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ALGEBRA LINEAL Y

TEORÍA MATRICIAL

J&J PAYE Hnos.

CODEX

SOLUCIONARIO

TERCER PARCIAL

SOLUCIONARIO DE EXÁMENES DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA

ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL

EXAMEN:I- 2019

PROBLEMA 1

Para una transformación lineal

2 2

2

X

T R → P de la cual se conocen las siguientes imágenes:

2

T t t

;

2

T t

;

2

T t t

;

2

T t t

Se pide: a) hallar la fórmula de transformación lineal, b) bases para el núcleo, imagen y verificar el

teorema de la dimensión, c) hallar la representación matricial respecto de las bases:

B

y

2 2 2

C = t + t + 1, t + t t , y d) con la anterior matriz

hallar la imagen de

Solución:

a) Para calcular la fórmula de transformación:

1 2 3 4

a b

c d

(1)

Calculamos los valores de las constantes:

1 2 3 4 2 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

a b

c d

1 2 3 4 1

2 2 3 4 2

1 2 3 4 3

1 2 3 4 4

a a

b b

c c

d d

    

    

    

    

Resolviendo:

( ) ( ) ( )

( )

1 2 3

4

a b c d a b c d a b c d

a b c d

En (1) aplicamos T( ) :

1 2 3 4

a b

T T T T T

c d

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2

1 1 1

6 3 3 3 2 6 4 3 9 9 6 1 3 8 3 2 5 7

15 15 15

1

12 7 3 2 1

15

a b

T a b c d t t a b c d t a b c d t t

c d

a b c d t t

 

= − − − + + + − − + + + − + + + + + +

 

 

• • • − − +

Simplificando:

( ) ( ) ( )

2

a b

T a b c t a b c t a b c d

c d

2 2 2 2

1 2 3

T t t  t t  t t  t

2 2 2 2

1 2 3

T t  t t  t t  t

2 2 2 2

1 2 3

T t t  t t  t t  t

Generamos el siguiente sistema:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

Resolviendo:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

Entonces:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

C

B

Mat T

C

B

Mat T

d)

C

B

C B

T Mat T

Calculamos

B

:

Generamos:

Resolviendo:

B

C

B

C B

T Mat T

C

T

Pero:

C

C

T Mat T

De la base C de dato:

2 2 2

C

C t t t t t Mat

T

2

T t t

PROBLEMA 2

Sea la transformación lineal

3 3

T : R → R definida por

( ) ( ) ( )

T a b c , , = 4 a + 2 b + 2 , 2 c c + 4 b + ( k + 1) , 3 a k − 1 a + 2 b + 4 c

hallar el valor de k de manera que

la matriz estándar de T sea diagonalizable ortogonalmente. Luego halle

At

e.

Solución:

Llevamos la fórmula de transformación a su forma matricial:

a a

T b k b

c k c

, donde

A k

k

es la matriz estándar de T.

Para que A sea diagonalizable ortogonalmente esta debe ser simétrica, entonces se cumple que:

k

k

k = 1

A

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 1 1

2 1 2

2 2 1 1

x x x x

x x x

x x x x

Para

3

x

y

z

resolviendo:

3 1 2 1

3 2

2 3

f f f f

f f

f f

y z y z

x z x z

Reemplazando en

3

3

x

x z

y z z x

z z

Ortonormalizando:

( )

( )

3

3 3 1

2 2 2

3

x

x x x

x

Calculo de la matriz de paso:

1 2 3

P x x x P

Se cumple que ( ) ( )

1 T

P P

−

( )

T

P

La matriz diagonal estará dad por:

2 1 2 2 8 3

t

Dt t

t

e

D D e e

e







Para ( )

T

At At D

e  e = P   e  P 

2

2

8

t

At t

t

e

e e

e

2 2 8

2 2 8

2 8

t t t

t t t

At

t t

e e e

e e e

e

e e

2 8 2 8 2 8

2 8 2 8 2 8

2 8 2 8 2 8

t t t t t t

t t t t t t

At

t t t t t t

e e e e e e

e e e e e e

e

e e e e e e

PROBLEMA 3

Dada la matriz:

2

A

a

se pide: a) El valor de la constante “a” sabiendo que uno de sus

valores propios es igual a 1+3i, b) diagonalize la matriz A y su matriz inversa por Hamilton Cayley,

c) halle

n

A.

Solución:

a) Uno de los autovalores es

1

 = 1 + 3 i , entonces se cumple que:

1

A −  I = 0 :

( )

2

2 2 2 2

2 2

1

i i

i a i a a

a i a i

−

 ( a − 3 )( a + 3 ) = 0 de donde se obtiene:

a = − 3 ; a = 3

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1 3 0 1 3 1 3 1 1 3 3 1 1

3 3 6 3 6 3

0 1 3 3 1 3 3 1 3

n n n

n n

n n n

i i i i i

A P D P

i i i i

i i i i i

−

   

• • − − −        

    =   =   − = − 

      

−         −   + − −  

   

( ) ( )

( ) ( )

n n

n

n n

i i i

A

i

i i i i

Multiplicando y simplificando obtenemos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

n n n n

n

n n n n

i i i i i i

A

i i i i i

PROBLEMA 4

En el espacio vectorial

2

R se tiene la recta " y = kx "y el operador lineal “L” que transforma todo

vector “a” en el vector “b”, simétrico al primero respecto de la recta indicada. Hallar la matriz del

operador lineal L.

