = ax + b, on a i b s´on nombres reals) s´on rectes i per tant ´es molt facil dibuixar-les. Fent servir el metode de completar quadrats ´es molt facil veure que qualsevol funci´o polinomica de grau dos F (x) = ax^2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a 6 = 0) s’obt´e aplicant diverses transformacions elementals a la funci´o f (x) = x^2. Aixo permet representar la grafica de F a partir de la de f , que com sabem ´es la parabola y = x^2. I en particular obtenim que les grafiques de les funcions polinomiques de grau dos tamb´e s´on paraboles. Anem a fer aixo amb tot detall per a la funci´o F (x) = 2x^2 − x + 1. Primer, escrivim F com a una constant m´es una constant pel quadrat d’un binomi. Aix`o es fa completant quadrats mitjan¸cant els tres passos seg¨uents: 1. Fem que el coeficient de x^2 sigui factor com´u dels termes en x^2 i en x:
F (x) = 2x^2 − x + 1 = 2
x^2 −
x 2
8 Funcions reals d’una variable real
- Sumem i restem una constant adient a fi d’escriure el factor del coeficient anterior com a un quadrat m´es una constant:
x^2 −
x 2
= x^2 − 2 ·
· x = x^2 − 2 ·
· x +
x −
- Acabem els c`alculs:
F (x) = 2
x^2 −
x 2
x −
x −
Ara la f´ormula que acabem d’obtenir ens diu que F s’obt´e a partir de f (x) = x^2 aplicant les seg¨uents transformacions elementals:
- Dilataci´o vertical de factor 2 (aplicada a f ): Aix´ı obtenim F 1 (x) = 2x^2.
- Translaci´o horitzontal de 1/4 d’unitat (aplicada a F 1 ): Aix´ı obtenim F 2 (x) = 2
x − (^14)
- Translaci´o vertical de 7/8 d’unitat (aplicada a F 2 ): Aix´ı obtenim F 3 (x) = 2
x − (^14)
Per tant, podem dibuixar la gr`afica de F simplement deformant la de f (x) = x^2 segons les transformacions elementals anteriors com es mostra en la figura 1.18:
-1 1
1
2
y = x^2
y = 2x^2
x
y
(a) Gr`afiques de f i F 1.
-1 1
1
2
y = 2(x − 14 )^2
14 x
y
(b) Gr`afica de F 2.
-1 1
2
y = 2(x − 14 )^2 + (^78)
(^14)
(^78)
x
y
(c) Gr`afica de F 3 = F.
Figura 1.18: Dibuixant la gr`afica de F a partir de la de f (x) = x^2.
Observeu que no hem utilitzat cap simetria perqu`e el coeficient de x^2 en F ´es positiu. Quan ´es negatiu cal fer servir la simetria vertical com en el seg¨uent exemple.
Exemple. Anem a trobar quines transformacions elementals hem d’aplicar a f (x) = x^2 per obtenir la funci´o polin`omica de segon grau G(x) = 1 − 2 x − x
2 2 , i com a conseq¨uencia dibuixarem la grafica de G a partir de la de f. Primer obtenim una expressi´o adient de G seguint els tres passos que hem comentat anteriorment:
G(x) = 1 − 2 x −
x^2 2
(1) = 1 −
x^2 + 4x 2
(2) = 1 −
(x + 2)^2 − 4 2
(3) = 3 −
(x + 2)^2 2
Aix´ı doncs, podem obtenir G a partir de f de la seg¨uent manera:
10 Funcions reals d’una variable real
- La caracteritzaci´o de la injectivitat d’una funci´o en termes de la seva gr`afica es pot reescriure de la seg¨uent manera:
Una funci´o f ´es injectiva si, i nom´es si, cada valor y de la seva imatge ´es assolit per f en un ´unic punt x = f −^1 (y) del seu domini.
