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BÁSICAS
Apuntes de
matemática
básica
Fondo blanco
Margarita Torri jos
© Universidad Católica de Colombia
© Margarita Torrijos
Primera edición, Bogotá, D. C. Diciembre de 2018
Dirección Editorial Stella Valbuena García
Coordinación Editorial María Paula Godoy Casasbuenas
Corrección de estilo María del Pilar Hernández Moreno
Diseño de colección Juanita Isaza
Diagramación LATEX Margoth Hernández Quitián
Publicación digital Hipertexto Ltda. www.hipertexto.com.co Bogotá, D. C., Colombia
Impresión Xpress Estudio Gráfico y Digital S. A. Bogotá, D. C., Colombia
Departamento de Ciencias Básicas Diagonal 45A # 15B-10, sede Claustro, bloque U Teléfono: (571) 327 7300 ext. 3000, 3002, 3003 y 3007 Bogotá, D. C. [email protected]
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Hecho el depósito legal © Derechos reservados
Torrijos, Margarita Apuntes de matemática básica / Margarita Torrijos.— Bogotá : Universidad Católica de Colombia, 2018 182 páginas; 20 x 24 cm ISBN: 978-958-5456-40-2 (impreso) ISBN: 978-958-5456-39-6 (digital)
I. Título
- Matemáticas 2. Álgebra 3. Funciones 4. Trigonometría 5. Ecuaciones
Dewey 510. SCDD ed. 21
ÍNDICE GENERAL
- TEORÍA DE NÚMEROS
- 1.1. Orden jerárqui o de las op era iones
- 1.2. Estrategias para aproximar números reales
- 1.3. Mínimo omún múltiplo y máximo omún divisor (MCM)
- 1.4. Números primos
- 1.5. Números ompuestos
- 1.6. Plano artesiano
- 1.6.1. Distan ia entre dos puntos en el plano artesiano
- 1.6.2. Co ordenadas del punto medio
- 1.7. Conjuntos
- 1.7.1. Diagramas de Venn
- 1.7.2. Sub onjuntos
- 1.7.3. Unión de onjuntos
- 1.7.4. Interse ión de onjuntos
- 1.7.5. Complemento de un onjunto
- 1.7.6. Diferen ia
- 1.7.7. Diferen ia simétri a
- 1.8. Propiedades de las op era iones entre onjuntos
- 1.9. Valor absoluto
- 1.9.1. Propiedades del valor absoluto
- 1.9.2. Distan ia entre dos números en la re ta numéri a
- 1.9.3. E ua iones lineales on valor absoluto
- 1.10. Poten ia ión, radi a ión y logaritma ión
- 1.10.1. Exp onentes y radi ales
- 1.11. Nota ión ientí a
- 1.11.1. Regla de es ritura de un número en nota ión ientí a
- 1.12. Equivalen ia entre radi ales y exp onentes iv ÍNDICE GENERAL
- 1.13. Radi ales equivalentes
- 1.14. Mo di a ión de expresiones radi ales
- 1.15. Op era iones on radi ales
- 1.15.1. Radi al de un pro du to
- 1.15.2. Radi al de un o iente
- 1.15.3. Poten ia de un radi al
- 1.15.4. Radi al de un radi al
- 1.16. Suma de radi ales
- 1.17. Ra ionaliza ión
- 1.18. Logaritma ión
- 1.18.1. Propiedades
- 1.18.2. Ejer i ios del apítulo: traba jo indep endiente
- 1.18.3. Apli a ión on Te nología
- ÁLGEBRA
- 2.1. Polinomios
- 2.1.1. Multipli a ión de binomios
- 2.1.2. Multipli a ión de p olinomios
- 2.1.3. División de un p olinomio entre un monomio
- 2.1.4. Fórmulas del pro du to
- 2.2. Fa toriza ión
- 2.2.1. Fa toriza ión de p olinomios de segundo grado
- 2.3. Expresiones ra ionales
- 2.4. Fra iones par iales
- 2.4.1. Caso 1: fa tores lineales distintos en el denominador