Solución:

El operador lineal será de la siguiente forma:

( ) ( )

1 2 1 2

T a , a = b b ,

Del gráfico:

l : y = kx → m = k

( ) ( )

1 0 1 0 1 2 1 1

l : y − y = m x − x  l : y − a = m x − a (1)

Como

1 1 1

l l m m

m k

En (1): ( ) ( )

1 2 1 2 1

l : y a x a y a x a

k k

La intersección de las dos rectas

( )

2 1

y kx

y a x a

k

genera las coordenadas del punto M,

resolviendo el sistema obtenemos

( )

1 2 1 2

2 2

k a ka a ka

x y

k k

, entonces

( )

1 2 1 2

2 2

k a ka a ka

M

k k

Por otra parte, el punto medio M esta dado por:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

a a b b

M b b M a a

( )

1 2

 b b ,

( )

( )

( )

1 2

1 2 1 2

1 2 2 2

,

T a a

k a ka a ka

a a

k k

( )

2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 2 2

k k k k

T a a a a a a

k k k k

2

2 2

1 1

2

2 2

2 2

k k

a a

k k

T

a a

k k

k k

2

2 2

k k

A

k k k

Por tanto, el núcleo será: ( )

2 2

T

N = at + bt + c  P a = b = c =

Para generar las bases del núcleo reemplazamos las condiciones en

2 2

at + bt + c = 0 t + 0 t + 0 = 0

( )

 

 

T

B N = 

La dimensión del núcleo es:  

( )

T

Dim N =

Para hallar el rango primero calculamos

T

A

De la fórmula de transformación lineal:

T

A A

Escalonando

T

A :

T

A

( )

 

( ) ( ) ( )

T

B I = − −

La dimensión de la imagen o rango será:

( )

T

T

Dim I =  A 

( )

T

Dim I =

c) El teorema de la dimensión indica que:

2

( ) ( )

T T

Dim P = Dim N + Dim I  = +  =

, entonces se comprueba el teorema de dimensión.

PROBLEMA 2

Dada la transformación lineal

3 3

T : R → R , donde ( ) ( )

T x y z , , = x + 2 y + 3 , z x + y + z , 2 x − 2 y.

a) Hallar A la representación matricial en base canónica.

b) Hallar los autovalores y autovectores.

c) Evaluar

A

e.

Solución:

a) Llevando la fórmula de transformación lineal a su forma matricial:

x x

T y y

z z

, entonces la representación matricial en base canónica será:

A

b)

Cálculo de autovalores A −  I = 0 :

( )

2 1

2 3

f f

f f

( )

( )

( )

( ) ( )( )

2

2

( ) ( )

( )

( )

( )( )( )

2

2

1

2

3







Cálculo de autovectores  

i

A −  I X = :

Para

1

x

y

z

resolviendo:

2 1

1 2

2 3 1 3

f f

f f y x z

f f f f

Reemplazando en

1

1

x

x z

y z x

z z

Para

2

x

y

z

resolviendo:

2 3 1 3

y z x z

f f f f

Reemplazando en

2

2

x

z

x

z

y z x

z

z

Para ( ) ( )

At 1 At Dt 1

e f A P f D P e P e P

− −

 =    =   con

1

A D

t e P e P

−

2

3

At

e

e e

e

−

Multiplicando:

3 2 2 3 2

3 3

3 2 2 3 2

A

e e e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e e e

− − −

− − −

PROBLEMA 3

Dada la transformación

3

T : R → R , donde T ( x y z , , )= x + 2 y + 3 z

.

a) Hallar la representación matricial de T respecto de las bases ( ) ( ) ( )

B = 1,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1 y

C =  1

.

b) Hallar núcleo, rango y verificar el teorema de la dimensión.

