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Guayaquil, 16 de Julio de 2020
Universidad de Guayaquil
Facultad de Arquitectura y Urbanismo
Curso de Nivelacion
MAT FAQ N 03 MA 1
Lino Alay Briggitte Anthonella
1.1 Proposiciones
1. Indique si cada enunciado es o no una proposición:
SI a) 7415 es un número par.
NO b) ¿Qué hora es?
SI c) Los números divisibles para 8 son divisibles para 2.
NO d) ¡Pare, por favor! NO e) El atardecer en la playa es romántico.
SI f) La edad de Gloria es 17 años.
SI g) Guayaquil es la capital económica de Ecuador. SI h) Galápagos es considerado Patrimonio Cultural de la Humanidad. NO i) Mi familia y yo viajaremos a la Sierra en fin de año. SI j) Ayer estuvo soleado pero hoy llueve torrencialmente. NO k) Mi palabra se siente levantada por un caballo lírico que salta. SI l) El mejor gobierno es el que gobierna menos.
2. Indique cuál de los siguientes enunciados no es una proposición: a) Hubo escasez de lluvias.
c) 5(3 + 4) = 36.
d) 3 es un número par.
e) Turismo. RESPUESTA= e
3. Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a) ¿Qué estás haciendo?
b) 3 − x = 7.
c) ¡Márchate!
d) 3 + x 7.
e) Neil Armstrong caminó sobre la Luna. RESPUESTA=e
4. Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a) El sabor del color azul es dulce.
b) 314159 es un número primo.
c) x 2 + 2 x + 1 = 0.
d) Disparen al ladrón.
e) La edad del universo es de unos 15 mil millones de años.
RESPUESTA=b
5. Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a) Las rosas me cautivan. b) El amanecer es bello.
c) 4 es divisible para 2.
d) 45 + 18.
e) La Química es complicada RESPUESTA= c
- Dados los siguientes enunciados:
I: Disminuya la velocidad.
II: 10 − 8 = 1.
III: Mi banca es gris.
IV: Hola, ¿cómo estás?
Es verdad que:
a) I y II son proposiciones.
b) I y III son proposiciones.
c) I y IV son proposiciones.
d) II y III son proposiciones.
e) Todos son proposiciones. RESPUESTA= d
1.2 Operadores lógicos
- Dadas las siguientes proposiciones:
a : Elizabeth cumple con sus obligaciones.
b : Elizabeth aprueba el examen.
c : Elizabeth se va de vacaciones.
d : Elizabeth trabaja.
e : Elizabeth come.
Traduzca literalmente las siguientes proposiciones: I) a → ¬ [ b → (¬ c ∨ d )] II) [ b ∧ ¬ ( d ↔ ¬ a )] ∨ [( c ∨ d ) → ( d ∧ e )] III) c → [( a ↔ d ) ∧ ( b ↔ ¬ e )] IV) ( a ∧ b ) ↔ [ c ∨ ( d → ¬ e )]
- Sean las proposiciones:
a : Como espinaca.
b : La Lógica es fácil.
c : Me divierto con este deber.
Parafrasee las siguientes proposiciones: Traduzca literalmente las siguientes proposiciones:
a). ( a ∧ b ) ↔ c b) ( b ∧ c ) → a c) ¬ a → ( ¬ b ∨ ¬ c )
RESPUESTAS=
A) Como espinaca más la lógica es fácil si y solo si me divierto con este deber.
B) La lógica es fácil y me divierto con este deber entonces como espinaca.
C) No como espinaca, entonces ni la lógica es fácil o ni me divierto con este deber
- Si la disyunción entre dos proposiciones es falsa, entonces la enunciación Hipotética entre ellas también es falsa. a) Verdadero b) Falso RESPUESTA= b 10.Si la negación de la disyunción entre dos proposiciones es verdadera, entonces la enunciación hipotética entre ellas también es verdadera. a) Verdadero b) Falso RESPUESTA= a
- Una contrarrecíproca de la proposición “Si estudio conscientemente, apruebo el curso de nivel cero” es “Si no estudio conscientemente, no apruebo el curso de nivel cero”. a) Verdadero b) Falso
a → b
b) Si (4 + 5) = 20 entonces (6 + 7 ) = 12.
0 falsa → 0 = 1
c) Si (9 + 5) = 14 entonces (6 + 5) = 11.