- 2.4.2. Caso 2: fa tores lineales rep etidos en el denominador
- 2.4.3. Caso 3: fa tores uadráti os irredu tibles, distintos en el denominador
- 2.4.4. Caso 4: fa tores uadráti os irredu tibles rep etidos en el denominador
- ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
- 3.1. E ua iones lineales
- 3.1.1. Indi a iones para resolver problemas apli ados
- 3.2. E ua iones uadráti as
- 3.2.1. Méto dos para dar solu ión a una e ua ión uadráti a
- 3.3. Solu iones de una e ua ión uadráti a
- 3.4. Otros tip os de e ua iones
- FUNCIONES
- 4.1. Representa ión grá a de fun iones
- 4.2. Fun ión identidad, parte entera y valor absoluto
- 4.3. Op era iones on fun iones
- 4.4. Fun ión lineal
- 4.5. Representa ión de la fun ión lineal ÍNDICE GENERAL v
- 4.5.1. E ua ión de la re ta
- 4.5.2. Mo delado de la fun ión lineal
- 4.6. Fun ión uadráti a
- 4.7. Máximos y mínimos de una fun ión uadráti a
- 4.7.1. Mo delado de la fun ión uadráti a
- 4.8. Fun ión exp onen ial base a
- 4.9. Fun ión exp onen ial base e
- 4.10. Fun ión logaritmo (Base a)
- 4.10.1. Propiedades
- 4.10.2. E ua iones on logaritmos
- 4.11. Mo delado de las fun iones exp onen ial y logarítmi a
- TRIGONOMETRÍA
- 5.1. Sistema de medi ión de ángulos
- 5.2. Conversión entre los sistemas sexagesimal y radial
- 5.3. Razones trigonométri as
- 5.4. Solu ión de triángulos re tángulos
- 5.5. Razones trigonométri as para ángulos esp e iales 30 ◦, 45 ◦ y 60 ◦
- 5.6. Identidades trigonométri as
- 5.7. Suma y resta de ángulos
- 5.8. Identidades de pro du tos
- 5.9. Ángulo doble
- 5.10. Demostra iones de identidades trigonométri as
- 5.11. E ua iones trigonométri as
- 5.12. Ley de los senos
- 5.13. Ley de los osenos
- 5.14. Fun iones trigonométri as
- 5.15. Grá as de las fun iones trigonométri as
- 5.15.1. Apli a ión on te nología
- BIBLIOGRAFÍA
vi i i ÍNDICE GENERAL
y e ua iones trigonométri as, y el manejo del lengua je y los símb olos matemáti os. El pre- sente texto bus a el aprendiza je autónomo de las matemáti as en los estudiantes, des rib e los ontenidos de la asignatura de una forma sen illa sin p érdida del rigor matemáti o ni des uido en la profundidad de los on eptos.
Además de ap oyar el traba jo presen ial, el texto p ermite que el estudiante omprenda, inter- prete y solu ione problemas en diferentes ontextos, el razonamiento lógi o, las estrategias meta ognitivas, el análisis, la representa ión, la abstra ión, el manejo de la informa ión y la oheren ia on el mundo p ermitiéndole la forma ión omo iudadano que prop one solu iones a los problemas on argumentos propios de las matemáti as, ultiva de forma p ermanente el autoaprendiza je y la autoforma ión, la auto evalua ión de sus errores y la ini iativa propia para sup erarlos, la búsqueda y re exión on sus pares sobre la forma de apropia ión del o- no imiento, las estrategias usadas en la solu ión de problemas, la re exión sobre el traba jo en equip o, y la imp ortan ia de este tip o de aso ia ión en el mo delo onstru tivista de la edu a ión.
