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Tipo de movmiento de cinemática angular en física
Tipo: Apuntes
1 / 22
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¡No te pierdas las partes importantes!
C I N E M Á T I C A A N G U L A R
2.2.1 CONCEPTOS DE POSICIÓN, VELOCIDAD
Y ACELERACIÓN ANGULARES
OBJETIVOS DE TEMA: Conocer y aprender estos tres conceptos que son la base para el estudio de
esta subunidad. Aplicarlos correctamente al desarrollo de los ejercicios y problemas propuestos en las
actividades. Valorar la importancia de estos conceptos.
Empezaremos definiendo los tres conceptos cinemáticos anteriores:
Supongamos que una partícula P se
mueve sobre una trayectoria curva plana, ce-
rrada o no, situada sobre el plano XY, por
ejemplo sobre la que se muestra en la figura
2.2.1.1. Evidentemente, el movimiento de la
partícula es de “traslación curvilínea”.
Podemos ubicar a la partícula en
cualquier instante mediante las coordenadas
( x; y ); pero para estos casos no lo haremos
así, sino que utilizaremos las coordenadas R
y , que evidentemente no son cartesianas,
sino POLARES. Las llamaremos coordenadas
“radial-plana” y “azimutal”, respectivamente.
Con estas nuevas coordenadas, la partícula queda ubicada en el punto P de coordenadas ( R; ). La
coordenada R indica la distancia, siempre positiva, desde el origen hasta el punto P, en tanto que la
coordenada indica su “posición angular”; ésta se mide siempre desde el eje +X, normalmente en
sentido positivo, es decir antihorario.
Entonces la posición angular, como vector, toma la forma:
k
(2.2.1.1)
F i g u r a 2. 2. 1. 1
La representación del vector
es parecida a
la de la figura 2.2.1.3 y obedece la ley de la mano de-
recha:
“Se empuñan los dedos en el sentido en que se mueve
la partícula, se extiende el pulgar el cual marca el sen-
tido del vector
Se refiere al cambio que pueda tener la velocidad angular de una partícula a lo largo del
tiempo y se define como la razón o cociente entre el cambio de la velocidad angular de la partícula y
el intervalo de tiempo requerido para dicho cambio.
Si el intervalo de tiempo es relativamente grande, digamos 0,1 s o más, el resultado obtenido es la
“aceleración angular media”, esto es:
t t
2 1
^ (2.2.1. 5 )
La “aceleración angular instantánea” se define mediante:
t
lím t
lím 2 1 t 0 t (^0)
^ (^)
recordando que el intervalo de tiempo debe ser muy pequeño, de 0,001 s o menos.
La representación del vector
es similar a la
de la figura 2.2.1.4 y obedece la ley de la mano
derecha: “se empuñan los dedos en el sentido
en que aumenta (o disminuye) la velocidad an-
gular de la partícula, se extiende el pulgar el
cual marca el sentido del vector
Vemos, pues, que los vectores
, y ,
co-
rrespondientes al movimiento curvilíneo plano
de una partícula, son siempre paralelos.
Determine las coordenadas radial-plana y azimutal de una partícula situada en el punto P 8 ; 7 m.
F i g u r a 2. 2. 1. 3
F i g u r a 2. 2. 1. 4
De la figura vemos que la partícula se encuentra
en el cuarto cuadrante:
R x y 8 7 10 , 630
2 2 2 2
41 , 186 8
7 Tan x
y Tan
1 1
luego:
360 41 , 186 360 318 , 814 5 , 564 rad
en consecuencia:
P 10 , 630 m; 5 , 564 rad
Una partícula se mueve en el plano según R t t 1 ; t 2 t.
2 Determine: i) la velocidad angular
media para el intervalo comprendido entre t 1 1 s y t 2 4 s; ii) la velocidad angular instantánea
para t 2 s.
i) Para t 1 1 s: 1 2. 1 k 2 k
2
Para t 2 4 s: ^ 4 2. 4 k 32 k
2
luego:
2 1 ^30^ k ^ rad
^
Además:
t t 2 t 1 4 1 3 s
entonces:
30 k
t
10 k rad/ s
ii) Para t 2 s: 1 2 2. 2 k 8 k
2
Para t 2 2 , 001 s: 2 , 001 2. 2 , 001 k 8 , 008 k
2
luego:
2 1 ^^0 ,^008 k ^ rad
Además:
t t 2 t 1 2 , 001 2 0 , 001 s
entonces:
0 , 008 k
t
lím t 0
2 8 k rad/ s
La velocidad angular de una partícula se expresa por la función 3 2 t k
2 . Determine: i) la
aceleración angular media para el intervalo comprendido entre t 1 2 s y t 2 6 s; ii) la aceleración
angular instantánea para t 3 s.
