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Tutorial para

resolver integrales

con métodos

numéricos

USUARIO

TURORIAL PARA RESOLVER METODOS NUMERICOS

SEBASTIAN MORENO

SOFIA OJEDA

UNIVERSIDAD MARIANA

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA DE PROCESOS

PASTO 2015

INTRODUCCION

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas y resolverlos aritméticamente. Estos vuelven aptas a las personas a entender esquemas numéricos, con el fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora.

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.

¿Qué son los métodos

de integración numérica?

“Los métodos de integración numérica son una combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral. ”1 Es necesario tener en cuenta el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando.

“Muchos valores de interés para las ciencias se expresan a través de integrales, y algunas de esas integrales son difíciles de resolver analíticamente. Esto puede deberse a la complejidad de la función a integrar, o al dominio de integración o a ambos. “ 2 “La estrategia acostumbrada para desarrollar fórmulas para la integración numérica consiste en hacer pasar un polinomio por puntos definidos de la función y luego integrar la aproximación polinómica de la función.” 3

___________________________________

1 docsetools.com/articulos-para-saber-mas/article_42968.html 2 prof.uniandes.edu.co/~gprieto/classes/compufis/integracion.pdf 3 portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo4/capitulo4_2.ht

2 Se realiza la siguiente serie

“Como se puede observar, es una sumatoria, donde todos los términos están multiplicados por 2 excepto el primero y el ultimo termino y posteriormente están multiplicados todos por lo que podríamos llamar entonces dx/2.” 6

3.2 Código en Matlab.

En este punto se creara una función en Matlab, que recibirá como parámetros, en la función, el límite superior e inferior; también se puede recibir como parámetro el número de sub-intervalos (segmentos) deseados N.

Se agrega la función fprintf que “permite mezclar texto y valores numéricos de las

variables y también se puede ajustar el formato de los números, va a permitir

_______________________________

6 Ibíd.

escribir por pantalla un resultado que no se sabe, pero que se calcula a lo largo

del programa.” 7

Posteriormente se usa una variable (f), que va a representar una función, y podrá

ser escrita usando la herramienta input que permite al usuario agregar cualquier

función o valor al programa.

Se usa nuevamente input para agregar el valor del límite superior e inferior y el

número de segmentos a dividir.

Se crea una variable (h) en la cual se restara los limites superior e inferior a ese

resultado se lo dividirá entre el número de segmentos que el usuario ingresó

anteriormente.

Se crea una variable (z) igualándola a cero para posteriormente comenzar Un

ciclo for con esta variable

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7 sc.ehu.es/sbweb/energías renovables/MATLAB/basico/vectores/salida.html

.

Como el bucle for ha terminado a la variable z se la iguala nuevamente a z y se le resta las condiciones d y e de evaluación echas anteriormente. Luego se opera con los límites puestos inicialmente.

Se escribe nuevamente la función fprintf para que el programa arroje el resultado del método del trapecio ya realizado.

3.3 Diagrama de flujos

Método del trapecio en Matlab

Ingreso de la función fprintf

Ingreso de una variable con input para ingresar la función

Ingreso de una variable con input para ingresar los límites y segmentos Ingreso de una variable con input para ingresar la función

Ingreso de una variable con input para ingresar la función

Ingreso de una variable que reste los limites y divida los segmentos

Ingreso de una variable (z) e igualarla a cero Condicionamiento del bucle for con if

Si el condicionamiento se cumple terminar el bucle

Finalizar el bucle

Operar con la variable igualada z y los límites y segmentos

Ingreso de la función fprintf para que el programa de resultados reultados

Creación de un bucle for

Igualar la variable z a z+d

Método de Simpson

Este método es nombrado así en honor a Thomas Simpson. Esta forma de integrar sigue una idea similar a la del trapecio, pero se aproxima los su intervalos de f por medio de polinomios de segundo grado.

“Para cada intervalo, la regla de Simpson aproxima la función a integrar f(x) con una parábola” 8 como se muestra en la figura.

f(x) ≈ αx2 + βx + γ

“Donde todos los intervalos tienen un muestreo homogéneo. La función f(x) se puede expresar como la suma ponderada de valores de la función en tres puntos“ 9.

