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Asignatura: Electrònica Analògica 2, Profesor: Herminio Martinez, Carrera: Enginyeria Electrònica Industrial i Automàtica, Universidad: UPC
Tipo: Apuntes
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Departamento de Ingeniería Electrónica U.E. de Electrónica Industrial Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Barcelona (EUETIB)
____________________________________________________________________________________
5.1.- Introducción.
Aunque en aplicaciones como son las de alta frecuencia, o cuando se requiere simplificar al máximo la circuitería en un sistema electrónico, los filtros pasivos son empleados, no es lo habitual en la mayoría de los equipos, especialmente de baja frecuencia, cuando se requiere la utilización de un determinado filtro analógico. Ello es debido, entre otros aspectos, a la falta de ganancia, y al empleo de inductancias que conllevan los problemas ya conocidos de las mismas: efectos parásitos importantes, dispersión del flujo magnético, precisión insuficiente (es decir, tolerancias excesivas), peso, volumen y precio en algunos casos importantes, etc. En este capítulo se estudiarán las células de filtrado activas de primer y segundo orden.
La fácil interconexión en cascada de dichas células básicas (con efectos de carga entre ellas mínimos), gracias a la utilización de amplificadores operacionales, hace que estas celdas sean los bloques funcionales básicos empleados para el diseño de filtros de orden superior. De ahí la importancia del estudio de las mismas. A continuación veremos las celdas simples de primer orden, para posteriormente estudiar las de segundo orden.
5.2.- Células Activas de Primer Orden.
Obsérvese que el hecho de añadir en las células RC del apartado anterior un amplificador operacional para independizar las células, cuando éstas están conectadas en cascada, o para no tener efectos de la carga sobre las mismas, lleva a considerar la realización de células RC de primer orden con ganancia; es decir, células activas , donde gracias al amplificador operacional y algunos componentes del filtro (generalmente resistores), podemos ajustar la ganancia K de la función de transferencia.
En efecto, la célula activa pasa–bajos de primer orden más simple alrededor de un amplificador operacional está formada, además de por éste, por una resistencia de entrada, y otra en el lazo de realimentación junto con un condensador en paralelo con ella, tal y como muestra la figura 5.1.
v (^) out ( t )
+ (^) OA 1
R 1
vin ( t )
C 2
R 2
Fig. 5.1.- Célula activa pasa–bajos de primer orden.
____________________________________________________________________________________
5.3.- Células Activas Pasa–Bajos y Pasa–Altos de Segundo
Orden con Bajo Factor de Calidad.
La forma más sencilla de obtener filtros de segundo orden consiste en conectar dos células de primer orden en cascada. En efecto, añadiendo dos células idénticas como la representada en la figura 5.1, se obtiene un filtro pasa–bajos (figura 5.3) con una función de transferencia de segundo orden dada por:
( )
2 2 2 (^1 2 2 2 )
H s R (^) R C s R C s
+ (^) OA 1
R 1
vin ( t )
C 2
R 2
vout ( t )
+ (^) OA 2
R 1
C 2
R 2
Fig. 5.3.- Filtro activo pasa–bajos de segundo orden formado a partir de dos células de primer orden.
Esta función determina una frecuencia natural ω O que viene dada por la frecuencia de corte de las células de primer orden:
2 2
y una ganancia K a frecuencias elevadas de valor:
2 2 1
Obsérvese que, además, el factor de calidad Q del filtro de segundo orden que obtenemos es igual a ½:
____________________________________________________________________________________
La figura 5.4 muestra las curvas de Bode de una célula de primer orden y la del filtro compuesto por dos de estas células en cascada, formando un filtro pasa–bajos de segundo orden con factor de calidad de ½.
Fig. 5.4.- curvas de Bode de una célula de primer orden y la del filtro compuesto por dos de estas células en cascada, formando un filtro pasa–bajos de segundo orden con factor de calidad de ½.
De forma similar, añadiendo dos células idénticas como la representada en la figura 5.2, se obtiene un filtro pasa–altos (figura 5.5) con una función de transferencia de segundo orden dada por:
( ) ( )
(^2 ) 2 1 1 2 (^1 1 1 1 )
R^ R C s H s R (^) R C s R C s
+ (^) OA 1
R 1
vin ( t )
C 1
R 2
v (^) out ( t )
+ (^) OA 2
C 1^ R 1
R 2
Fig. 5.5.- Filtro activo pasa–altos de segundo orden formado a partir de dos células de primer orden.