2.2.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
OBJETIVOS DE TEMA: Conocer las ecuaciones importantes del MCU. Aplicarlas correctamente a la
resolución de los problemas propuestos en las actividades. Reconocer la semejanza estructural entre
este movimiento y el MRU. Colaborar con el grupo de trabajo.
Lo representaremos mediante MCU y supondremos que el movimiento ocurre sobre el plano
XY; de este modo los vectores
y
sólo tendrán componente en Z.
El MCU es el más sencillo de los movimientos curvilíneos y es el movimiento de una partícula que se
desplaza con rapidez constante sobre una trayectoria plana cerrada de radio constante (circunferen-
cia). Ya que el radio es constante, para ubicarla basta conocer la coordenada angular ( t ).
Puesto que el movimiento es uniforme, la velocidad angular de la partícula es constante a lo largo del
tiempo, lo que a su vez significa que la aceleración angular es cero. Por lo tanto los parámetros cine-
máticos son:
a) La aceleración angular:
b) La velocidad angular:
t t
2 1
cuya magnitud es:
t t
2 1
c) El desplazamiento angular: se obtiene despejando
de la ecuación (2.2.2.1):
k t
cuya magnitud es:
t 2 1
de donde:
2 1 t
Al igual que en los movimientos li-
neales, dentro del MCU existen algunas
gráficas importantes:
1) Gráfica – t:
Se trata de una recta oblicua que
corta al eje en el valor 0 (posición angu-
lar para t 0 ) y cuya pendiente es justa-
mente el valor de la magnitud de la veloci-
dad angular de la partícula, figura 2.2.2.1.
F i g u r a 2. 2. 2. 1
2) Gráfica – t:
Se trata de una recta horizontal,
figura 2.2.2.2, lo que indica que la veloci-
dad angular es constante. El área com-
prendida entre el eje horizontal, la curva y
dos verticales t t 1 y t t 2 representa el
desplazamiento angular que sufre la par-
tícula en el intervalo de tiempo compren-
dido entre 1 t y t. 2
Dentro del MCU hay dos concep-
tos adicionales que es conveniente y nece-
sario conocer:
1) Frecuencia: Es el número de vueltas o
ciclos que describe el móvil o la partícula en la unidad de tiempo, esto es:
tiempo
número deciclos f (2.2.2.2)
2) Período: Es el tiempo requerido por el móvil o por la partícula para describir un ciclo, es decir:
númerodeciclos
tiempo P (2.2.2.3)
Observamos que frecuencia y período son conceptos recíprocos, es decir:
P
1 f (2.2.2.4)
En función de los dos nuevos conceptos, la magnitud de la velocidad angular de una partí-
cula que se mueve con MCU es:
2 f P
2
Una partícula se mueve uniformemente sobre una pista circular. En el instante t 3 s 1 pasa por la
posición 1 12 rad y en t 2 5 s pasa por 2 20 rad. Determine: a) la velocidad angular, b) la
posición angular para t 10 s , c) la frecuencia, d) el período.
a) En este caso, tomando el evento correspondiente al intervalo 3 t 10 se tiene:
2 1 8 ; t t 2 t 1 2 s
luego:
2
8
t
4 rad/s
b) En este caso, tomando el mismo evento:
12 ; t 7 s 1
entonces:
F i g u r a 2. 2. 2. 2
2.2.3 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
OBJETIVOS DE TEMA: Descubrir y aprender los conceptos y ecuaciones que describen este tipo de
movimiento. Descubrir las semejanzas que se dan entre el MRUV y el MCUV. Aplicar correctamente las
ecuaciones al desarrollo de los problemas propuestos en las actividades. Reconocer la importancia y
aplicaciones prácticas de este tipo de movimiento.
Lo abreviaremos mediante MCUV y supondremos que el movimiento ocurre sobre una cir-
cunferencia que reposa en el plano XY. El movimiento es uniformemente variado porque la velocidad
angular sufre variaciones uniformes a lo largo del tiempo, lo cual significa que la aceleración angular
es constante.