El texto se en uentra dividido en in o apítulos: Teoría de los números, Álgebra, E ua- iones, Fun iones y Trigonometría. En el primer apítulo titulado Teoría de números, se muestran al estudiante los on eptos rela ionados on los números reales, las op era iones que se realizan on ellos y sus propiedades, se explora el on epto de onjunto, los intervalos y el valor absoluto; en el segundo apítulo denominado Álgebra, se muestran al estudiante las diferentes formas de traba jo on expresiones algebrai as y su apli a ión al desarrollo de diversas situa iones en ontexto que orresp onden al ter er apítulo, las E ua iones; el uar- to apítulo titulado Fun iones, presenta sus ara terísti as y su representa ión grá a; en el ultimo apitulo, Trigonometría, se traba jan los elementos de las fun iones trigonométri as y la forma omo estos temas se apli an a situa iones en ontexto on los teoremas del seno y el oseno y la resolu ión de triángulos.
El éxito en la asignatura dep ende del ompromiso y del traba jo del estudiante, p or eso es indisp ensable que invierta omo mínimo dos horas para el desarrollo de las a tividades extra lase de matemáti as que exige la prá ti a y la ejer ita ión de los temas vistos en las sesiones de lase, omo también asistir a tutorías y monitorías ofre idas p or el Departamento de Cien ias Bási as, además de los seminarios en las diferentes asignaturas.
UNO
TEORÍA DE NÚMEROS
¾Cómo puede ser que la matemáti a, siendo al n y al abo un produ to del pensamiento humano independiente de la experien ia, esté tan admirablemente adaptada a los objetos de la realidad? Alb ert Einstein
El onjunto de los números reales R se estable e omo resultado de un pro eso progresivo de apli a ión de los números que se utilizan normalmente para ontar, medir o expresar rela iones. Ejemplos de estas situa iones son:
i) Los números naturales (N) son el onjunto numéri o en el ual ada uno de sus ele- mentos se obtiene sumando 1 al elemento anterior. Sirven para ontar elementos.
i i ) Cal ular rela iones, prop or iones, et .:· · · 23 , 12 , 54 , · · · los números ra ionales, Q.
i i i ) Determinar el área de un ír ulo o la diagonal de un uadrado:
√ 2 , π,
√ 5 , e... De los números irra ionales y los ra ionales obtenemos los números reales, R^1.
(1) Ejer i ios de traba jo en lase
- ¾El resultado de la resta y el resultado de la división de números enteros es un número entero?
- ¾Es verdad que ualquier sub onjunto de números enteros siempre tiene un primer ele- mento? (^1) La forma de de nir los reales omo la unión de ra ionales on irra ionales es intuitiva y er ana a los estudiantes. Existe una de ni ión formal p or ortes o p or su esiones de Cau hy, que no se traba jará en este libro p orque impli a otro nivel de formalidad y profundidad.
1.2. ESTRATEGIAS PARA APROXIMAR NÚMEROS REALES 3
Si hay varios símb olos de agrupamiento omo paréntesis (), or hetes [] o , uno dentro de otro, primero se efe túan las op era iones dentro de ada agrupamiento.
Ejemplo 1.
Teniendo en uenta el orden jerárqui o observe los siguientes ejemplos.
a.
8 + 5 × 6 − 15 ÷ 3 8 + (5 × 6) − (15 ÷ 3) 8 + 30 − 5 = 33
b.
6 − [8 − (6 + 9)] 6 − [8 − (15)] 6 + 7 = 13
9 × 3 − 8 × (−2) 6 + 12 × 7
=
(9 × 3) − (8 × (−2)) [(6) + (12 × 7)]
=
[27 − (−16)] [24 + 84]
=
43 108
(2) Ejer i ios de traba jo en lase
Reali e los siguientes ejer i ios teniendo en uenta el orden jerárqui o de las op era iones
13. 15 − {4 + [− 5 − 4 + (2 − 3)] − 16 }
14. −4 + 5 − {3 + 4 − 5 − [7 + (6 + 4) − 7 − 6] + 4}
15. −1 + {5 + 4 − 3 − 7 + 1 − [5 + 8 − 7 − (7 + 8 + 6 − 9 − 23) − 5] + 3}
16. 5 + 4 − [5 − (6 + 5 − 8) + (9 − 1 + 4)]
1.2. Estrategias para aproximar números reales
Con fre uen ia se realizan aproxima iones en las op era iones realizadas on los números reales. Cuando los resultados son menores que los valores exa tos, se denominan aproxima- iones p or defe to, en aso ontrario se denominan aproxima iones p or ex eso.