Per tant, si f ´es una funci´o injectiva tenim definida una altra funci´o f −^1 que es diu la inversa o la funci´o inversa de f. Observeu que Dom(f −^1 ) = Im(f ), Im(f −^1 ) = Dom(f ) i Graf(f −^1 ) = { (y, x) : (x, y) ∈ Graf(f ) }, ´es a dir, la grafica de f −^1 s’obt´e aplicant la simetria d’eix la recta y = x a la grafica de f (figura 1.20).
y = f −^1 (x)
y = f (x)
y = x
(y, x)
(x, y)
x
x
y
y
Figura 1.20: Gr`afiques d’una funci´o injectiva f i de la seva inversa f −^1.
-2 2 4
2
4
x
y y = 2x
y = x 2
y = x
Figura 1.21: Gr`afiques de f (x) = 2x i de f −^1.
Parlant informalment, f −^1 ´es la funci´o que desfa allo que fa f. De fet, si f ´es una funci´o injectiva, f −^1 ve caracteritzada per qualsevol de les dues propietats seg¨uents:
(i) f (f −^1 (y)) = y, per a tot y ∈ Im(f ). (ii) f −^1 (f (x)) = x, per a tot x ∈ Dom(f ).
Exemples: Es clar que les inverses de les funcions´ f i g dels exemples anteriors s´on f −^1 (x) = x/2 (figura 1.21) i g−^1 (x) = 1/x = g(x), respectivament. Observeu que la grafica de g, la hiperbola equilatera y = 1/x, ´es simetrica respecte de la recta y = x (mireu la figura 1.2). Recordeu que la imatge de la funci´o injectiva f 3 (x) = x^3 ´es tot R. Llavors la seva inversa ´es la funci´o arrel c´ubica
f 3 − 1 (x) = 3
x,
que t´e per domini tot R. La seva grafica (figura 1.22) s’obt´e aplicant la simetria d’eix y = x a la grafica de f 3 , que ´es la c´ubica y = x^3.
1.1. Generalitats 11
En general, la inversa de la funci´o injectiva f 2 n+1(x) = x^2 n+1, n = 1, 2 ,... ´es la funci´o arrel (2n + 1)-`esima
f 2 −n^1 +1(x) = 2 n+
x,
que t´e per domini tot R. La grafica de la funci´o arrel (2n + 1)-esima (figura 1.23) s’obt´e aplicant la simetria d’eix y = x a la gr`afica de f 2 n+1, que ´es la corba y = x^2 n+1.
-2 -1 1 2
1
2
x
y
y = √^3 x
y = x^3 y = x
Figura 1.22: Gr`afica de la funci´o arrel c´ubica.
-2 -1 1 2
1
2
x
y
y = x^3 y = x^5 y = x^7 y = √^3 x y = √^5 x y = √^7 x
y = x
Figura 1.23: Gr`afiques de les funcions arrel c´ubica, arrel cinquena i arrel setena.
- De vegades una funci´o f no ´es injectiva pero si compleix la condici´o d’injectivitat en una part A del seu domini: si x 1 , x 2 ∈ A i x 1 6 = x 2 llavors f (x 1 ) 6 = f (x 2 ). En aquesta situaci´o va b´e considerar la restricci´o f/A de f a A que ´es la funci´o definida igual que f pero nom´es en els punts de A:f/A(x) = f (x), per a cada x ∈ A. Es a dir, considerem la funci´´ o f pero prenem com a domini el conjunt m´es petit A. Aix´ı doncs, tenim que f/A ´es injectiva i per tant podem considerar la seva inversa (f/A)−^1 que t´e per domini el conjunt f (A). Exemples. Recordem que la funci´o f 2 (x) = x^2 no ´es injectiva. Pero la seva gr`afica (figura 1.7) mostra que f 2 /[0,+∞) si que ho ´es i f 2 ([0, +∞)) = [0, +∞). Llavors la inversa de f 2 /[0,+∞) ´es la funci´o arrel quadrada:
(f 2 /[0,+∞))−^1 (x) =
x,
que t´e per domini [0, +∞). La grafica de la funci´o arrel quadrada (figura 1.24) s’obt´e aplicant la simetria d’eix y = x a la grafica de f 2 /[0,+∞), que ´es la part de la parabola y = x^2 que esta en el semipl`a x ≥ 0.