En el MCUV entran en juego los parámetros cinemáticos típicos: aceleración, velocidad y desplaza-
miento angulares, y su total análisis implica las cuatro siguientes ecuaciones:
a) La aceleración angular:
t t
2 1
(2.2.3.1)
cuya magnitud es:
t t
2 1
La velocidad angular se obtiene despejándola de la ecuación (2.2.3.1):
t 2 1
b) El desplazamiento angular:
2 2 1 1 t 2
1 t
de donde:
2 2 1 1 t 2
1 t
(2.2.3.2)
c) Otra ecuación importante : se encuentra despejando t de la ecuación (2.2.3.1) y sustituyéndola
en la ecuación (2.2.3.2). Hacemos esto:
t
2 1 2 1 2 1
2
1
2
2 2 2
2
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2
2
2 1
2 2
de donde:
2 1
2 2 2
que en forma vectorial es:
2 1
2 2
(2.2.3.3)
d) La velocidad media: Ya que la velocidad angular en el MCUV varía linealmente con el tiempo, su
valor medio para un intervalo de tiempo t será la media aritmética de los valores inicial y final de la
velocidad angular correspondientes a dicho intervalo de tiempo, es decir:
2
1 2
(2.2.3.4)
Al igual que para el caso del MRUV,
dentro del MCUV son importantes las si-
guientes gráficas:
1) Gráfica – t:
Se trata de una parábola que corta al
eje en el valor 0 (es la posición angular pa-
ra t 0 ). Nos muestra que el desplazamiento
angular en el MCUV no es lineal, sino que de-
pende del tiempo, figura 2.2.3.1.
2) Gráfica – t:
Se trata de una recta oblicua que cor-
ta al eje en el valor 0 y cuya pendiente es
el valor de la aceleración angular de la partícu-
la. El área comprendida entre el eje horizontal,
la curva y dos verticales t t 1 y t t 2 repre-
senta el desplazamiento angular que sufre la
partícula en el intervalo de tiempo compren-
dido entre t 1 y t 2 , figura 2.2.3.2.
3) Gráfica – t:
Se trata de una recta horizontal, figura
2.2.3.3, lo que nos indica que la aceleración
angular permanece constante a lo largo del
tiempo. El área comprendida entre el eje hori-
zontal, la curva y dos verticales t t 1 y t t 2
representa la variación de la velocidad angular
del móvil en el intervalo de tiempo comprendido
entre t 1 y t. 2
F i g u r a 2. 2. 3. 1
F i g u r a 2. 2. 3. 2
F i g u r a 2. 2. 3. 3
El movimiento angular de un móvil es descrito por la siguiente gráfica. Haga el análisis gráfico para
los primeros 12 s suponiendo que el móvil inició su movimiento en la posición angular 130 rad. 0
2
1
21 11 1 6 rad/s 2
16 4
t
y se desplaza un ángulo de:
6. 2 20 rad 2
1 t 4. 2 2
1 t
2 2 1 11 1 1 1
desplaza un ángulo de:
2 2 t 2 16. 2 32 rad
2
3
23 13 3 4 rad/s 2
8 16
t
y se desplaza un ángulo de:
4 2 24 rad 2
1 t 16. 2 2
1 t
2 2 (^3 )
2
4
24 14 4 12 rad/s 1
20 8
t
y se desplaza un ángulo de:
12. 1 14 rad 2
1 t 8. 1 2
1 t
2 2 4 14 4 4 4
2
5
25 15 5 1 , 6 rad/s 5
12 20
t
y se desplaza un ángulo de:
1 , 6 5 80 rad 2
1 t 20. 5 2
1 t
2 2 (^5 )
Entonces, luego de los 12 s el móvil se ha desplazado un ángulo total de:
i 20 32 24 14 80 170 rad
Por lo tanto su posición angular final en t 12 s es:
2 o 130 170 300 rad
Su velocidad angular en ese instante es de 12 rad/s y su aceleración angular es de 0 rad/s.
2
ACTIVIDADES:
a) Marque verdadero (V) o falso (F):
1 - En el MCUV:
2 - El área bajo la curva – t representa:
b) Empate correctamente:
(A) desplazamiento angular ( ) 2
1 2
(B) velocidad angular media ( ) t
2 1
(C) aceleración lineal
(D) aceleración angular ( )
2 1 t 2
1 t
(E) velocidad angular final ( )
2 1
c) Resuelva, en su cuaderno de ejercicios, los siguientes problemas:
1 - Un disco rota a 360 rpm. Se le frena uniformemente hasta el reposo en 18 s. Calcule: a) su acele-
ración angular, b) el ángulo descrito durante el proceso de frenado, c) la velocidad angular luego de
10 s de iniciar el frenado, d) la velocidad angular luego de girar 20 rad.
2 - La velocidad angular de una volante aumenta uniformemente de 10 rad/s a 30 rad/s en 5 s. Cal-
cule la aceleración angular y el ángulo descrito.