Esta función determina una frecuencia natural ω O que viene también dada por la frecuencia de corte de las células de primer orden:
____________________________________________________________________________________
Considerando las dos células con constantes de tiempo iguales; es decir:
2 3 2 3
la función de transferencia se simplifica a:
( ) ( )
4 2 2 (^2 ) (^1 2 2 2 )
R R C s H s R (^) R C s R C s
determinando una frecuencia natural o central ω O que viene también dada por la frecuencia de corte de las células de primer orden:
2 2
y una ganancia K a frecuencias medias de valor:
4 1
Obsérvese que, además, el factor de calidad Q del filtro de segundo orden que obtenemos es igual a ½:
La estructura de la figura 5.6 puede compactarse, con un único amplificador operacional, tal y como puede apreciarse en la figura 5.7.
v (^) in ( t )
C 2
vout ( t )
+ (^) OA 1
C 1 R 1
R 2
Fig. 5.7.- Célula activa pasa–banda de segundo orden.
En este caso, la función de transferencia del circuito es:
____________________________________________________________________________________
( ) ( )
2 1 1 (^2 ) (^1 1 1 2 2 1 1 2 )
R R C s H s R (^) R C R C s R C R C s
Considerando las dos células pasa–bajos y pasa–altos con constantes de tiempo iguales; es decir:
R 1 (^) C 1 (^) = R C 2 2
la función de transferencia del circuito queda:
( ) ( )
2 1 1 (^2 ) (^1 1 1 1 )
R R C s H s R (^) R C s R C s
y la frecuencia natural o central ω O viene también dada por:
1 1
O R C
la ganancia K a frecuencias medias de valor:
y un factor de calidad Q del filtro igual a ½:
Con el siguiente circuito puede diseñarse también un filtro pasa–banda para aplicaciones en banda ancha. En efecto, considerando el valor del resistor R 1 diferente del de R 2 y el valor del condensador C 1 diferente del de C 2 , tenemos que la función de transferencia H ( s ) de segundo orden:
( ) ( )
2 1 1 (^2 ) (^1 1 1 2 2 1 1 2 )
R R C s H s R (^) R C R C s R C R C s
puede ser descompuesta en tres factores (funciones parciales) de primer orden:
2 1 1 1 2 2 1 1
R R C s H s R R C s R C s
El primero (relación – R 2 / R 1 ) es simplemente una ganancia. No obstante, el segundo de los factores es una función de transferencia pasa–bajos, mientras que el tercero es una función pasa–altos.
____________________________________________________________________________________
Este importante destacar que este tipo de filtros es ampliamente utilizado, por ejemplo, en aplicaciones de audio, donde se desea amplificar las señales correspondientes a la banda de audio (comprendida entre unos 20 Hz a unos 20 kHz , aproximadamente), impidiendo el paso o atenuando aquellas componentes que estén por debajo de las mismas, como son posibles niveles de DC, o aquellas que estén por encima del margen audible.
A la vista de todos los resultados obtenidos previamente, obsérvese un punto importante: el factor de calidad conseguido en los filtros de segundo orden realizados a partir de células de primer orden es siempre igual o inferior a ½. Esto limita de forma importante la utilización de los mismos en aplicaciones donde ser requiere alta selectividad; es decir, en sistemas donde se necesiten elevados factores de calidad. Es por ello que, aunque las anteriores estructuras pueden ser utilizadas, en la práctica se usan células de segundo orden con mayor grado de flexibilidad, que permitan conseguir factores de calidad superiores a ½. Las tres posibilidades más utilizadas son:
¾ Filtros con topología de Rauch (filtros con realimentación múltiple). ¾ Filtros con topología de Sallen y Key (filtros KRC o VCVS). ¾ Filtros activos universales (UAF).
Los dos primeros grupos (Rauch y Sallen–Key) forman parte de las estructuras denominadas en general ‘ filtros activos bicuadráticos con un único amplificador operacional ’, ‘ single–amplifier biquadratic active filters ’ o, simplemente, ‘ single– amplifier biquads ’ ( SABs ).
Podemos decir que la síntesis de estas tres alternativas circuitales está basada en la utilización de la realimentación para mover los polos de las redes RC en el plano complejo s , desde el eje real negativo hasta conseguir polos complejos conjugados, que proporcionen factores de calidad suficientemente elevados.
En los siguientes apartados estudiaremos estos tres grupos de estructuras de filtrado, ampliamente utilizadas en la práctica en multitud de sistemas electrónicos.
5.5.- Filtros con Topología de Rauch (Filtros con
Realimentación Múltiples).
