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Circuitos Magnéticos
Antes de entrar de lleno en que se entiende por Circuito Magnético y como se resuelven, se dará un breve paseo en el repaso de magnetismo que hicieron en la primera asignación, con la finalidad de que usted revise sus conceptos y todos nos entendamos en un lenguaje común.
Fuentes de Magnetismo .-
El magnetismo que se necesita para el funcionamiento de las maquinas eléctricas (transformadores, generadores de energía eléctrica, motor eléctrico) proviene de dos fuentes, imanes y corriente. Revisemos brevemente cada una de ellas.
a.- Imán: mineral compuesto de dos óxidos de hierro que tiene la propiedad de atraer el hierro y otros metales. El imán pudiera presentar dos extremos como se muestra en la fig.1, de manera tal que al tener dos de ellos, extremos de la misma naturaleza se repelen y de distinta naturaleza se atraen , (de ahora en adelante a estos extremos los denominaremos polos, polo norte y polo sur). Como se sabe un polo norte no se puede separar de un polo sur, pero si imaginásemos que eso fuese posible y lo
colocásemos en frente de un imán como se indica en la fig.2, él sentiría una fuerza Fm. Esta fuerza magnética aplicada sobre un polo norte es lo que de ahora en adelante llamaremos intensidad
de campo magnético y se denotara con la letra H ( ),
siendo Fm : fuerza magnética y p : polo. En la fig. 3 se muestran las líneas de campo asociadas a un imán que indican la dirección y el sentido de la fuerza magnética aplicada sobre un polo norte (H) , y se puede observar que el sentido de las líneas de campo magnético es de norte a sur en la parte exterior del imán y de sur a norte en el interior del imán.
La corriente también es una fuente de magnetismo utilizada en la fabricación de máquinas eléctricas, más que los imanes ya que el campo magnético que se produce con la corriente se puede controlar variando la corriente (campo magnético y corriente varían de manera directamente proporcional), mientras que el campo magnético que se obtiene con los imanes es de valor constante. Las líneas de campo magnético asociadas a un conductor que lleva corriente son círculos con centro en el conductor ubicados en un plano perpendicular al conductor como se puede observar en la fig.4. El sentido del campo se obtiene con la regla de la mano derecha donde el dedo pulgar se indica el sentido de circulación de corriente y el resto de los dedos al cerrar la mano indica el sentido del campo. Resulta también interesante que cuando el conductor que lleva corriente se enrolla formando un solenoide, el campo magnético aumenta, incrementando el número de vueltas del solenoide. Las líneas de campo magnético asociadas a un solenoide se pueden observar en la fig.5, y el sentido de las líneas de campo
Fig. 1
se obtienen nuevamente aplicando la regla de la mano derecha que para este caso con el dedo pulgar se obtiene el sentido del campo y el resto de los dedos de la mano derecha es para indicar el sentido de la corriente. Cabe anotar que si el número de vueltas del solenoide aumenta, aparte de que el valor del campo magnético va a aumentar, el efecto en las líneas de campo es un ” estiramiento” de ellas colocándose paralelas al eje del solenoide de manera tal que si se tuviese un solenoide de longitud infinita las líneas de campo irían paralelas al eje del solenoide en el interior de él, y fuera del solenoide no se tendrían líneas de campo indicando que fuera del solenoide no hay campo magnético y de esta manera se ha confinado el campo al interior del solenoide como se indica en la fig. 6. ¿Es posible tener un solenoide de longitud infinita , si y se llama toroide, ya que un solenoide de longitud infinita es un solenoide que no tiene principio ni fin, lo que ocurre en un círculo, se muestra en la fig.7. Se observa en esa figura que las líneas de campo están confinadas dentro del toroide (Dentro del anillo sobre el cual esta enrollado el cable), lo que ocurre en un solenoide de longitud infinita, como también que no existe campo magnético fuera del toroide, lo cual además se puede demostrar de manera muy sencilla colocando por ejemplo un imán dentro y fuera de la estructura.
Si se colocase un polo norte dentro del anillo como se indica en la Fig 8 , este sentiría una fuerza magnética sobre él (H) para lo que necesitaría de una cierta energía que por supuesto le vendría del campo magnético existente y este a su vez de la corriente que es la que produce el campo. Sin corriente no hay campo y el polo no se movería por lo que no se gastaría ninguna energía, a medida que aumenta la corriente, crece el campo y el polo se moverá y cada vez requerirá de más energía con lo cual energía consumida por el polo, el valor del campo magnético y la energía que consume el polo norte dentro del anillo son directamente proporcionales.