2.2.4 RELACIONES ENTRE LOS MOVIMIENTOS DE TRASLACIÓN
CIRCULAR Y DE ROTACIÓN
OBJETIVOS DE TEMA: Analizar y sintetizar las relaciones entre estos dos tipos de movimientos.
Aplicarlos correctamente al análisis y solución de los problemas propuestos en las actividades. Reco-
nocer la importancia de este tema.
Si una partícula se mueve con MCU o con MCUV efectúa realmente un movimiento de tras-
lación sobre una trayectoria circular, es decir efectúa una “traslación circular” con velocidad lineal v
que se conoce con el nombre de “velocidad orbital”. Pero ya sabemos que su vector posición “barre”
un ángulo
con una velocidad angular
y en algunos casos con una aceleración angular .
En
esta parte trataremos de averiguar qué relaciones existen entre el movimiento de traslación circular y
el correspondiente movimiento de rotación, partiendo de los conceptos que ya han sido desarrollados
en secciones anteriores.
En el MCU, La magnitud v de la velocidad lineal orbital es igual a la longitud de la circunfe-
rencia (distancia recorrida) dividida para el tiempo necesario para recorrer dicha circunferencia, esto
es, para el período; es decir:
2 Rf P
2 R
P
C v
(a)
Por otro lado sabemos que la magnitud de la
velocidad angular es:
2 f P
2
(b)
Comparando las ecuaciones (a) y (b) encontra-
mos que:
v R (c)
Pero, de la figura 2.2.4.1 observamos el carácter vectorial de las tres magnitudes de la ecuación (c), y
luego de un sencillo análisis comprobamos que la forma vectorial que debe tener la misma es la si-
guiente:
v R
(2.2.4.1)
que es la ecuación vectorial que relaciona la velocidad lineal orbital con la velocidad angular de la
partícula.
En forma análoga, para la relación entre la aceleración lineal orbital, llamada “aceleración
tangencial”, y la aceleración angular se encuentra:
aT R (d)
que en forma vectorial es:
aT R
^ (2.2.4.2)
F i g u r a 2. 2. 4. 1
Es importante destacar que en el MCU la aceleración tangencial es cero, de modo que la
ecuación (2.2.4.2) sólo es válida para el MCUV. Pero queda una cuestión: si en el MCU la magnitud
de la velocidad orbital es constante, ¿por qué cambia continuamente su dirección? La respuesta es la
única que se podría dar: debe existir algún tipo de aceleración lineal que no afecta a la magnitud del
vector v,
sino únicamente a su dirección. Y así es: se trata de la “aceleración normal o centrípeta”
que apunta siempre hacia el centro de la trayectoria y cuya magnitud está dada por una de las dos
siguientes igualdades:
R
v a R
2 2 N (e)
la misma que en forma vectorial se expresa en la forma:
(^) ^ (2.2.4.3)
En cambio, en el MCUV, existen simultánea-
mente las dos aceleraciones lineales: la tangencial y
la centrípeta; las dos son perpendiculares entre sí,
pues la primera es tangente a la trayectoria en tanto
que la segunda es paralela al radio de la misma, fi-
gura 2.2.4.2.
La aceleración lineal total para estos casos es:
^ (2.2.4.4)
cuya magnitud es:
2 2 2 4 2 N
2 T a a a R R (f)
Un móvil se mueve sobre un carril circular de 5 m de radio en sentido antihorario. Parte desde el re-
poso en 0 1 y t 0. 1 Luego de 6 s su velocidad angular es de 18 rad/s. Determine: a) la acele-
ración angular, b) la velocidad angular en t 10 s, c) la aceleración lineal total en t 10 s.
a) En este caso:
1 0 ; 2 18 k; t 6 s
^
luego:
2 1 2 3 k rad/s 6
18 k 0
t
b) En este caso:
1 0 ; 3 k ; t 10 s
^
luego:
2 1
^
c) En este caso:
1 0 ; 1 0 ; 30 k ; 3 k;R 5 m ; t 10 s
F i g u r a 2. 2. 4. 2
c) Resuelva, en su cuaderno de ejercicios, los siguientes problemas:
1 - Una partícula se mueve a 1,6 m/s sobre una pista circular de 3,2 m de radio. Calcule: a) su velo-
cidad angular, b) su frecuencia, c) su aceleración centrípeta.
2 - Una partícula se mueve con MCUV sobre una trayectoria de 7,5 m de radio. Parte del reposo y
acelera a razón de 0 , 4 rad/s. 2 Calcule su aceleración lineal total para t 10 s.
