Geometría Analítica en el Espacio: Introducción al Cálculo II - Prof. Perez, Diapositivas de Cálculo para Ingenierios

¡Descarga Geometría Analítica en el Espacio: Introducción al Cálculo II - Prof. Perez y más Diapositivas en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!

MA263 CÁLCULO II න 𝐶 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 ඵ 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 Geometría analítica en el espacio

MA263 CÁLCULO II

UNIDAD 1

Geometría analítica en el espacio

• Competencia : Razonamiento Cuantitativo – nivel 2.
• Logro de la unidad : Al finalizar la unidad, el estudiante describe en forma ordenada regiones del plano y del espacio limitadas por superficies, empleando el sistema de coordenadas cartesianas.

MA263 CÁLCULO II Temario ❖ Espacio tridimensional. Punto en el espacio ❖ Planos coordenados. Planos ❖ Superficies cuádricas incompletas o cilindros

MA263 CÁLCULO II El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota por ℝ 3

. Cada terna ordenada (𝑥; 𝑦; 𝑧)se denomina punto del espacio tridimensional. x y z 𝑥 𝑦 𝑧 ( 0 ; 𝑦; 𝑧) ( 0 ; 𝑦; 0 ) (𝑥; 𝑦; 0 ) (𝑥; 0 ; 0 ) (𝑥; 0 ; 𝑧) ( 0 ; 0 ; 𝑧) ( 0 ; 0 ; 0 ) Espacio tridimensional 𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧)

MA263 CÁLCULO II (^7) Primer octante Se determina por los ejes x , y , z positivos

MA263 CÁLCULO II Donde: A, B y C son constantes, no todos nulas. A𝑥 + B𝑦 + C𝑧 + D = 0 x y z Ecuación general del plano Para este caso particular A, B y C son números reales positivos y D un número negativo.

MA263 CÁLCULO II Sección plana Es la curva de intersección de un plano paralelo a algún plano coordenado, con la superficie. Traza Es la curva de intersección de la superficie con un plano coordenado. Existen tres trazas A saber

MA263 CÁLCULO II x y z Ejemplo 1 Solución Ejemplo 1 a. 𝑥^ =^5 , en el primer octante ቊ 𝑥 = 5 𝑦 = 0 ቊ 𝑥 = 5 𝑥 = 0 ቊ 𝑥 = 5 𝑧 = 0 Punto de corte con el eje x: Punto de corte con el eje y: Traza en el plano xy : Traza en el plano yz : Traza en el plano xz : Punto de corte con el eje z:

MA263 CÁLCULO II x y z Ejemplo 1 b. 2 𝑥 + 3z = 6 , considerando 𝑦 ≥ 0 Solución. ቊ 2 𝑥 + 3z = 6 𝑦 = 0 ቊ 2 𝑥 + 3z = 6 𝑥 = 0 ቊ 2 𝑥 + 3z = 6 𝑧 = 0 Punto de corte con el eje x: Punto de corte con el eje y: Traza en el plano xy : Traza en el plano yz : Traza en el plano xz : Punto de corte con el eje z:

MA263 CÁLCULO II CASO 2 x y z 𝐀𝒙 + 𝐁𝒚 = 𝐃 x y z 𝐀𝒙 + 𝐂𝒛 = 𝐃 Plano paralelo al eje z (plano perpendicular al plano xy ) Plano paralelo al eje y (plano perpendicular al plano xz ) x y z 𝐁𝒚 + 𝐂𝒛 = 𝐃 Plano paralelo al eje x (plano perpendicular al plano yz ) Planos paralelos a los ejes coordenados

MA263 CÁLCULO II CASO 3 A𝑥 + B𝑦 + C𝑧 + 𝐷 = 0 x y z Punto de corte con el eje x Punto de corte con el eje z Punto de corte con el eje y Ecuación del plano Para este caso particular A, B y C son números reales positivos y D un número negativo.

MA263 CÁLCULO II Nota: Toda ecuación de la forma (*) NO representa necesariamente una superficie, por ejemplo: o Superficies cuádricas Se llama superficie cuadrática al conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma: 𝐴𝑥 2

• 𝐵𝑦 2
• 𝐶𝑧 2
• 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 (∗) Estudiaremos solo los casos, cuando los coeficientes: D = E = F = 0 Ejemplos a. 𝑧 = 3 𝑥 2
• 4 𝑦 2 b. 𝑥 2 − 4 𝑦 2
• 𝑧 2 = 9 2 4 5 0 2 2 2 x + y + z + =^2 2 2 2 x + y + z =

MA263 CÁLCULO II (^19) Nota 1 : En este curso sólo consideraremos el caso de cilindros rectos, donde la directriz es una curva contenida en uno de los planos coordenados y las generatrices son paralelas a los ejes coordenados. Nota 2 : En las superficies cilíndricas rectas, cuyas generatrices son perpendiculares al plano coordenado donde está su directriz, la ecuación carece de la variable no medida en ese plano coordenado, en consecuencia se puede demostrar que una ecuación incompleta representa un cilindro. Cilindros particulares

MA263 CÁLCULO II 𝑦 = 𝑥 2 𝑥 2

• 2𝑧 2 = 9 Cilindro parabólico Cilindro elíptico 𝑦 2
• 𝑧 2 = 4 Cilindro circular 𝑧 2 − 𝑥 2 = 1 Cilindro Hiperbólico Algunos ejemplos