1.2. Funcions exponencials i logar´ıtmiques 13
1.2 Funcions exponencials i logar´ıtmiques
Sigui a > 0. Sabem que ´es la potencia ax^ quan x = n = 0, 1 , 2 ,... :
a^0 = 1 an^ = a
n · · · a (n = 1, 2 , 3 ,... )
Tamb´e sabem qu`e ´es ax^ quan x = −n, n = 1, 2 , 3 ,... :
a−n^ =
a
)n
an^
La potencia ax^ amb x racional, x = m n , m = 0, ± 1 , ± 2 , ± 3 ,... , n = 1, 2 , 3 ,... , es defineix a partir de les potencies considerades anteriorment i de les arrels:
a
m n = n
am.
La definici´o de ax^ per a un nombre real x, no necess`ariament racional, es fa per aproximaci´o de la seg¨uent manera:
Considerem racionals x 1 , x 2 , x 3 ,... que “aproximin” x. Per exemple, per a n = 1 , 2 , 3 ,... considerem l’expressi´o decimal xn de x amb n decimals. (Observeu que xn ´es una aproximaci´o de x amb un error m´es petit que 10−n^ en el sentit que |x − xn| < 10 −n.) Com que xn ´es racional podem considerar la potencia axn^ segons la definici´o anterior. Llavors es pot demostrar que les potencies ax^1 , ax^2 , ax^3 ,... “aproximen” un nombre real ax^ > 0, i incl´us es pot provar que aquest nombre ax^ no dep`en de la tria dels racionals aproximadors x 1 , x 2 , x 3 ,....
La funci´o expa(x) = ax^ es diu la funci´o exponencial de base a. La funci´o expo- nencial de base el nombre e = 2. 7182818... es diu simplement funci´o exponencial i es denota per exp. Aix´ı, exp(x) = ex.
Propietats de les funcions exponencials. Siguin a, b > 0 i x, y ∈ R. Llavors:
- ax^ > 0.
- ax+y^ = axay^ ; ax−y^ = a x ay^ ;^ (cas particular:^ a
−x (^) = 1 ax^ ).
- axy^ = (ax)y.
- (ab)x^ = axbx^ ;
(a b
)x = a x bx^.
- Quan a > 1 , expa ´es estrictament creixent, ´es a dir, ax^ < ay^ si x < y. Quan a < 1 , expa ´es estrictament decreixent, ´es a dir, ax^ > ay^ si x < y.
- Si a < b i x > 0 , aleshores ax^ < bx. Si a < b i x < 0 , aleshores ax^ > bx.
La propietat 1 , que diu que les funcions exponencials transformen sumes en productes, ´es una de les propietats m´es importants d’aquestes funcions.
14 Funcions reals d’una variable real
Es clar que la funci´^ ´ o exponencial de base 1 ´es la funci´o constant igual a 1 i per tant la seva grafica ´es la recta y = 1 (figura 1.26). Segons la propietat 4 , la grafica de la funci´o exponencial de base a 6 = 1 ha de tenir formes diferents segons que a > 1 o 0 < a < 1, i aix`o es mostra en la figura 1.26:
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
x
y y = ex^ y = 2x
y = (^23 )x y = (^32 )x
y = (^12 )x^ y = (^1 e )x
y = 1
Figura 1.26: Gr`afiques de les funcions exponencials.
La figura anterior tamb´e permet “visualitzar” la propietat 5. D’altra banda, uti- litzant la propietat 2 obtenim que
ax^ = a(−1)(−x)^ = (a−^1 )−x^ = (1/a)−x, per a tot a > 0 i x ∈ R.
