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Unidad Didáctica 2 Cinemática de la Partícula
Índice
- Representación del movimiento
- Movimiento
- Velocidad
- Aceleración
- Movimiento Rectilíneo
- Movimiento Rectilíneo Uniforme
- Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado
- Movimiento Circular
- Movimiento Circular Uniforme
- Movimiento Circular Uniformemente Acelerado
- Movimiento Parabólico
1 Representación del movimiento.
Posición.
Para representar la posición de una partícula , una vez definido un sistema de referencia,
se emplea un vector de posición. Se trata de un vector fijo cuyo punto de aplicación es el
origen del sistema de referencia.
r =
OP
Movimiento.
Una vez definido este vector es posible definir las ecuaciones que indican como se
modifica esta posición en función del tiempo, es decir, definen el movimiento de la
partícula.
Una forma de definir este movimiento es empleando su forma cartesiana.
⃗ r ( t )= x ( t )
i + y ( t )
j + z ( t )
k
El grupo formado por estas tres ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones cartesianas o
paramétricas de la función posición.
Trayectoria.
Si a partir de estas ecuaciones se elimina su dependencia con el tiempo, se obtiene la
ecuación de la trayectoria del movimiento, que es el lugar geométrico de los puntos que
ocupa el objeto a lo largo del tiempo.
Desplazamiento.
El desplazamiento de una partícula es la diferencia entre los vectores de posición final e
inicial. Es importante destacar que no depende en ningún caso de la trayectoria seguida
por la partícula.
Velocidad.
La velocidad indica la variación de la posición de un objeto en un intervalo de tiempo.
También se representa por un vector, tangente a la trayectoria, que informa sobre lo
rápido que es el movimiento y su variación en cantidad, dirección y sentido.
Velocidad media: se haya dividiendo el desplazamiento del movimiento entre el tiempo
que ha tardado en realizarse.
v
media
r
Δ t
Velocidad instantánea: permite calcular la velocidad en cualquier punto y en cualquier
instante.
De forma diferencial,
⃗ v ( t )=
d ⃗ r ( t )
dt
Por su definición, y tal y como se ha comentado, se trata de un vector tangente a la
trayectoria.
Aceleración.
La aceleración, que también es una magnitud vectorial, nos indica la variación de la
velocidad con respeto al tiempo.
Aceleración media: se haya dividiendo la diferencia de las velocidades en dos puntos
entre el tiempo trascurrido.
Se definen entonces las dos componentes de la aceleración, la aceleración tangencial,
correspondiente a la variación del módulo de la velocidad respecto al tiempo, y la normal,
que representa la variación de la dirección de la velocidad.
a = ⃗
a
T
a
N
a
T
dv
dt
u
T
a
N
v²
ρ
u
N
Relación entre movimiento, velocidad y aceleración
La definición de la velocidad y la aceleración como derivada y segunda derivada del
movimiento implica la definición de la velocidad como integral de la aceleración y el
movimiento como integral de la velocidad.
⃗ r ( t ) ⃗
r ( t )=
v ( t )+ ⃗
r ( 0 )
⃗ v ( t )=
d ⃗ r ( t )
dt
v ( t )=
a ( t ) dt +⃗ v ( 0 )
⃗ a ( t )=
d ⃗ v ( t )
dt
d² ⃗ r ( t )
dt²
a ( t )
Al integrar aparecen las constantes de integración, para las que se suele tomar el valor de
la velocidad o el movimiento en el instante inicial.
Sobreaceleraciones.
Tal y como se han ido definiendo la velocidad y la aceleración, se podría definir la
sobreaceleración como la variación de la aceleración respecto al tiempo, la
sobreaceleración de segundo nivel y así sucesivamente.
S ( t )=
d ⃗ a
dt
Estas propiedades no formar parte de la Unidad Didáctica y se deja al estudiante libre
para su estudio posterior. Por ejemplo, los mareos que se sufren al ir subidos en un
vehículo son causa de las sobreaceleraciónes del movimiento.
2 Movimiento rectilíneo.
En los movimientos rectilíneos el movimiento se realiza en una sola dimensión. Esto
implica que el vector velocidad se encuentra siempre sobre la recta que define la
trayectoria y que la aceleración es siempre tangencial.
Además, es posible expresar el movimiento sin necesidad de emplear vectores.
Según sea el valor de esta aceleración, destacan dos tipos de movimiento rectilíneo, el
uniforme y el uniformemente acelerado.
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).
La aceleración en este caso es nula y la velocidad, constante.
a = 0 v = cte
s = s
0
El espacio recorrido es siempre una recta.
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA).
En este caso, la aceleración es constante.
a = cte
v = v
0
0
0
t +
a t²
Como se ha visto antes, los pasos de
a a
v y de
v a
s se realizan mediante
integración, empleando los valores de velocidad inicial y espacio inicial como constantes
de integración.
Despejando el tiempo en la segunda
ecuación y sustituyendo en la tercera, se
encuentra la siguiente expresión.
v² − v
0
²= 2 a ( s − s
0
En el caso del MRUA, el desplazamiento
describe una parábola.
En el esquema están representados, para
cada movimiento, la aceleración, la
velocidad y el desplazamiento en función
del tiempo.
a a
v
s
v
s
MRU MRUA
t t
t t
t t
vo
so so
Derivando encontramos la velocidad angular
ω=
d θ
dt
y
v =
ds
dt
=ω · R
Y para las aceleraciones
a
T
dv
dt
=α · R
( α es la aceleración angular)
a
N
v²
R
=ω ² · R
En forma vectorial, las ecuaciones que
emplearemos son las siguientes:
v = ω⃗ × ⃗
r
⃗ a = α⃗ ×⃗ r + ω⃗ ×( ω⃗ × ⃗ r )
Movimiento circular uniforme.
En este caso, la aceleración tangencial es nula y la velocidad angular constante.
La ecuación que rige el movimiento es
θ=θ
0
+ω t
ω= cte.
Movimiento circular uniformemente acelerado.
En este supuesto, la aceleración es constante y las ecuaciones que rigen el movimiento
son las que siguen.
θ=θ
0
+ω t +
α t²
ω=ω
0
+α t
α= cte.
ω ²−ω
0
²= 2 α (θ−θ
0
R
r
v
Movimiento circular general.
En este caso se partirá de las ecuaciones generales del movimiento.
ω=
d θ
dt
α=
d ω
dt
4 Movimiento parabólico.
Ecuaciones cartesianas.
Se trata de un movimiento en dos
dimensiones. En sentido horizontal la
partícula se mueve con un movimiento
rectilíneo con velocidad constante, mientras
que en vertical se trata de un movimiento de
caída libre.
Si partimos de una velocidad
v
0
vectorial,
podemos separarla en sus dos componentes.
v
0X
= v
0
cos θ
v
0Y
= v
0
sen θ
Entonces
a
X
= 0 v
X
= cte = v
0
cos θ x = x
0
0
cos θ t
a
Y
=− g v
Y
= v
0
sen θ− g t y = y
0
0
sen θ t –
g t²
Ecuación de la trayectoria.
Las ecuaciones de x e y corresponden a las ecuaciones cartesianas del movimiento.
Eliminando entre ellas su dependencia respecto al tiempo se encuentra la ecuación de la
trayectoria.
De la primera, t =
x − x
0
v
0
cos θ
Entonces
y − y
0
=( x − x
0
) tg θ –
g
( x − x
0
v
0
² – cos² θ
V 0
Vx
Vy