Los filtros de Rauch, conocidos también como ‘ filtros MFB ’ ( Multiple Feed– Back Filters ) o ‘ filtros con realimentación múltiple ’, son circuitos que constan de un amplificador operacional más una red pasiva formada por condensadores y resistores. La estructura genérica, compuesta por admitancias, se muestra en la figura 5.9. El nombre viene dado por el hecho de que existen dos lazos de realimentación desde la salida hasta la red pasiva, a través de las admitancias Y 4 ( s ) e Y 5 ( s ).
____________________________________________________________________________________
vin ( t ) (^) vout ( t )
+ (^) OA 1
Y 4 ( s )
Y 1 ( s ) Y 3 ( s )
Y 2 ( s )
Y 5 ( s )
Fig. 5.9.- Estructura circuital genérica de la topología de Rauch, a partir de la cual se obtienen los filtros pasa–bajos, pasa–altos y pasa–banda.
A partir de esta estructura genérica, se obtienen los filtros pasa–bajos, pasa–altos y pasa–banda. Los filtros de Rauch en general son aptos para factores de calidad inferiores, aproximadamente, a 20. En efecto, cuando con estas topologías se desean factores de calidad excesivamente elevados, la estabilidad del circuito queda peligrosamente comprometida.
Analizando el circuito, la función de transferencia H ( s ) del mismo está dada por la expresión:
( )
( ) ( ) ( )
1 3 5 1 2 3 4 3 4
out in
V s (^) Y Y H s V s Y Y Y Y Y Y Y
En función de la naturaleza (resistiva, capacitiva o –menos frecuente– inductiva) de cada una de las cinco admitancias Y 1 ( s ) a Y 5 ( s ) del circuito, pueden obtenerse las tres configuraciones típicas: pasa–bajos, pasa–altos y pasa–banda.
La función de transferencia pasa–bajos se obtiene a partir de tres resistores y dos condensadores, tal y como muestra el circuito de la figura 5.10.
v (^) out ( t ) v (^) in ( t ) C (^1) OA 1
+
R
R C^2 R
Fig. 5.10.- Filtro pasa–bajos de segundo orden con topología de Rauch.
Analizando el circuito, o sustituyendo las diferentes admitancias Y 1 ( s ) a Y 5 ( s ) de la función de transferencia genérica por los correspondientes valores ( R , C 1 y C 2 ) de la figura 5.10, la función de transferencia obtenida es:
____________________________________________________________________________________
( )
( ) ( )
2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 1
out in
V s (^) R R C s H s V s R R C s R C s
Comparando esta función con la función de transferencia canónica de un filtro pasa–altos de 2º orden:
( )
( ) ( )
2
out O in O O
s V s H s K V s (^) s s Q
la frecuencia natural ω O del mismo viene dada por:
1 2
O C R R
el factor de calidad Q por:
2 1
y la ganancia K ’ a frecuencias elevadas es igual a la ganancia de la etapa amplificadora:
Finalmente, el filtro pasa–banda con topología de Rauch se muestra en la figura 5.12.
R 2 OA 1
-
+ vout ( t )
vin ( t )
R 1 C
C R 3
Fig. 5.12.- Filtro pasa–banda de segundo orden con topología de Rauch.
Como en los casos anteriores, analizando el circuito, o sustituyendo las diferentes admitancias Y 1 ( s ) a Y 5 ( s ) de la función de transferencia genérica por los correspondientes valores de la figura 5.12, la función de transferencia obtenida es ahora:
____________________________________________________________________________________
( )
( ) ( )
2 3 1 2 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2
out in
C s V s (^) R R H s V s R^ R^ R^ R^ R C s C s R R R R
Comparando esta función con la función de transferencia canónica de un filtro pasa–banda de 2º orden:
( )
( ) ( ) 2
out O in O O
s V s H s K V s (^) s s Q
la frecuencia natural ω O del mismo (frecuencia central) viene dada por:
1 2 1 2 3
O
ω
el factor de calidad Q vale:
3 (^1 2 ) 1 2
y, además, la ganancia K ’ a frecuencias medias:
( )
2 3 1 1 2
5.6.- Filtros con Topología de Sallen y Key (Filtros KRC o
VCVS).
Los filtros de Sallen–Key también se denominan ‘ filtros KRC ’ (porque constan en general de una ganancia K , resistencias R y condensadores C ) o ‘ filtros VCVS ’ ( Voltage–Controlled Voltage Source ). La estructura circuital genérica de las topologías de Sallen–Key, a partir de la cual se obtienen los filtros pasa–bajos, pasa–altos y pasa– banda, se basa en una etapa de ganancia K y una red pasiva formada por cinco admitancias, Y 1 ( s ) a Y 5 ( s ) en la figura 5.13. De forma similar a los filtros con estructura de Rauch, los de Sallen–Key son aptos para factores de calidad aproximadamente inferiores a 20.