La energía es el producto de la fuerza aplicada sobre el objeto en movimiento y la distancia recorrida, en nuestro caso la fuerza aplicada a un polo es por definición el vector intensidad de campo magnético, y si como distancia recorrida L se establece la longitud de la línea de campo (una vuelta), se tendrá que la energía que gasta un polo en dar una vuelta vendría siendo
, siendo N : el número de vueltas del
solenoide y la constante de proporcionalidad existente entre la energía y la corriente porque como se ha explicado el campo
En el caso de que el material no sea ferromagnético el único campo que existe es el que produce la corriente por lo que B y H serían igual. La fórmula B = H se utiliza en este caso si el sistema de unidades en el que se trabaja es el sistema CGS. Si se trabaja en sistema MKS debido al cambio de unidades, la ecuación correspondiente es
Si el material es ferromagnético a medida que la corriente que circula por el solenoide aumenta la alineación de los dipolos aumenta aumentando el campo, pero llega un punto en el cual los dipolos ya están completamente alineados y el campo debido a alineación no va a aumentar más, si va a aumentar el campo debido a la corriente pero este campo es muy débil frente al campo debido a la alineación, se dice en ese caso que el material está saturado, La relación que existe entre el campo y la corriente que es igual a la relación entre B y H se muestra en la fig.12. Antes que la máquina se sature (antes de llegar al codo de la curva, codo de saturación) la relación que existe entre B y H es lineal y se dice entonces que. La permeabilidad relativa μ se define como ⁄. El flujo magnético ϕ se define como el producto de la densidad de campo magnético B y el área que atraviesa el flujo A ,.
Circuito Magnético.-
Un circuito magnético es una trayectoria cerrada que indica por donde pasa el flujo a través de material de alta permeabilidad y donde eventualmente pudiese presentar entrehierros (entrehierros son pequeñas separaciones entre dos estructuras de hierro, en el orden de 1 a 5 mm). Ejemplos de circuitos magnéticos se muestran en las fig. 13, 14. Pareciese que “circuito magnético” es igual a” línea de campo” , esto es cierto siempre y cuando el núcleo sea de material de alta permeabilidad que es lo mismo que decir que el material es ferromagnético (¿Por qué?).
Resolución de Circuitos Magnéticos.-
En el caso de Circuitos Eléctricos los problemas que se presentan son dos: Dado el voltaje determinar la corriente conociendo los parámetros del circuito o dada la corriente determinar el
voltaje capaz de producir dicha corriente nuevamente conociendo los parámetros del circuito eléctrico. En el caso del magnetismo también son dos los problemas a resolver:
1.- Dado el flujo (ϕ) determinar los amperios vueltas (NI) que se necesitan para producirlo, o
2.- Dados los NI determinar el flujo que se presente, conociendo los parámetros del circuito magnético que son el área , la longitud del circuito magnético y la relación que existe entre B y H ( ya sea curva de imanación del material o el valor de la permeabilidad).
Ejercicio 1.-
Comencemos resolviendo el circuito magnético más sencillo para resolver que es el que se muestra en la fig 13, en el que se desea que el flujo existente en ese circuito sea igual a ϕ = 16 * weber, sabiendo que el área A = 20 * , y la longitud l = 0.5 mts y la curva de imanación del material se obtiene graficando los siguientes valores
B (tesla) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1. H (Lenz) 0 50 100 150 235 310 389
Metodología a seguir para obtener la solución del problema dado el flujo determinar los NI :
Paso 1 Determinación de B
Ya que , entonces
ϕ / A , o sea B ⁄
B = 0.8 tesla
Paso 2 Determinación de H
Una vez obtenido el valor de B nos dirigimos a la curva de imanación del material y se encuentra que el valor de H = 235 lenz
Paso 3 Aplicación de la Ley de Ampere
Teniendo el valor de H , la ley de Apere establece que Hl = NI, de manera tal que en este ejercicio los NI serian iguales a
NI= 235 lenz * 0.5 mts
NI = 117.5 Amp-vueltas
Se le deja al lector para que cheque si entendio el procedimiento que resuelva el problema inverso , dado el valor de los NI = 255 Amp- vuelta determine el valor del flujo con los mismos datos para los parámetros circuitales.