Aquesta f´ormula diu que la funci´o exponencial de base a s’obt´e aplicant la simetria horitzontal a la funci´o exponencial de base 1/a. Per tant, y = ax^ ´es la corba simetrica de y = (1/a)x^ respecte la recta x = 0 (mireu la figura 1.26). Aixo tamb´e explica perque les grafiques de expa tenen formes diferents per 0 < a < 1 i per a > 1 (recordeu que si 0 < a < 1 llavors 1/a > 1).
Sigui a > 0 i a 6 = 1. Llavors expa ´es una funci´o injectiva i Im(expa) = (0, +∞) (mireu la seva grafica). Per tant, podem considerar la seva inversa loga = (expa)−^1 que es diu la funci´o logaritme de base a. La funci´o logaritme de base e es diu funci´o logaritme neperia o logaritme natural o simplement funci´o logaritme, i es denota per ln, L o b´e log. Observeu que Dom(loga) = Im(expa) = (0, +∞) i Im(loga) = Dom(expa) = R. Recordeu que, per construcci´o, si a > 0, a 6 = 1 i x > 0 llavors loga x ´es l’´unic nombre real y tal que ay^ = x.
16 Funcions reals d’una variable real
1.3 Funcions trigonom`etriques i les seves inverses
Com a unitat de mesura d’angles s’utilitzen el graus (sexagesimals i centesimals) i els radians. En el calcul, la unitat m´es ´util de mesura d’angles ´es el radia, i sera la que utilitzarem a partir d’ara. Recordem que un radia ´es l’angle tal que la longitud del seu arc ´es igual a la del radi de la circumferencia que el cont´e (figura 1.28). Com que la longitud d’una circumferencia de radi r ´es 2πr, 1 radia ´es igual a 360 /(2π) = 57. 2957... graus sexagesimals, o equivalentment, 1 grau sexagesimal ´es igual a 2π/360 = 0. 017453... radians. La taula seg¨uent mostra l’equivalencia entre les mesures en graus sexagesimals i radians d’alguns angles notables:
graus sexagesimals 360 270 180 120 90 60 45 30
radians 2 π 32 π π 23 π^ π 2 π 3 π 4 π 6
Si x ∈ R, definim sin x i cos x com s’indica en la figura 1.29.
1 radi`a
r
r
Figura 1.28: Definici´o de radi`a.
(− 1 , 0)^ (1,^ 0)
(0, 1)
(0, −1)
(cos x, sin x)
x radians
cos x
sin x
Figura 1.29: Definici´o del sinus i del cosinus.
Aix´ı tenim definides les funcions sinus (sin) i cosinus (cos). Observeu que aquesta definici´o coincideix amb la que es d´ona a trigonometria utilitzant triangles rectangles, i en particular, sin π 6 = cos π 3 = 12 , sin π 4 = cos π 4 =
√ 2 2 i sin^
π 3 = cos^
π 6 =^
√ 3
Per construcci´o, Dom(sin) = Dom(cos) = R, sin ´es imparella, cos ´es parella i totes dues s´on funcions 2π-peri`odiques, ´es a dir,
sin(x + 2π) = sin x i cos(x + 2π) = cos x, per a tot x ∈ R.
Aquesta darrera propietat diu que les grafiques de sin i cos s´on invariants per transla- cions horitzontals de multiples enters de 2π unitats. Aix´ı doncs, nom´es cal representar la grafica de sin i cos corresponent a un interval tancat de les x’s de longitud 2π, ´es a dir, nom´es cal representar les grafiques de sin/[a−π,a+π] i cos/[a−π,a+π], per algun a ∈ R. Nosaltres hem triat a = 0, i hem representat les grafiques de sin/[−π,π] i de cos/[−π,π] en les figures 1.30 i 1.31. Observeu que Im(sin) = Im(cos) = [− 1 , 1]. A m´es a m´es,
1.3. Funcions trigonom`etriques i les seves inverses 17
els zeros de sin, ´es a dir, els x ∈ R tals que sin x = 0, s´on els multiples enters de π, i.e. x = 0, ±π, ± 2 π,... , mentre que els zeros de cos s´on els multiples senars de π 2 , i.e. x = ±π 2 , ±^32 π , ±^52 π ,....
