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Medicina y Bachillerato Matemática Avanzada - FMM 007
SOLEMNE III
Martes 11 de Junio del 2019
[ 1. Evaluar la integral
R
2
3
f (x)dx, si
f (x) =
(1 x)
3 x < 0
4 x
2 0 x < 1
2 x
3
p
2+x
2
x 1
Solución:
Z
2
3
f (x)dx =
Z
0
3
(1 x)
3
dx +
Z
1
0
4 x
2
dx +
Z
2
1
2 x
3
p
2 + x
2
dx
(1 x)
4
0
3
x
3
1
0
p
(2 + x
2 )
3 4
p
2 + x
2
2
1
p
p
p
p
[ 2. Calcule la siguiente integral,utilizando algún método de integración visto en clases
Z
ln
2 x
x
3
dx
Solución: Utilizando método de integración por partes:
u = ln
2 x dv = x
3 dx
du =
2
x
ln xdx v =
1
2 x
2
Z
ln
2
x
x
3
dx =
2 x
2
ln
2 x +
Z
x
3
2 ln xdx
2 x
2
ln
2 x +
Z
x
3
ln xdx
u = ln x dv = x
3 dx
du =
1
x
dx v =
1
2 x
2
Z
ln
2 x
x
3
dx =
2 x
2
ln
2 x +
Z
x
3
ln xdx
2 x
2
ln
2 x +
2 x
2
ln x +
Z
x
3
dx
2 x
2
ln
2
x +
2 x
2
ln x
2 x
2
2 x
2
ln
2
x
2 x
2
ln x
4 x
2
“Concéntrate y confía en tus capacidades” Prof. Ligia González
Margarita López
Ü
- 3
353
→ 153
f. ¡
fin
=
Ju
{
"
l
"
✗2)^ dx +
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"
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lt
(
" ✗
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253
↓
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2546--
¥
H%
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×
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4 × 1
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ÉfˢÉ
ln4¿÷
flnlxl
dx
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I
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¥
%
[ ¥:^
f:*]
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E
¥
→
k¥+ ;
Medicina y Bachillerato Matemática Avanzada - FMM 007
[ 3. Utilizando fracciones parciales, encuentre los valores de a,b 2 R de modo que:
Z
5
2
5 x
2
x
3 2 x
2
dx = ln a + b
Solución: Utilizando descomposición en fracciones parciales:
5 x
2
x
3 2 x
2
5 x
2
x(x 1)
2
A
x
B
x 1
C
(x 1)
2
5 x
2
2
si x = 0 )A = 2,
si x = 1) C = 9
si x = 2) B = 3.
Finalmente:
Z
5
2
5 x
2
x
3 2 x
2
dx = 2
Z
5
2
x
dx + 3
Z
5
2
x 1
dx + 9
Z
5
2
(x 1)
2
dx
2 ln |x| + 3 ln |x 1 |
x 1
5
2
= (2 ln 5 + 3 ln 4
) (2 ln 2 + 3 ln 1 9)
= 2 ln 5 + 3 ln 4
2 ln 2 0 + 9
= 2 ln 5 + 3 ln 2
2
2 ln 2 +
= ln(
2
· 2
4
) +
= ln 400 +
Luego a=400 y b=
[ 4. a) Calcule el area de la región limitada por la parábola y = 2
x
2
2
y la recta y = 1
x
2
entre x = 0 y x = 4.
Grafique el área a calcular.
Solución:
Los puntos de intersección entre las curvas:
x
2
x
4 x
2 = 2 x
x
2
x 2 = 0
(x 2)(x + 1) = 0
x = 1 y x = 2
El area viene dada por:
A =
Z
2
0
x
2
x
)dx +
Z
4
2
x
x
2
)dx
Z
2
0
x
2
x
)dx +
Z
4
2
x
x
2
)dx
= (x
x
3
x
2
2
0
x
2
x
3
4
2
= 6 u.a
“Concéntrate y confía en tus capacidades” Prof. Ligia González
Margarita López
- (^) lnlxl +^
ln
1 ×-
-9¥
|!
- 21h15 I
3 ln 141 -
9-
ln las
. (^64)
)
- (^) 21h12 I +^ 31h /
11-
ln
14 /^
_ (^) q
en /
I
ln /^
/ (^) +2¥
ln (^14001)
Y
Y
O =^ ✗
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,
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2
- 4-4 +^ 34s → - 8+343 ñ Es
→ 031-5/
= 43^
→ -3+4/3 =^
AT =^ Art^ -12=513+^
= 1%3= marea
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Figura 1: Área a calcular
b) Plantee ,la integral para determinar el volumen del solido generado al rotar la región limitada por la parábola
y = 2
x
2
2
y la recta y = 1
x
2
, x 2 [0, 2] en torno al eje x.
Solución:
V = ⇡
Z
2
0
[(2
x
2
2 (1
x
2 ]dx
Dispone de 1 hora y 30 minutos
Se permite el uso de la calculadora
Sin Consultas
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Margarita López
