Cinemática y Dinámica de Robots, Resúmenes de Robótica

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Cinemática y Dinámica

de Robots

Semana 7 – Sesión 1

Dinámica de Robots / Repaso

Temas para el día de hoy:

• Bienvenida
• Logro de la sesión
• Desarrollo del tema
• Resumen
• Conclusiones

DINAMICA

• El objetivo es estudiar las relaciones entre el movimiento de los eslabones (posiciones, velocidades y

aceleraciones) y las fuerzas/torques aplicados a las articulaciones, mientras son considerados las masas y los

momentos de inercia de los eslabones

CENTRO DE MASA

𝑐

𝑐

𝑐

TENSOR DE INERCIA

• El tensor de inercia representa la inercia del cuerpo o la resistencia al movimiento rotacional

sobre un eje que pasa a través del centro de masa

𝑐

𝑥𝑥

𝑥𝑦

𝑥𝑧

𝑥𝑦

𝑦𝑦

𝑦𝑧

𝑥𝑧

𝑦𝑧

𝑧𝑧

TENSOR DE INERCIA

• El tensor de inercia representa la inercia del cuerpo o la resistencia al movimiento rotacional

sobre un eje que pasa a través del centro de masa

𝐴

𝑥𝑥

𝑥𝑦

𝑥𝑧

𝑥𝑦

𝑦𝑦

𝑦𝑧

𝑥𝑧

𝑦𝑧

𝑧𝑧

𝑥𝑥

2

2

)𝜌𝑑 υ

𝑦𝑦

2

2

)𝜌𝑑 υ

𝑧𝑧

2

2

)𝜌𝑑 υ

𝑥𝑦

= ම 𝑥𝑦𝜌𝑑 υ

𝑥𝑧

= ම 𝑥𝑧𝜌𝑑 υ

𝑦𝑧

= ම 𝑦𝑧𝜌𝑑 υ

EC. DE MOVIMIENTO

• Las relaciones entre las fuerzas/momentos externos y los movimientos de un cuerpo rígido

pueden ser expresadas por medio de las ecuaciones de Newton – Euler o Lagrange - Euler

M. EULER LAGRANGE

• El modelo dinámico de un robot puede derivarse de manera sistemática por medio del concepto

de coordenadas generalizadas y de una función escalar llamada Lagrangeano, que se define

como:

Donde:

𝐾 → 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝐶𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎

ℒ → 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

M. EULER LAGRANGE

• La aplicación del método de Lagrange – Euler a los robots manipuladores es explicada en los

siguientes tres pasos:

1) Velocidades (lineales/angulares) de los eslabones o masas

2) Energías cinéticas y potenciales totales

𝑖= 1

𝑛

𝑖

𝑖= 1

𝑛

𝑖

Donde:

Donde:

𝑖

𝑖

υത 𝑐𝑖

. υത 𝑐𝑖

𝑖

υത 𝑐𝑖

𝑇

. (υത 𝑐𝑖

𝑖

𝑖

υത 𝑐𝑖

𝑇

. υത 𝑐𝑖

𝑖

wഥ 𝑐𝑖

𝑇

𝑐𝑖

. (υത 𝑐𝑖

partícula

sólido

𝑖

𝑖

𝑐𝑖

𝑖

𝑇

. 𝐼 𝑐𝑖

𝑐𝑖

3)Ecuaciones de movimiento Lagrange-Euler ℒ^ =^ 𝐾^ −^ 𝑉^

𝑖

𝑖

𝑖

M. NEWTON EULER

• Las ecuaciones de movimiento Newton – Euler con respecto al centro de masa de un cuerpo

rígido son:

F

𝑐

= 𝑀. തa

𝑐

T

𝑐

I

𝑐

𝑐

𝑐

I

𝑐

. wഥ

𝑐

Donde:

Donde:

F

𝑐

a ത 𝑐

T

𝑐

ҧ I 𝑐

w ഥ 𝑐

DINAMICA INVERSA

• En el modelo dinámico inverso el movimiento de las articulaciones es conocido y las

fuerzas/torques de las articulaciones es calculado. Es utilizado para el control de robots y la

selección de los motores

MODELO DINÁMICO

INVERSO

EJEMPLO

• Determinar la solución analítica para la dinámica inversa del robot planar de dos eslabones

rígidos mostrado abajo

1

2

• Verificar los resultados para los siguientes valores

numéricos

1

𝑐

1

1

1

1

𝑐

2

1

𝑐

1

1

1

1

𝑐

2

• 𝐴𝑙𝑎𝑚𝑏𝑟𝑒: 𝐼 𝑧

1

12

2

SOLUCION

• Tomando la ecuación de la velocidad directa, se tiene para 𝑚 1

𝑐

1

• Sustituyendo:

1

𝑐

1

𝑐

1

𝑐

𝑐

1

𝑐

1

1

• Realizando las operaciones correspondientes, se obtiene:

𝑐

𝑐

1

1

𝑐

1

1

1

1

1

SOLUCION

• Ahora se obtiene la velocidad para 𝑚 2

𝑐

2

1

2

2

𝑐

1

𝑐 2

1

2

𝑐 2

1

2

𝑐

1

𝑐

1

2

𝑐

1

2

• Sustituyendo

𝑐

1

1

𝑐 2

1

2

𝑐 2

1

2

𝑐

1

𝑐

1

2

𝑐

1

2

1

2

• Realizando las operaciones correspondientes, se obtiene

𝑐

1

1

𝑐

1

2

1

𝑐

2

1

2

1

1

𝑐

1

2

1

𝑐

2

1

2

2

1

2