____________________________________________________________________________________
+ (^) OA 1
R 1
R 2
vout ( t ) vin ( t )
+ (^) OA 1 vout ( t ) vin ( t )
( a ) ( b )
Fig. 5.15.- Realizaciones prácticas para conseguir la ganancia K. ( a ) Seguidor o buffer de tensión (ganancia unitaria). ( b ) Amplificador no inversor de tensión con ganancia (1+ R 2/ R 1). Obsérvese que la etapa amplificadora no suministra cambio de signo alguno.
En función de la naturaleza (resistiva, capacitiva o inductiva) de cada una de las cinco admitancias Y 1 ( s ) a Y 5 ( s ) del circuito, pueden obtenerse las tres configuraciones típicas: pasa–bajos, pasa–altos y pasa–banda. En efecto, la función de transferencia pasa–bajos se obtiene a partir de dos resistores y dos condensadores, tal y como muestra el circuito de la figura 5.16.
vout ( t )
K
R 2
C 2
C 1
R 1
vin ( t )
Fig. 5.16.- Filtro pasa–bajos de segundo orden con topología de Sallen–Key.
Analizando el circuito, o sustituyendo las diferentes admitancias Y 1 ( s ) a Y 5 ( s ) de la función de transferencia genérica por los correspondientes valores de la figura 5.16, la función de transferencia obtenida es:
( )
( ) ( ) ( 1 2 1 2 ) 2 2 ( 1 2 ) 1 1 ( )
out in
V s H s K V s R R C C s C R R R C K s
Obsérvese que comparando esta función con la función de transferencia canónica de un filtro pasa–bajos de 2º orden:
( )
( ) ( ) 2
out in O O
V s H s K V s (^) s s
____________________________________________________________________________________
la frecuencia natural ω O del mismo viene dada por:
1 2 1 2
O R R C C
el factor de calidad Q :
(^1 2 2 2) ( ) 1 1 2 1 1 1 2 2
y la ganancia K ’ a frecuencias nulas es igual a la ganancia de la etapa amplificadora:
Suponiendo que las resistencias R 1 y R 2 del circuito son iguales, de valor R , y así mismo los condensadores C 1 y C 2 también iguales, de valor C , las expresiones anteriores se reducen a una frecuencia central ω O expresada como:
un factor de calidad Q :
y la ganancia K ’ a frecuencias nulas es igual a la ganancia de la etapa amplificadora:
Es importante destacar que si la constante K es igual o superior a 3, el circuito será inestable.
Por otro lado, el filtro pasa–altos con topología de Sallen–Key se muestra en la figura 5.17.
____________________________________________________________________________________
de valor C , las expresiones anteriores se reducen a una frecuencia central ω O expresada como:
un factor de calidad Q :
y la ganancia K ’ a frecuencias nulas es igual a la ganancia de la etapa amplificadora:
Finalmente, el filtro pasa–banda con topología de Sallen–Key se muestra en la figura 5.18.
vin ( t ) vout ( t )
K
C 2
R 3
R 2 R 1
C 1
Fig. 5.18.- Filtro pasa–banda de segundo orden con topología de Sallen–Key.
Como en los casos anteriores, analizando el circuito, o sustituyendo las diferentes admitancias Y 1 ( s ) a Y 5 ( s ) de la función de transferencia genérica por los correspondientes valores de la figura 5.18, la función de transferencia obtenida es ahora:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 (^2 1 ) 1 1 2 1 3 2 3 1 1 2 3 1 2
out in
s V s (^) R C H s K V s K (^) R R s s R C R C R C R C R R R C C
Comparando esta función con la función de transferencia canónica de un filtro pasa–banda de 2º orden:
( )
( ) ( ) 2 2
out (^) ' O in O O
V s (^) s H s K V s (^) s s Q
____________________________________________________________________________________
la frecuencia natural ω O del mismo (frecuencia central) viene dada por:
1 2 1 2 3 1 2
O
el factor de calidad Q puede determinarse a partir de:
( ) 1 1 2 1 3 2 3 1
y, además, se cumple:
1 1
Suponiendo, como en el filtro pasa–bajos, que las resistencias R 1 y R 2 del circuito son iguales, de valor R , y asimismo los condensadores C 1 y C 2 también iguales, de valor C , las expresiones anteriores se reducen a una frecuencia central ω O expresada como:
O R C
un factor de calidad Q :
y la ganancia K ’ a frecuencias medias es igual a la ganancia de la etapa amplificadora:
Obsérvese que en estas tres últimas expresiones, existe un factor 2 que no aparece en las estructuras pasa–bajos y pasa–altos.