Solución:

a)

La matriz ( )

C

B

Mat T está dada por:

 

C

B

Mat T =   

Entonces:

( ) ( )

T 1,0,0 = 1 =  1  = 1

( ) ( )

T 1,1,0 = 3 =  1  = 3

( ) ( )

T 1,1,1 = 6 =  1  = 6

Generamos ( )

C

B

Mat T :

 

C

B

Mat T =

b) Llevando la formula de transformación a su forma matricial obtenemos:

 

x x

T y y

z z

Para el núcleo:

T x = 0

( )

( ) ( )

3

T

N = x y z  R T x y z = 

     

x

y x y z

z



Por tanto, el núcleo será:

( )

( )

3

T

N = x y z  R x + y + z =

Para generar las bases del núcleo reemplazamos la condición en

( ) ( ) ( ) ( )

x y z , ,  − 2 y − 3 , z y z ,  y −2,1,0 + z −3,0,1 

( )

 

( ) ( )  

T

B N = − −

La dimensión del núcleo es:  

( )

T

Dim N =

Para hallar el rango primero calculamos

T

A

De la fórmula de transformación lineal:

 

1 2

1 3

T T

A A f f A

f f

( )

 

 

T

B I =

La dimensión de la imagen o rango será:

( )

T

T

Dim I =  A 

( )

T

Dim I =

El teorema de la dimensión indica que:

3

( ) ( )

T T

Dim R = Dim N + Dim I  = +  = ,

entonces se comprueba el teorema de dimensión.

PROBLEMA 4

Si

1 1

T : P → P , si el núcleo está compuesto por múltiplos de ( t + 2 )

y el rango esta generado por

 

2 t + 1 , hallar la representación matricial de T respecto de la base  

B = t +1, t.

Solución:

Para hallar la representación matricial debemos obtener la fórmula de transformación.

El enunciado del problema indica que: “el núcleo está compuesto por múltiplos de ( )

t + 2 ”, para que

cumpla esta condición la fórmula de transformación deberá ser la siguiente:

( ) ( )

2

2

b

T at b a b t a

 

• = − + −

 

 

Comprobamos con ( )

t + 2 y sus múltiplos:

( ) ( ) ( )

2

2 2 2 1 2 1 0

2

t T t t

 

•  + =  − + − =

 

 

( ) ( ) ( )

4

2 4 2 4 2 2 4 2 0

2

t T t t

 

•  + =  − + − =

 

 

( ) ( ) ( )

t T t t

Se puede observar que la fórmula si cumple con la condición para generar el núcleo.

Por otra parte, el enunciado indica que el rango esta generado por la base  

2 t + 1 entonces

comprobamos esto:

Llevamos la fórmula de transformación a su forma matricial:

A

a a

T A

b b

EXAMEN: I- 2018

PROBLEMA 1

Para una transformación lineal

3 3

T : R → R definida como la proyección de un vector sobre el

plano x − 2 y + 3 z = 0

.

Se pide hallar: a) la fórmula de transformación lineal, b) bases para el núcleo, imagen y verificar el

teorema de la dimensión, c) la matriz de la transformación lineal con respecto a la base

( ) ( ) ( )

B = 1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,

Solución:

a) La fórmula de transformación estará dada por una proyección ortogonal, siendo la misma:

( )

' 1 1 2 2

, , Pr , ' ' , ' '

B

T x y z = oy v = v u u + v u u

donde: ( )

v = x y z , , es el vector que se proyectara sobre el plano.

 

1 2

B ' = u ' , u ' es una base ortonormalizada del plano.

Cálculo de la base B del plano:

Del plano x − 2 y + 3 z = 0  x = 2 y − 3 z

reemplazamos en

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

u u

x y z = y − z y z = y + z − , obteniendo la base

  ( ) ( )

1 2

B = u u ,  B = 2,1,0 , −3,0,.

Cálculo de la base ortonormalizada B ' del plano:

Esta base será  

1 2

B ' = u ' , u '

Orto normalizamos los vectores:

( )

( )

( )

1

1 1 1

2

2 2

1

u

u u u

u

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 1 1

2 2 2

2 2 1 1

u u u u

u u u

u u u u

La base ortonormalizada será:   ( ) ( )

1 2

B u u B

Cálculo de la fórmula de transformación:

( )

' 1 1 2 2

, , Pr , ' ' , ' '

B

T x y z = oy v = v u u + v u u

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 T x y z = x y z + x y z − −

Realizando operaciones se obtiene:

( )

x y z x y z x y z

T x y z

b) Llevamos la formula a la forma matricial:

( )

A

x x

x y z x y z x y z

T x y z T y y

z z

Para el núcleo:

T x = 0

( )

3

T

N = x y z  R T x y z = 

x x

T y y

z z

( )

( )

2 1 3 1

3 2

2 3 3

f f f f

f f

f f f

z

 −  x = y = − z

Reemplazando en( ) ( )

z z

x y z z z

( )

 

( )

T

B N = −

La dimensión del núcleo es:

( )

T

Dim N =

Para hallar la base de la imagen calculamos

T

A.

Como la matriz A es simétrica entonces la matriz transpuesta será la misma

T

A = A :

T

A

Para la base de la imagen bastara con escalonar la matriz

T

A.

( )

( )

1 2 1 3 1

2

3 2 3 3

T

f f f f f

A f

f f f f

( )

 

( ) ( )

T

B I =

La dimensión de la imagen es:

( )

T

Dim I =

El teorema de la dimensión indica que:

3

( ) ( )

T T

Dim R = Dim N + Dim I  = +  =

,

entonces se comprueba el teorema de dimensión.