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Los conceptos básicos de cinemática, incluyendo el estudio del movimiento, espacio r3, vector posición, trayectoria, ley horaria, coordenadas cartesianas, función matemática, derivadas, velocidad y aceleración. También se tratan temas como el movimiento en una, dos y tres dimensiones, movimiento circular y movimiento relativo.
Tipo: Apuntes
1 / 10
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L’espai R
3
Vector posició
Variació del vector posició amb el temps
Trajectòria
Llei horària
Coordenades cartesianes
El problema de l’origen de coordenades
Moviment relatiu
Moviment en
r t ( )
uuur
1
t
2
t
3
t
4
t
r t ( ) = x t i( ) ⇒ x t( )
uuur r
r t ( ) = x t i( ) + y t k( )
uuur r r
r t ( ) = x t i( ) + y t( ) j + z t k( )
uuur r r r
r
r
Concepte de funció matemàtica. Aplicació
Funció escalar de variable escalar
Generalitzacions: Funció vector de variable escalar
Funció escalar de variable vectorial
Funció vectorial de variable vectorial
El cas particular del temps. És un cos?
Funcions continues
f
y x ( )
1 2
( ) ( ), ( ),...., ( )
n
r x = r x r x r x
r
( ) ( ) ( )
1 1 2 1 1
( ) ,... , ,... ,...., ,...
n n m n
r s = r s s r s s r s s
r r
f
n m
R → R
( )
1 2
( ) , ,.....
n
r s = r s s s
r
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
Si lim lim
lim lim
x x
x x
x x x x x
f x x f x f x x
∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
∆ = = − ∆ ⇒
∆ = = − ∆
Acceleració
2 2 2 2
2 2 2 2
y x z
x y z
Velocitat en una dimensió
Velocitat mitjana
f i
m
f i
f i
f i
Velocitat mitjana en una dimensió
El problema del signe. Paradoja de la carrera de natació
Dimensions de la velocitat [ ] [ ] [ ]
v = l / t = LT
Acceleració mitjana
Dimensions de l’acceleració [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2
a = v / t = l / t =LT
Integral de una funció escalar de variable escalar
Sigui f una velocitat i x el temps,
l’àrea ara juga el paper d’espai
f
i
m m
m m
x
m
x
m
A A f x x
A dA f x dx f x dx
∞
En tres dimensions
f ( )x ⇒ v t( );
( ) ( )
( ), ( )
f
i
t
f i
t
f f i i
dx v t dt x x x v t dt
x x t x x t
= ⇒ ∆ = − =
= =
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
f x y z
r = r + v t dt = r + v t dt i + v t dt j + v t dt k
ur ur uuur ur r r r
Canvi de nomenclatura
0 0 0 0
0 0
t t
f i
Anàlogament
0 0
f x y z
i
x
f
x
f ( )x
Tir parabòlic. Moviment en dues dimensions:
horitzontal sense acceleració i vertical de caiguda
lliure
amb velocitat positiva cap amunt
Moviment en un pla
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
( ) cos
1 1
( ) sin
2 2
x
y
x t x v t x v t
y t y v t gt y v t gt
α
α
= + = +
= + − = + −
2 2
2 2
2 2
, tan
, tan
, tan
y
x y x y
x
y
x y x y
x
y
r xi y j r x y
x
v
v v i v j v v v
v
a
a a i a j a a a
a
θ
α
β
= + ⇒ = + =
= + ⇒ = + =
= + ⇒ = + =
r r r
r r r
r r r
Canvi d’eixos, canvi vectors unitaris
Vector unitari direcció de
Vector unitari perpendicular a
Noteu que l’angle canvia amb el temps
r : n
r r
r : t
r r
n
r
t
r
cos sin cos sin
sin cos sin cos
n i j i n t
t i j j n t
α α α α
α α α α
r r r r r r
r r r r r r
El canvi invers es pot obtenir algebraicament o be pensant en un gir
d’angle oposat
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
sin cos
cos sin
d n d d d
i j t
dt dt dt dt
d t d d d
i j n
dt dt dt dt
d n d d d t d d
t n t
dt dt dt dt dt dt
α α α
α α
α α α
α α
α α α α
= − + =
= − − = −
= + = − +
r
r r r
r
r r r
r r
r r r
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2
dr d
r rn v n r t
dt dt
d r dr d d d
a n t r n r t
dt dt dt dt dt
d r d dr d d
r n r t
dt dt dt dt dt
α
α α α
α α α
= = +
= + − + =
= − + +
r r r r r
r r r r r
r r
a
r
ur
r
r
ur
R
ur
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a r
a r
a r
r t R t r t
v t V t v t
a t A t a t
uuuuur uuuur uuuur
uuuuur uuuuur uuuur
uuuuur uuuuur uuuur
El paper de l’observador
La relativitat de l’origen de coordenades. L’heretgia de Galileo