Les funcions tangent (tan), cotangent (cot), secant (sec) i cosecant (csc) es defineixen de la seg¨uent forma:
tan x =
sin x cos x
cot x =
tan x
cos x sin x
sec x =
cos x
csc x =
sin x
Llavors Dom(tan) = Dom(sec) = R \ {±π 2 , ±^32 π , ±^52 π ,... } i Dom(cot) = Dom(csc) = R \ { 0 , ±π, ± 2 π,... }. Observeu que tan, cot i csc s´on imparelles, mentre que sec ´es parella, i les quatre funcions s´on 2π-periodiques. Pero anem a veure que tan i cot tenen un per´ıode m´es petit que 2π. Observeu que la definici´o que hem donat del sinus i del cosinus proporciona les identitats
cos(x + π) = − cos x i sin(x + π) = − sin x,
i dividint obtenim que
tan(x + π) = tan x i cot(x + π) = cot x.
Aix´ı doncs, tan i cot s´on funcions π-periodiques. Per tant, nom´es caldra fer les grafiques de tan i cot en intervals de longitud π, i les de sec i csc en intervals de longitud 2π. En les figures 1.32-1.35 estan representades les grafiques de tan/(−π/ 2 , π/2), cot/(0, π), sec/(−π/ 2 , 3 π/2){π/ 2 } i csc/(0, 2 π){π}, respectivament.
Les identitats que acabem de provar pel cosinus i el sinus impliquen directament que sec(x + π) = − sec x i csc(x + π) = − csc x,
i aquestes igualtats mostren com podem dibuixar les gr`afiques de sec/(π/ 2 , 3 π/2) i csc/(π, 2 π) a partir de les de sec/(−π/ 2 , π/2) i csc/(0, π), respectivament (mireu les figu- res 1.34 i 1.35).
D’altra banda, per la definici´o del cosinus i del sinus mitjan¸cant triangles rectangles sabem que cos(π 2 − x) = sin x i sin(π 2 − x) = cos x, i dividint obtenim que
tan
(π
2
− x
= cot x.
Aix`o diu que cot/(0, π) ´es el resultat d’aplicar a tan(−π/ 2 , π/2) la simetria horitzontal seguida de la translaci´o horitzontal de π/2 unitats, com es pot comprovar en les figures 1.32 i 1.33. Observeu que Im(tan) = Im(cot) = R i Im(sec) = Im(csc) = R \ (− 1 , 1).
M´es propietats algebraiques de les funcions trigonom`etriques. Si x, y ∈ R llavors:
- cos^2 x + sin^2 x = 1; 1 + tan^2 x = sec^2 x; cot^2 x + 1 = csc^2 x.
- sin(x ± y) = (sin x)(cos y) ± (cos x)(sin y); sin 2x = 2(sin x)(cos x). cos(x ± y) = (cos x)(cos y) ∓ (sin x)(sin y); cos 2x = cos^2 x − sin^2 x.
tan(x ± y) =
tan x ± tan y 1 ∓ (tan x)(tan y)
1.3. Funcions trigonom`etriques i les seves inverses 19
Les funcions trigonom`etriques inverses.
Les funcions sin, cos i tan no s´on injectives (ja que s´on 2π-periodiques) pero les seves restriccions a [−π 2 , π 2 ], [0, π] i (−π 2 , π 2 ), respectivament, s´ı que ho s´on (ja que s´on estrictament monotones), com es veu en les seves grafiques (figures 1.30-1.32). Aix´ı doncs podem definir les funcions arcsinus (arcsin), arccosinus (arccos) i arctangent (arctan) com a
arcsin =
sin/[− π 2 , π 2 ]
, arccos =
cos/[0,π]
i arctan =
tan/(− π 2 , π 2 )
respectivament. Llavors Dom(arcsin) = sin
([
−π 2 , π 2
])
= [− 1 , 1], Dom(arccos) = cos([0, π]) = [− 1 , 1] i Dom(arctan) = tan
−π 2 , π 2
= R. Les grafiques de arcsin, arccos i arctan s´on el resultat d’aplicar la simetria d’eix y = x a les grafiques de sin/[− π 2 , π 2 ], cos/[0,π] i tan/(− π 2 , π 2 ), respectivament (figures 1.36-1.38).