4.1 Algoritmo método de Simpson

El método de Simpson es representado de la forma:

1 Se sustituye la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales y reordenando términos se obtiene:

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8 Óp. cit. prof.uniandes.edu.co/~gprieto/classes/compufis/integracion.pdf 9 Ibíd. 10 proton.ucting.udg.mx/~jnorato/materias/metodos/integra/sim13/index.htm

Se crea cuatro variables diferentes con input, para que el usuario ingrese la función a integrar, otras para el límite superior e inferior y la última para el número de segmentos.

Se crea otra variable (h) que reste el límite superior con el inferior y a ese resultado se le divida el número de segmentos

Se crean dos variables más una igualada a cero (z) y la otra igualada al límite inferior puesto por el usuario para posteriormente usarlas en el bucle for

Se creara un bucle for (explicado anteriormente en el metodo del trapecio), que tenga una if imponiendo condiciones, una evaluaruacion, y una finalizacion del bucle.

Se crea nuevas varibles para iniciar nuevamente con un bucle for.

Se crea bucle for con nuevas condiciones con respecto a las variables anteriormente creadas.

Se le vuelve a asignar una variable (x) al limite (imferior) puesto por el usuario y se lo condiciona con if para que sea evaluado por el programa

Nuevamente se vuelve asignar una variable (x) al límite puesto por el usuario con la diferencia que este límite es el superior, para que también sea evaluado.

Como la fórmula de la regla de Simpson es 1/3 de segmentos múltiples, el número de segmentos a usar debe ser para para que se implemente el método, así que se opera con la variable igualada a cero inicialmente (z) y las otras variables insertadas a lo largo del programa para que finalmente la función fprintf muestre el resultado de la integral resuelta.

4.3 Diagrama de flujos

Método de Newton Cotes

“Es un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo inter-polatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso será el resultado” 13

“Las fórmulas de Newton - Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar” 14

Donde fn(x) es un polinomio de la forma

Donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo, en la Figura 5 se utiliza un polinomio de primer grado como una aproximación, mientras que en la Figura 6 utiliza un polinomio de segundo grado para esta.

“La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por intervalos a la función o datos, sobre segmentos de longitud

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13 didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/formulas-de- newtoncotes/3846ad57-b5dc-4cec-b985-f35a3b8b4a15?rdf 14 frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Formulas_Newton_Cotes.html

Constante” 15. Así, en la Figura 7, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.

En este método hay unas formas cerradas como el trapecio y unas formas abiertas como el método del punto medio*

5.1 Código en Matlab

Se creara una función en Matlab, que llevara parámetros como el intervalo inferior y superior para dar el resultado a la integral

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15 Ibíd.

• Punto Medio : En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio

Se crea una variable (h) que reste los intervalos ingresados por el usuario y los divida entre tres.

Se iguala la variable x0 al límite inferior y luego se suma la variable (h) hecha anteriormente con X1, X2 y así sucesivamente

Se usa la función feval que “evalúa el rango de una función, utilizando argumentos x1 a través de xn, ( es decir, que representa un conjunto de funciones sobrecargadas )” 19

Es necesario operar con las 3 interacciones del método por eso se aplica una variable (I1) donde se opera la variable (h) que es la operación de los intervalos dados por el usuario, se lo divide entre dos, y a este resultado se lo multiplica por el resultado de la suma de feval cero con feval uno, estos cálculos son realizados para analizar sacar el error, y que el resultado de la integral sea más exacto.

Se le asigna un valor 2 a la variable (n) y se vuelve a operar.

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19 mathworks.com/help/matlab/ref/feval.html

Se iguala la variable(n) a tres y nuevamente se opera, para que finalmente el programa arroje el resultado.

5.2 Algoritmo Matlab

E

Método de Newton-Cotes

Ingreso de una variable sym e inline para ingresar la función y poder modificarla

Ingreso de una variable con input para ingresar los intervalos Ingreso de una variable con input para ingresar la función

Ingreso de una variable con input para ingresar la función

Ingreso de una variable(h) que reste los limites y divida entre tres

Ingreso de una variable (n) e igualarla a uno

Se opera con otras variables x y la variable h

Calculo de error

Con la variable n igualada a 2 y 3

Ingreso de la disp. para que el programa de resultados reultados

Se igual un intervalo inferior a la variable x

Se opera con la a función feval

Ingreso de la función clear, clc, y disp