1 verdadera → 1 verdadera = 1
d) Si 9(4 + 2) = 54 entonces 9(4 + 1) = 14.
1 verdadera → 0 falsa = 0
e) Si 3(4 + 5) = 28 entonces 7(6 + 5) = 37.
0 falsa → 0 falsa = 1
- Una recíproca de la proposición “Carlos llega impuntual, siempre que se levanta tarde” es: a) Si Carlos se levanta tarde, entonces llega impuntual. b) Si Carlos llega impuntual, entonces se levanta tarde. c) Si Carlos no llega impuntual, entonces no se levanta tarde. d) Carlos llega impuntual, si no se levanta tarde. e) Si Carlos no llega impuntual, entonces se levanta tarde. RESPUESTA= b b) Carlos llega impuntual, siempre que se levanta tarde. b)Si Carlos llega impuntual, entonces se levanta tarde
- La traducción en el lenguaje formal de la proposición “Si tú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia”, siendo las proposiciones:
m : Tú eres inteligente.
n : Tú actúas con prudencia.
p : Tú eres un ignorante en la materia.
es: a) ( m ∧ ¬ n ) → p b) m ∨ ( n ∨ p ) c) p → ( m ∧¬ n ) d) ( m ∧ ¬ p ) → n e) m → ¬( n ∧ ¬ p ) RESPUESTA= a Si tú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia.
(m ∧ ¬n ) → p
- Empleando tablas de verdad, identifique una contrarrecíproca de la proposición “Siempre que tengo hambre y no tengo tiempo para comer, no me siento bien y no puedo estudiar”. a) Si no tengo tiempo para comer y tengo hambre, me siento bien y puedo estudiar. b) Si no me siento bien ni puedo estudiar, tengo hambre o no tengo tiempo para comer. c) Si me siento bien y puedo estudiar, tengo hambre o no tengo tiempo para comer. d) Si no tengo hambre ni tengo tiempo para comer, me siento bien o puedo estudiar. e) Si me siento bien o puedo estudiar, no tengo hambre o tengo tiempo para comer. RESPUESTA= e
- Siendo la proposición “Si el país está bien económicamente, yo tengo empleo” verdadera, entonces la condición necesaria de la proposición es: a) El país no está bien económicamente. b) Yo tengo empleo. c) Yo no tengo empleo. d) El país está bien económicamente y yo tengo empleo. e) Ni tengo empleo ni el país está bien económicamente.
RESPUESTA= b
- “Si una función es diferenciable, es continua” es una proposición verdadera, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? a) Una función es diferenciable sólo si es continua. b) Una función es continua sólo si es diferenciable. c) La diferenciabilidad de una función es condición necesaria para la continuidad de la misma. d) La diferenciabilidad de una función es condición suficiente para la continuidad de la misma. e) La diferenciabilidad de una función es condición suficiente y necesaria para que sea continua. RSPUESTA= a.verdadera b.falsa c.falsa d.verdadera e.falsa
- Considere la proposición “Compro y uso el traje gris, si me pagan”. Empleando tablas de verdad, identifique:
I) Una recíproca de la proposición dada.
a) Si compro y uso el traje gris, entonces me pagan. b) Si no compro y no uso el traje gris, entonces no me pagan. c) Si no compro o no uso el traje gris, entonces me pagan. d) Si no me pagan, entonces no compro o no uso el traje gris. e) Si me pagan, entonces compro y uso el traje gris.
II) Una inversa de la proposición dada.
a) Si compro y uso el traje gris, entonces me pagan. b) Si no compro o no uso el traje gris, entonces no me pagan. c) Si no compro o no uso el traje gris, entonces me pagan. d) Si no me pagan, entonces no compro o no uso el traje gris. e) Si me pagan, entonces compro y uso el traje gris.
III) Una contrarrecíproca de la proposición dada.
a) Si compro y uso el traje gris, entonces me pagan. b) Si no compro o no uso el traje gris, entonces no me pagan. c) Si no compro o no uso el traje gris, entonces me pagan. d) Si no me pagan, entonces no compro o no uso el traje gris. e) Si me pagan, entonces compro y uso el traje gris.