4 1. TEORÍA DE NÚMEROS
Aproxima ión p or redondeo
Para realizar aproxima ión p or redondeo se deb en sustituir las ifras siguientes a la de orden n p or eros. En aso de que la primera ifra, que se ambia p or ero, sea mayor o igual a 5 la última de las no sustituidas p or ero se aumenta en uno; en aso ontrario, es de ir, si la primera ifra que es ambiada p or ero es menor a 5, la última de las ifras no sustituidas p or ero se mantiene igual.
Aproxima ión p or trun amiento
Para realizar aproxima ión p or trun amiento se deb en sustituir p or ero to das las ifras siguientes a la ifra del orden de trun amiento.
Ejemplo 1.
π = 3, 141592...
Aproxima ión de orden 3 p or redondeo: 3 , 142 Aproxima ión de orden 3 p or trun amiento: 3 , 141 Aproxima ión de orden 3 p or redondeo del número 51760: 51800 Aproxima ión hasta las entenas p or trun amiento de 51760: 51700
1.2.1. Errores
Al realizar la aproxima ión de un número real, el he ho de mo di ar las ifras p or eros genera un error. Para uanti arlo se puede emplear el error absoluto o el relativo.
Error absoluto Ea: orresp onde al valor absoluto de la diferen ia que se obtiene entre un número y su aproxima ión. Se puede uanti ar mediante la expresión Ea = ‖A − a‖, en esta expresión A representa el número que se ha aproximado y a representa su aproxima ión.
Error relativo Er : orresp onde al o iente del error absoluto y el valor absoluto del número aproximado. Se obtiene mediante la expresión:
Er
Ea ‖A‖
6 1. TEORÍA DE NÚMEROS
105 / 70 = 1 y residuo = 35 70 / 35 = 2 y residuo = 0 p or tanto (385, 105) = 35
El máximo omún divisor de los números enteros a y b umple: Si a > b(a, b) = (b, a − b) Por último, no olvidar que el máximo omún divisor de a y b es el mayor entero p ositivo que divide a a y b de tal forma que el residuo de ambas op era iones sea ero. Si el máximo omún divisor de dos números es 1, al par de números se les denomina primos relativos o primos entre sí.
. Cal ular (1001,1000) (1001, 1000) = (1000, 1001 − 1000) = (1000, 1) = 1.
1.4. Números primos
Un número entero P se denomina número primo si es mayor que 1 y sus úni os divisores son 1,-1, P y −P
Ejemplo 1.
7, es divisible p or (1,-1, 7,-7) primo p ositivo -7,es divisible p or (1,-1,7,-7) primo negativo
1.5. Números ompuestos
Son los números que se pueden expresar omo el pro du to de dos o más números primos. To do número entero mayor que 1 , es de ir n > 1 , puede ser expresado de forma úni a omo el pro du to de p oten ias de un onjunto de números primos.
Ejemplo 1.
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2^3 × 32
Ap oyo de la al uladora Multipli a iones on exp onentes: Se usa la te la: [∧] o [xy^ ]
Ejemplo 1.
56 · 32 · 43 → 5 [∧] [6] × 3 [∧] [2] × 4 [∧] [3] [enter] = 9000000
1.5. NÚMEROS COMPUESTOS 7
1.5.1. Divisibilidad
Un número es divisible entre otro número si este lo ontiene un número entero de ve es, es de ir, si el residuo es ero.
