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MATEM ´ATICAS III
Certamen Global
7 de junio de 2023
DATOS PERSONALES:
Apellido Paterno Apellido Materno Nombres
Rut Rol Firma
Paralelo Nombre del Profesor
INDICACIONES GENERALES:
Tiempo 70 minutos.
Escriba con l´apiz pasta o tinta. Los desarrollos con l´apiz grafito no tienen derecho a apelaci´on.
Escriba con claridad y justifique cada uno de sus desarrollos.
No est´a permitido el uso de calculadoras, celulares ni hojas adicionales.
Quienes sean sorprendidos cometiendo actos de deshonestidad acad´emica tendr´an nota 0 en esta prueba.
CALIFICACI ON:´
PREGUNTA
P1 P2 P3 CALIFICACI ON´ (20 Pts.) (40 Pts.) (40 Pts.) CERTAMEN
PUNTAJE
Departamento de Matem´atica
Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Certamen Global - MAT
P1) [ 30 Pts.] Sea f (x, y, z) = x^2 y + y^2 z − z^2 xy.
(a) (10 pts.) Determine el gradiente de f en el punto (1, 1 , 1).
(b) (10 pts.) Determine la derivada direccional de f en el punto (1,1,1) , en la direcci´on del vector ˆv = (1, − 1 , 1).
(c) (10 pts.) Considere la superficie S : f (x, y, z) = 1. Determine la ecuaci´on de la recta normal a S en el punto (1,1,1).
soluci´on:
Observar que f es de clase C ∞ en R 3 .
(a) fx(x, y, z) = 2 xy − yz^2
fy(x, y, z) = x^2 + 2yz − xz^2
fz (x, y, z) = y 2 − 2 xyz
⇒ ∇f (1, 1 , 1) = (1, 2 , −1)
(b) Considerar ~u =
~v
‖~u‖
(1, − 1 , 1). La derivada direccional en el punto (1, 1 , 1) en la
direci´on del vector ~v es
∂f
∂~u
(1, 1 , 1) = ∇f (1, 1 , 1) ·
(c) El vector director de la recta normal a S en el punto (1, 1 , 1) es ∇f (1, 1 , 1).
La ecuaci´on de la recta normal es
(x, y, z) = (1, 1 , 1) + t ∇f (1, 1 , 1) = (1, 1 , 1) + t(1, 2 , −1) , t ∈ R
o equivalentemente
x − 1
1
y − 1
2
1 − z
1
Departamento de Matem´atica Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa
Certamen Global - MAT
P3) Sea f (x, y) = 2x 3
a) (20 pts.) Determine los puntos cr´ıticos de f.
b) (20 pts.) Clasifique los puntos cr´ıticos de f en m´aximos, m´ınimos o puntos de silla.
soluci´on:
Puntos cr´ıticos.
∇f (x, y) = (0, 0) ⇔
6 x 2
12 xy − 12 y = 0
⇒ 12 y(x − 1) = 0 ⇒ y = 0 ∨ x = 1
Si y = 0 ⇒ 6 x 2 − 12 x = 0 ⇔ 6 x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
Y se tienen los puntos P 1 = (0, 0) y P 2 = (2, 0).
Si y 6 = 0 → x = 1.
Reemplazando:
6 + 6y 2 − 12 = 0 ⇒ 6 y 2 = 6 ⇒ y = 1 ∨ y = − 1
Y se tienen los puntos P 3 = (1, 1) y P 4 = (1, −1).
Criterio de la matriz Hessiana.
Hf (x, y) =
12 x − 12 12 y
12 y 12 x − 12
Evaluando en los puntos cr´ıticos se tiene:
En (0,0):
Hf (0, 0) =
se cumple H 1 = − 12 < 0 ∧ H 2 = 144 > 0
En (0,0) hay un m´aximo local.
En (2,0):
Hf (2, 0) =
se cumple H 1 = 12 > 0 ∧ H 2 = 144 > 0
En (2,0) hay un m´ınimo local.
En (1,1):
Hf (1, 1) =
se cumple |Hf (1, 1)| = − 144 > 0
En (1,1) hay un punto silla.
En (1,-1):
Hf (1, −1) =
y |Hf (1, −1)| = − 144
En (1, −1) hay un punto silla.