25. Una traducción al lenguaje formal de “Mis padres me compran un carro sólo
si me porto bien y apruebo este curso”, siendo las proposiciones simples:
m : Mis padres me compran un carro.
n : Yo me porto bien.
p : Yo apruebo este curso.
es: ( n ∧ p ) → m
a) Verdadero b) Falso
RESPUESTA= m→ (𝑛 ∧ 𝑝)
26. Si la proposición ¬ ( p ∧ ¬ q ∧ ¬ r ) es falsa, entonces la proposición p → ( q ∧ r )
es:
a) Verdadera b) Falsa
- Si se consideran las siguientes proposiciones simples:
m : Viajo al exterior.
n : Apruebo el curso de nivel cero.
p : Obtengo una beca.
Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Viajo al exterior sólo si apruebo el curso de nivel cero y obtengo una beca”, es: a) ¬ p → ( m ∧ n ) d) m → ( n ∧ p ) b) ¬ m → ¬ ( n ∧ p ) e) ( n ∧ ¬ p ) → m c) ¬ ( n ∧ ¬ p ) ∨ m RESPUESTA= d
28. Si la proposición [( p → ¬ q ) → ( r ∧ ¬ s )] ∧ [ p ∧ (¬ r ∧ s )] es verdadera,
entonces es cierto que:
a) ( p ∨ q ) es falsa. d) q es falsa.
b) ( q ∧ s ) es verdadera. e) ( p ∧ ¬ r ) es falsa.
c) [( r ∨ s ) ∧ q ] es falsa.
RESPUESTA= b
- Sean las proposiciones simples:
a : Te gustan las matemáticas.
b : Te gusta este deber.
Traduzca las siguientes proposiciones compuestas al lenguaje común: a) ¬ a ∨ b b) a ∧ ¬ b c) a → b d) ¬ b → ¬ a e) ( a ∨ ¬ a ) → b
- Dadas las proposiciones simples: Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Si estoy enfermo, necesito un doctor; y si tengo un accidente, necesito un abogado”, es:
p : Necesito un doctor.
q : Necesito un abogado.
r : Tengo un accidente.
s : Estoy enfermo.
a) ( s → p ) ∧ (¬ r → q ) d) ( s ∨ p ) ∧ ( r → q ) b) ( s → p ) ∧ ( r → q ) e) ( s → p ) ∧ ( r ∧ q ) c) ( s ∧ p ) ∧ (¬ r → q ) RESPUESTA= b
- Dadas las proposiciones simples:
a : Luis llega a tiempo.
b : Luis se levanta temprano.
c : Luis desayuna.
Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Para que Luis desayune y llegue a tiempo es necesario que se levante temprano”, es: a) c → ( a ∧ b ) d) ( c ∧ a ) → b b) ( a ∧ b ) → c e) ( c → b ) ∧ a c) a → ( b ∧ c ) RESPUESTA= d
- Dadas las proposiciones simples:
m : Se realiza una gran fiesta.
n : Hago bien este deber.
p : Mis amigos están de acuerdo.
Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Se realiza una gran fiesta sólo si hago bien este deber y mis amigos están de acuerdo”, es: a) ( n ∧ ¬ p ) → m d) m → ( n ∧ p ) b) ¬ p → ( m ∧ n ) e) ¬ m → ¬ ( n ∧ p ) c) ¬ ( n ∧ ¬ p ) ∨ m RESPUESTA= d
- Dadas las proposiciones simples:
p : Estudio Historia.
q : Estudio Geografía.
r : Estudio Matemáticas.
Empleando tablas de verdad, identifique una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Si estudio Historia o Geografía, entonces estudio Matemáticas”. a) ( p → r ) ∧ ( q → r ) d) ¬ r → ( p ∧ q ) b) ¬ p → ( q ∧ r ) e) q → (¬ p ∧ r ) c) ( p → r ) ∧ ¬ q RESPUESTA= a
37. Si la proposición [( a ∧ ¬ b ) → d ] ∨ ¬ ( d ∨ e ) es falsa, entonces es verdad que:
a) ( b v a ) es falsa.
b) (¬ e v¬ d ) es falsa.
c) ( d v a ) es falsa.
d) ( a → d ) es falsa.
e) ( e → a ) es falsa.
RESPUESTA=d
38. Si p → q representa una proposición falsa, determine el valor de verdad de
las siguientes proposiciones:
a) p v ¬( ¬ q ∧¬ p )
b) ¬ q ∧ ¬ p
c) ( p ∧ q ) ∨ (¬ p → q )
d) ¬(p ∧ q ) → ¬ ( p ∨ q )
e) ( p ∧ ¬ q ) ∧ ¬ ( q ∧ ¬ p )
- Identifique las proposiciones simples, los operadores lógicos presentes y traduzca al lenguaje formal las proposiciones dadas: a) Si un número es divisible para dos, no es primo.
