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Árboles
Un árbol es un grafo simple en el cual existe un único camino entre cada par de vértices.
Sea G =(V,A) un grafo no dirigido. G se denomina ARBOL, si es conexo y no contiene ciclos.
Un árbol con raíz, es un árbol que tiene un vértice particular designado como raíz.
Ejemplo de árbol:
En la figura anterior G1 corresponde a lo que llamamos mediante la definición ARBOL, en el caso de G2, éste no corresponde debido a que contiene un ciclo.
Podemos destacar que cuando un grafo G es un Árbol, se reemplaza G, por R.
En la figura mostrada G1 es un subgrafo de G2, en el que G1 contiene los vértices de G2 y es árbol, además lo llamaremos “árbol abarcador”, por que proporciona conexión minimal para el grafo y un esqueleto minimal que une los vértices.
Ejemplo de árbol raíz:
Para apoyar el entendimiento de las definiciones entregadas agregaremos algunos teoremas.
Teorema:
Si a, b son vértices de un árbol R (V,A), entonces hay un camino único que conecta estos vértices.
Teorema:
En cualquier árbol R= (V,A), |V| = |A| + 1.
Teorema:
Para cualquier árbol R = (V,A), si |A| >= 2, entonces R tiene al menos dos vértices colgantes.
Teorema:
Sea G un grafo simple con v vértices, entonces se puede decir:
- G es un árbol.
- G es conexo y no contiene circuitos.
- G es conexo y tiene (n-1) lados.
- G no contiene circuitos y tiene (n-1) lados.
Árboles con Raíz
Sea G un grafo dirigido, se denomina “árbol dirigido” si el grafo no dirigido asociado con G es un árbol. Cuando G es un árbol dirigido, se denomina “árbol con raíz” si hay un único vértice r, la raíz.
Sea G un grafo con raíz V0. Supóngase que x, y, z son vértices en G y que (v0, v1, ..., vn), es un camino en G.
- V(n-1) es el padre de v(n).
- (^) V0, v1, ..., v(n-1) son los antepasados de v(n).
- V(n) es el hijo de v(n-1).
- (^) Si x es un antepasado de y, entonces y es un descendiente de x.
- Si x e y son hijos de z entonces x e y son hermanos.
- (^) Si x no tiene hijos entonces x es un vértice Terminal.
- Si x no es un vértice Terminal, entonces x es un vértice interno.
- (^) El subgrafo de G que consiste en x y todos sus descendientes, con x como raíz, es el subarbol de G que tiene a x como raíz.
Sea R= (V,A) un árbol con raíz r. Si R no tiene otros vértices, entonces la raíz misma constituye el recorrido en orden previo, simétrico y posterior de R. Si |V|
1, sean R1, R2, R3, ...., Rk los subarboles de R según se va de izquierda a derecha.
F 0 B 7 El recorrido de orden previo de R comienza en r y después pasa por los vértices de R1 en orden previo, a continuación por los vértices de R2 en orden previo, y así sucesivamente hasta que se pasa por los vértices de Rk en orden previo.
F 0 B 7 El recorrido en orden simétrico de R primero, se pasa por los vértices de R en orden simétrico, después por la raíz r y a continuación por los vértices de los subarboles R2, R3,...., Rk en orden simétrico.
F 0 B 7 El recorrido en orden posterior de R pasa por los vértices de los subarboles R1, R2,...., Rk en orden posterior y a continuación por la raíz.
Un árbol binario es uno con raíz en el cual cada vértice tiene un hijo a la derecha o un hijo a la izquierda, o viceversa, o bien ningún hijo. Un árbol binario completo es uno en el cual cada vértice tiene un hijo a la derecha y uno a la izquierda, o bien ningún hijo.
lado de peso mínimo que no forme un circuito con el árbol que se ha construido con iteraciones anteriores. Este algoritmo es un ejemplo de algoritmo voraz, el cual optimiza la selección hecha en cada iteración sin considerar las elecciones que corresponden a iteraciones anteriores. Otro algoritmo que origina un árbol generador minimal en un grafo G de n vértices, conexo y con peso es el Algoritmo de Kruskal.
FUENTES DOCUMENTALES
REFERENCIAS ELECTRONICAS:
http://html.rincondelvago.com/matematicas-discretas_arboles.html