π 6
π 2
−π 6
−π 2
(^121)
− 1 −^12
Figura 1.36: Gr`afica de l’arcsinus.
π 3
π 2
2 π 3
π
− (^1) −^12121
Figura 1.37: Gr`afica de l’arccosinus.
−π 4
π 4
y = −π 2
y = π 2
1
− 1
Figura 1.38: Gr`afica de l’arctangent.
Recordeu que:
- Si x ∈ [− 1 , 1] llavors arcsin x ´es l’´unic y ∈ [−π 2 , π 2 ] tal que sin y = x.
- Si x ∈ [− 1 , 1] llavors arccos x ´es l’´unic y ∈ [0, π] tal que cos y = x.
- Si x ∈ R llavors arctan x ´es l’´unic y ∈ (−π 2 , π 2 ) tal que tan y = x.
20 Funcions reals d’una variable real
1.4 Funcions hiperb`oliques i les seves inverses
Les funcions sinus hiperbolic (sinh), cosinus hiperbolic (cosh), tangent hi- perbolica (tanh), cotangent hiperbolica (coth), secant hiperbolica (sech) i co- secant hiperbolica (csch) es defineixen aix´ı:
sinh x =
ex^ − e−x 2
cosh x =
ex^ + e−x 2
tanh x =
sinh x cosh x
coth x =
tanh x
cosh x sinh x
sech x =
cosh x
csch x =
sinh x
Propietats algebraiques de les funcions hiperb`oliques. Si x, y ∈ R llavors:
- cosh^2 x − sinh^2 x = 1; 1 − tanh^2 x = sech^2 x; coth^2 x − 1 = csch^2 x.
- sinh(x ± y) = (sinh x)(cosh y) ± (cosh x)(sinh y); sinh 2x = 2(sinh x)(cosh x). cosh(x ± y) = (cosh x)(cosh y) ± (sinh x)(sinh y); cosh 2x = cosh^2 x + sinh^2 x.
tanh(x ± y) =
tanh x ± tanh y 1 ± (tanh x)(tanh y)
Observeu el paral·lelisme existent entre les f´ormules anteriors i les corresponents per les funcions trigonometriques. La primera identitat de 1 diu que Pt = (cosh t, sinh t) ´es un punt de la hiperbola equilatera x^2 − y^2 = 1, per a cada t ∈ R. De fet, es pot veure que al variar t sobre R el punt Pt recorre tota la branca de la hiperbola anterior que esta en el semipla x > 0. Aixo explica perque es diuen hiperboliques aquestes funcions. Per raons analogues les funcions trigonometriques reben el nom de funcions circulars. (Recordeu que, si fem variar t sobre un interval tancat de longitud 2π, el punt (cos t, sin t) recorre tota la circumferencia x^2 + y^2 = 1.)
Les grafiques de les funcions hiperboliques apareixen representades en les figu- res 1.39-1.44. Observeu que la grafica de cosh ´es semblant a una parabola, pero no ´es una parabola. Aquesta grafica permet descriure la forma que t´e un cable flexible i uniforme (com els electrics o els telefonics) susp´es pels seus extrems a la mateixa al¸cada i sota l’acci´o de la gravetat: un tal cable descriu un arc de la catenaria y = a cosh(x/a), en un sistema de coordenades adequat, i on a > 0 ´es l’al¸cada del punt mig del cable.
La taula seg¨uent mostra els dominis i les imatges de les sis funcions hiperb`oliques:
Funci´o sinh cosh tanh coth sech csch
Domini R R R R \ { 0 } R R \ { 0 }
Imatge R [1, +∞) (− 1 , 1) R \ [− 1 , 1] (0, 1] R \ { 0 }