Para a y b enteros, se di e que a divide a b (lo que se simb oliza on (a | b) ) si se umple:
(a | b) si existe un entero c tal que b = (a)(c)
Ejemplo 1.
a. 3 | 12 p orque 12 = 4 × 3
b. 4 ∤ 10 puesto que no existe un entero c tal que 10 = 4c
. 4 | 20 debido a que si c = 5, 20 = 4c
d. 3 | 0 ya que 0 = 3c uando c = 0
e. 1 | 5 puesto que 5 = 1 × 5
f. 5 ∤ 1 dado que 1 6 = 5 c para ualquier entero c
1.5.1.1. Criterios de divisibilidad Para x, entero se umple que:
x es divisible p or 2 si su última ifra es 0 o su última ifra es un número par
x es divisible p or 3 si la suma de to das sus ifras es múltiplo de 3
Ejemplo 1.
387 es divisible p or 3 p orque 3 + 8 + 7 = 18 y 18 es múltiplo de 3.
x es divisible p or 4 si sus dos últimas ifras forman un múltiplo de 4. Ejemplo: 324 y
x es divisible p or 5 si él termina en 0 o en 5.
x es divisible p or 6 si tiene omo divisores a 2 y a 3.
Para determinar si x es divisible p or 7 existen dos riterios: el méto do dire to y el méto do re ursivo.
1.5. NÚMEROS COMPUESTOS 9
Ejemplo 1.
957 = (9 + 7) − 5 = 16 − 5 = 11.
x es divisible p or 12 si tiene omo divisores a 3 y 4.
x es divisible p or 13 si la suma alterna omo la usada para el número 7) es divisible p or 13.
Ejemplo 1.
x = 100035286→ 100 − 035 + 286 = 351 que es múltiplo de 13, luego x también. También se puede determinar la divisibilidad p or 13 on un méto do que es similar al del número 7, solo que multipli ando la ifra de las unidades p or 9 en lugar de multipli ar p or
x es divisible p or 14 si es par y es divisible p or 7
x es divisible p or 15 si tiene omo divisores a 3 y a 5
x es divisible p or 16 si sus uatro últimas ifras también lo son.
Ejemplo 1.
x = 27168→ 7168 que es divisible p or 16, así que x también.
x es divisible p or 17 si se umple que al restar la antidad formada p or la ifra de las de enas y la ifra de las unidades al doble pro du to de las ifras restantes es un múltiplo de 17.
Ejemplo 1.
x = 11866→ 2 ∗ 118 − 66 = 170 que es múltiplo de 17.
x es divisible p or 18 si tiene omo divisores a 2 y 9.
x es divisible p or 19 si la suma del doble pro du to de las unidades on el número sin la ifra de las unidades es un múltiplo de 19.
Ejemplo 1.
304 → 4 x2 + 30 = 8 + 30 = 38 que es múltiplo de 19.
10 1. TEORÍA DE NÚMEROS
1.6. Plano artesiano
Cualquier par de números reales de la forma (a, b) se denomina pareja ordenada. El on- junto formado p or las in nitas parejas ordenadas de números reales se denomina pro du to artesiano de R×R y se de ne así:
R × R = R^2 = {(x, y)/x ∈ R, y ∈ R} E ua ión 2 : Produ to artesiano
Al rela ionar los puntos del plano on el pro du to artesiano R^2 se obtiene una representa ión muy útil denominada el plano artesiano. Como se muestra en la gura 1.1.
Figura 1.1. Plano artesiano
Los números que onforman las parejas ordenadas son rela ionados on las re tas verti al y horizontal de la forma ono ida. No olvide que al eje horizontal se le llama eje de las x y al eje verti al se le llama eje de las y. Al primer número en ada pareja ordenada se le denomina abs isa y el segundo número en la pareja ordenada re ib e el nombre de ordenada.
A la pareja (a, b) rela ionada on un punto A, se le denomina las o ordenadas del punto A. Observe en la gura 1.2, la forma omo se ubi a una serie de puntos a partir de sus o ordenadas.
Además de representar puntos, en el plano artesiano es p osible representar regiones obte- nidas a partir de igualdades. La siguiente región A = {(x, y)/x = 2, y = 3} orresp onde a las re tas mostradas en la gura 1.3.