Es bueno mencionar que trabajando con las ecuaciones
Paso 3.- Aplicación de la Ley de Ampere
La Ley de Ampere establece que la energía necesaria para mover un polo norte a lo largo de una trayectoria cerrada es igual a los amperios vuelta enlazados, en este caso la trayectoria cerrada (circuito magnético) atraviesa dos trayectorias, una zona de material ferromagnético y otra de aire (entrehierro, gap en inglés), por lo cual la energía total para llevar el polo por toda la trayectoria se pudiese dividir en dos partes, la que se necesita para moverlo por la zona del material ferromagnético (Hh*lh, fuerza por distancia, lh es la longitud de la trayectoria de la zona que cubre el material ferromagnético), y la que se necesita para moverlo por el entrehierro (Hg * lg donde lg es la longitud del entrehierro), con lo que la expresión matemática para la ley de Ampere quedaría en este caso igual a
Hhlh + Hg lg = NI, (normalmente la trayectoria cerrada que se usa en la resolución de problemas de magnetismo es la trayectoria que va por el medio de la estructura, como diciendo que la solución es como un valor promedio), siendo así en este ejercicio los
NI = 235 * 0.437 mts+ 636619,77 lenz * 3 mm
NI = 2012.12 Amp-vuelta
Se le propone al lector que resuelva con este mismo circuito magnético, el problema dado los NI = 2500 Amp-vuelta , determine al flujo.
Ejercicio 3: Resolver el circuito magnético que se muestra en la fig. 17, con la finalidad de determinar los flujos siendo los NI = 1000 Amp-vuelta. Se sabe además que el ancho de cada columna es igual a 2 cm, el espesor 10 cm, la longitud del entrehierro 3 mm, la altura de la estructura es igual a 20 cm y el ancho total de la estructura igual a 24 cm. La permeabilidad relativa del material ferromagnético
Solución:
Se tiene en este problema tres incógnitas por lo tanto es necesario plantear un sistema de tres ecuaciones, estas ecuaciones son el resultado de aplicar la Ley de Ampere en cada una de las trayectorias cerradas, y la ecuación resultante de aplicar sumatoria de flujos en un “nodo “ del circuito magnético.
Es bueno acotar que a lo largo de una trayectoria cerrada los valores de intensidad de campo magnético H pueden cambiar (como observo en el ejercicio anterior) por tres razones fundamentales , que a lo largo de la trayectoria cambie el tipo de material, cambie el área , y/o cambie el flujo, lo cual se puede ver a partir de que H = B/μ , y en vista de que B = ϕ/A resulta que H = ϕ/(μA) y se ve claramente como al variar cualquiera de los elementos mencionados (flujo, área, material) la intensidad de campo magnético va a tomar otro valor. Es conveniente tener esto presente a la hora de resolver cualquier problema de circuitos magnéticos.
Habiendo dicho esto pasemos entonces al planteamiento de las ecuaciones , donde una de ellas es obvia y se refiere a la sumatoria de flujos. Si nos ubicamos en el “nodo” superior del circuito magnético dado se tiene que el flujo de la rama central es igual a la suma de los flujos que van por cada una de las trayectorias, o sea
Las otras dos ecuaciones se obtendrían aplicando la Ley de Ampere a cada una de las trayectorias cerradas. La trayectoria de la izquierda es recorrida por dos valores de flujo diferentes , por lo que tendremos dos valores de intensidad de campo magnético, H 1 para la columna central, y H 2 para el resto de la trayectoria con lo que la aplicación de la Ley de Ampere resultaría en
Mientras que en la trayectoria de la derecha no solo se tienen dos valores distintos de flujo
sino que además hay un entrehierro con lo cual cambia el material, cambia la
permeabilidad y por lo tanto H, con lo cual en esta trayectoria se tendrán tres valores para la
intensidad de campo, intensidad de campo magnético en la columna central, para el
resto de la trayectoria donde el material es ferromagnético, intensidad de campo
magnético en el entrehierro. La ecuación correspondiente en esta trayectoria es
Si las intensidades de campo magnético se colocan en función de los flujos, el sistema de ecuaciones que resulta es
Donde R: es la reluctancia, R =
Y los subíndices hacen referencia a la ubicación en la trayectoria, así R3h es el valor de la reluctancia en la columna de la derecha con material ferromagnético, R3g es el valor de la reluctancia en el entrehierro.
El paso siguiente es la determinación de las reluctancias donde por ejemplo
R 1 = , l 1 = 18 cm, A 1 = 20 cm, y
Sustituyendo los valores se obtendrá el valor de la reluctancia R 1
R 1 = 23873.