41. Si ¬ ( p ∧ q ) es una proposición falsa, determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
a) p ∨ ¬ (¬ q ∧ ¬ p )
b) ¬ q ∧ ¬ p
c) ( p ∧ q ) ∨ (¬ p → q )
d) ¬ ( p ∧ q ) → ¬ ( p ∨ q )
e) ( p ∧ ¬ q ) ∨ ¬ ( q ∧ ¬ p )
RESPUESTA= b
1.4 Formas proposicionales
Para los dos ejercicios siguientes, considere que f ( p , q , r ) representa una
forma proposicional de tres variables.
42. Si la forma proposicional f ( p , q , r ) es tautológica, entonces f (0, 0, 0) es
una proposición falsa. a) Verdadero b) Falso
43. Si la forma proposicional f ( p , q , r ) es una contradicción, entonces f (1, 1, 1)
es una proposición verdadera. a) Verdadero b) Falso
Para el siguiente ejercicio considere que f ( p , q , r , s ) representa una forma
proposicional de cuatro variables.
44. Si la forma proposicional f ( p , q , r , s ) es una contradicción, entonces
[ f (1,0,1,1) → f (0,1,0,0)]= 0.
a) Verdadero b) Falso
45. Si p , q y r son variables proposicionales, entonces ¬ p → ( q ∨ ¬ r ) es una
contradicción. a) Verdadero b) Falso
46. Si p , q y r son variables proposicionales, entonces
[(¬ p ∨ q ) ∧ (¬ r → q )] → ( p → r ) es una forma proposicional tautológica.
a) Verdadero b) Falso
- Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica: a) (¬ q → ¬ p ) → (¬ p ∨ q ) d) ( p → q ) → ( q → p ) b) ( p ∨ q ) → (¬ p → q ) e) [( p ∧ q ) ∧ r ] → [( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r )] c) [( p → q ) ∧ p ] → q
- Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica:
a) ( p ∨ q ) → ( ¬ p → q )
b) [( p → r ) ∧ ( q → r )] → [( p ∧ q ) → r ]
c) [( p ∨ q ) ∧ ¬ p ] → q
d) [(¬ q → ¬ p )] → ¬ q
e) [( p → q ) ∧ ( q → r )] → ( p → r )
51. Si p y q son dos formas proposicionales tautológicas, entonces es verdad
que:
a) p → q no es una forma proposicional tautológica
b) p ∨ ¬ p es una contradicción
c) q → ¬ p es una contingencia
d) p ∧ q es una forma proposicional tautológica
e) q → ¬ p no es una contradicción
1.5 Propiedades de los operadores lógicos
- Empleando álgebra proposicional, identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica. a) [( p → q ) ∧ ( r → s )] → [( p ∧ r ) → ( q ∧ s )] b) [ p ∧ ( p → q )] → q c) [( p → q ) ∧ ( q → r )] → ( p ∧ r ) d) [( p → q ) ∧ p ] → q e) ( p → 0) → ¬ p RESPUESTA= c No es tautológica.
- Empleando álgebra proposicional, identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es una tautología. a) ¬ ( p ∨ q ) → (¬ p ∨ ¬ q ) b) (¬ p ∧ ¬ q )→ ¬ ( p ∨ q ) c) ¬ (¬ p ∧ ¬ q ) ∨ ¬ q d) [¬ p ∧ (¬ p ∨ q )] ∨ p e) [ p ∧ ( p ∨ q )] → q RESPUESTA= es la e
55. Considere las variables proposicionales p , q y r. Empleando álgebra
proposicional, determine si la forma proposicional ( p → q ) ∧ ¬ ( q → r ) es
tautología, contradicción o contingencia.
- Demuestre que la siguiente forma proposicional es tautológica.
[( p → q ) → r ] → [ p → ( q → r )]
- Empleando álgebra proposicional, determine si las siguientes formas proposicionales son tautología, contradicción o contingencia. a) ( r ∧ s ) ∨ ¬ s d) ( p ∧ q ) ∧ ( p → ¬ q ) b) ( p → q )→ ( q → ¬ p ) e) ( p ∨ q ) → [ p ∨( ¬ p ∧ q )] c) ¬ p → ( p ∧ q )