3 - Una partícula parte del reposo y se mueve sobre una circunferencia de 6 m de radio con acelera-
2
Calcule: a) su velocidad angular para 610°, b) su velocidad or-
bital para t 10 s, c) su aceleración total para 10 rad.
4 - Una volante de 1,8 m de diámetro disminuye su velocidad angular desde 240 rpm hasta el reposo
en 10 s. Calcule las aceleraciones tangencial y normal de un punto situado sobre el borde de la vo-
lante cuando faltan 3 s para detenerse.
5 - Una partícula en traslación circular se mueve sobre una pista de 10 m de radio con velocidad an-
gular . ¿Qué le ocurre a su aceleración centrípeta si: a) se duplica el radio?, b) se divide el radio
para 2? , c) se duplica ? , d) se divide para 2? , e) se duplican R y ? , f) se duplica R y se divide
para 2?
ARISTÓTELES (-384 a - 322). Filósofo y científico griego cuya contribución al sa-
ber general de occidente se cuenta entre las más amplias, duraderas y sig-
nificativas de todos los tiempos; inicialmente estudió medicina. Aristóteles perdió
a sus padres de niño y se crió con un amigo de la familia; a los 17 años en el 367
a.C. ingresó a la academia de Platón, con quien mantuvo una estrecha relación
durante muchos años. Después de realizar varios viajes, se hizo cargo de la edu-
cación de Alejandro Magno, quien más tarde sería el fundador de Alejandría, ciu-
dad que se convertiría en el más grande centro de investigación y cultura del planeta. En el 335 a.C.
abrió en Atenas el Liceo, centro dedicado a la enseñanza y a la investigación de las diferentes ramas
del saber. Se conservan de él unos cuarenta y siete tratados que incluyen a la física y las matemáti-
cas. Sentó principios de causalidad y de orden en el cosmos, organizado a partir del primer motor. La
visión que Aristóteles tuvo del cosmos, prevalecería, a pesar de algunas modificaciones menores, a lo
largo de toda la Edad Media hasta el Renacimiento. La de Aristóteles era una visión estética del uni-
verso que fue formalizada por la teología. Según Aristóteles, en el instante de la creación el primer
hacedor estableció los cielos con un movimiento eterno y perfecto, con el sol, la luna, los planetas y
las estrellas fijados en el interior de ocho esferas cristalinas que rotan sobre su centro alrededor de la
tierra y que la naturaleza de la luna hacía que tenga fases y eclipses. No había nada semejante al va-
cío; todo estaba lleno de la divina presencia. Toda la materia estaba constituida por los cuatro ele-
mentos: tierra, agua, aire y fuego. Una quinta esencia formó las esferas, una sustancia perfecta que
no podía ser destruida ni convertida en ninguna otra cosa; la llamó "éter". Los cielos eran perfectos e
inmutables, en tanto que la tierra era imperfecta y sujeta a la decadencia. El movimiento de los cielos
era circular - otro signo de perfección- mientras que en la tierra, cuando las cosas se movían, lo ha-
cían en línea recta. El estado natural de la materia era el reposo. Para Aristóteles la tierra estaba en
el centro, el agua encima de ella, el aire encima del agua y el fuego en lo más alto de todas las sus-
tancias. Por tanto, un objeto compuesto principalmente de tierra, como una roca, se caería al sus-
penderlo en el aire, mientras que las burbujas de aire dentro del agua se moverían hacia arriba. Por
lo mismo la lluvia caía, pero el fuego subía. También le parecía a Aristóteles que cuanto más pesados
fueran los cuerpos se esforzarían lo más ansiosamente posible en lograr su sitio correspondiente en
la tierra, ya que el peso era la manifestación de su ansiedad de volver.
RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE
1 - La aceleración angular:
2 m/ s. ( )
(A) posición angular ( ) R
(B) aceleración tangencial ( ) R
^
(C) velocidad orbital ( ) R constante
(D) aceleración angular ( )
2 1 1 t 2
1 t
(E) trayectoria circular ( ) t
(F) aceleración normal ( ) 1 t
(G) velocidad angular ( ) R
2 - Si
2 4 60 rad ; 4 8 rad/s; 2 rad/ s :
(A) 10 ( ) 144
(B) 10 ( ) 24
(C) (^) 12 ( ) 188
(D) 12 ( ) 20
1 - Un móvil se desplaza sobre una curva plana definida mediante las funciones: R 6 t 4 t m ;
3 2
3 t 4 t rad.
2 Determine: a) su posición en coordenadas cartesianas en t 2 s; b) su velocidad
angular media para el intervalo 1 t 5 ; c) su velocidad angular instantánea en t 3 s.
