DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
2. El tamaño de una población está modelado por: 𝑃(𝑡) = 5000 +500𝑡 − 50𝑡2, donde 𝑡 es el número
de años. Calcule la tasa de crecimiento instantáneo en 𝑡 = 2.
SOLUCIÓN
En este caso, determinemos la derivada:
𝑃′(𝑡)=500−100𝑡
Luego, reemplazamos para 𝒕 = 𝟐.
𝑃′(2)=500−100(2)
𝑷′(𝟐)=𝟑𝟎𝟎
Rpta:
La tasa de crecimiento instantáneo en 2 años es 300 habitantes por año.
La población en 2 años cambiará a razón de 300 habitantes por año aproximadamente.
Entre el 2do y 3er año, la población aumentará en 300 habitantes aproximadamente.
3. El espacio recorrido, en metros, de una partícula se expresa con 𝑆(𝑡)= 𝑡2− 6𝑡 + 10, donde t se mide
en segundos. ¿Cuál es la rapidez instantánea a los 5 segundos?
SOLUCIÓN
En este caso, determinamos la derivada:
𝑆′(𝑡)= 2𝑡 −6
Ahora, reemplazamos para 𝑡 = 5:
𝑆′(5)= 2(5)− 6 ⇒ 𝑆′(5)= 4
Rpta:
La rapidez instantánea a los 5 segundos es 𝟒𝒎/𝒔
El espacio recorrido a los 5 segundos cambiará a razón de 𝟒𝒎/𝒔 aproximadamente.
Entre los 5 y 6 segundos, el espacio recorrido aumentará en 𝟒𝒎 aproximadamente.
4. Se pronostica que la población de cierta ciudad pequeña 𝑡 años a partir de ahora es 𝑁(𝑡)=
50000 𝑡+3000
𝑡+1 . Determine la tasa de cambio de la población dentro de 10 años.
SOLUCIÓN
En este caso, determinamos la derivada:
𝑁′(𝑡)= (50000 𝑡 + 3000
𝑡+1 )′=(50000𝑡 + 3000)′(𝑡+1)−(𝑡 + 1)′(50000𝑡 + 3000)
(𝑡+1)2
𝑁′(𝑡)=50000(𝑡 +1)−1(50000𝑡 + 3000)
(𝑡+1)2=50000𝑡 + 50000− 50000𝑡 − 3000
(𝑡+1)2
𝑵′(𝒕)=𝟒𝟕𝟎𝟎𝟎
(𝒕+𝟏)𝟐
