¡Descarga Coeficiente de Determinación: Definición y Significado - Prof. Carro Ramos y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
1.- El coeficiente de determinación: definición 2.- Significado del CD 3.- Descomposición de la varianza 4.- El C.D. como índice de reducción de los errores en los pronósticos 5.- El C.D. Como índice de reducción de los errores en los pronósticos 6.- El C.D. Como indicador de la varianza de Y asociada a la variación de X 7.- El C.D. Como indicador de la aproximación de los puntos a la recta de regresión 8.- El C.D. Múltiple 8.- Deducción del error típico de estimación
Temas 10 y 11
REGRESION Y VARIABILIDAD : EL COEFICIENTE DE
DETERMINACION (C.D.)
1.- EL C.D. : definición
COEFICIENTE
DE
DETERMINACION
La auténtica relación existente entre variables
La eficacia predictiva de las
ecuaciones de regresión
El ajuste entre los puntos del diagrama de dispersión y la recta de
regresión
Segunda: “razón entre la varianza de las puntuaciones
pronosticadas por una Ecuación de Regresión y la varianza
de las puntuaciones reales de la variable dependiente”.
Definiciones:
.. xy CD = r
2 y
2 2 y' xy
s
s
r =
Primera: “es el coeficiente de correlación de Pearson elevado
al cuadrado”
1.- EL C.D.
y
x
y
x
y
x
x
xy
y
2 x x
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
xy
2 xy xy
s
bs
s
s
x/n
xy/n
s
s
s
s
s
s
ss
s
s
s
s
ss
s
ss
s
r =
∑
∑
y sustituyendo esta equivalencia en el numerador del último término de la
deducción, se obtiene que:
y
y
y
x xy s
s
s
bs r = =
x y
xy xy
ss
s
r =
Como sabemos:
xy
2 xy xy
ss
s
r
entonces:
n
x
b
n
∑ y ∑
y:
x
bs
n
x
b
n
y
∑′^ ∑ Como y’= bx,
o lo que es lo mismo:
n
y
b sx
∑
2 22 Por tanto:
x y b s = s
1.- EL C.D.
entonces:
Puntuación Real y Puntuación Pronosticada
Una puntuación real (Y) es igual a la pronosticada (Y’)
más el error cometido en el pronóstico (Y-Y’)
(pp. 153-158)
Y= Y ‘ + (Y – Y ‘)
2.- Significado del CD
PUNTUACIÓN
PRONOSTICADA: Y’
Origen: E.R.: Y'= A+ BX
Relación con X: r (^) xy’ = 1
Relación entre la variable X e Y’
Y = Y ′+ ( Y − Y ′ )
(pp. 153-158)
Análisis de la puntuación real de un sujeto
Consecuencia:
dependerá de la variable X
( )
n
Y´Y
s
'^2 2 y'
∑ −
s 2 y’ se denomina VARIANZA ASOCIADA o COMÚN
2.- Significado del CD
Ejemplo
3.- Descomposición de la varianza
Observemos que: 298,4 = 117,5344 + 180,
Es decir: s 2 y =^ s^
2 y.x +^ s^
2 y‘
Varianza de Varianza no Varianza
una variable asociada asociada
O, también: ECM ECM ECM
primario secundario (?)
s 2
y
= s 2
y'
+ s 2
y.x
s
2 y'
= s
2 y
s 2 y‘ =^ s^
2 y - s^
2 y.x = ECM (media) - ECM (ec.reg.) = ECM (eliminado)
3.- Descomposición de la varianza
s
2
y‘ =^ ECM (eliminado)
s
2 y
= s
2 y'
+ s
2 y.x
2.- CONOCIMIENTO DE LA EFICACIA (REDUCCION DEL ERROR PRIMARIO) DE UNA ECUACION DE REGRESION.
UTILIDAD DEL MODELO
1.- CONOCIMIENTO DE LA VARIANZA ASOCIADA (EXPLICADA, COMÚN) ENTRE DOS VARIABLES
2 y
2 2 y xy s
s r ′ =
-Varianza total
-ECM total o de la media
-Varianza asociada
-ECM eliminado.
-Varianza no asociada
-ECM no eliminado.
3.- Descomposición de la varianza
4.- EL C.D. COMO INDICE DE REDUCCION DE LOS ERRORES EN LOS PRONOSTICOS.
′
( )
ECM media
ECMmedia ECMER
s
s s
s
s r y
y yx
y
y xy (^) 2
2 2
2
2 2 = (media)
(eliminado) ECM
ECM (^) Proporción de ECM eliminado
2
2
2
2 2 2 1 ( )
Y Y
YY
YY
YY YY
r xy
Casos extremos:
Si r 2 = 0 entonces, el numerador es igual al denominador; es decir, se comete el mismo error por la E.R. como por la media, y no se ha reducido el error inicial.
Iguales
3.- EL C.D. COMO INDICE DE REDUCCION DE LOS ERRORES EN LOS PRONOSTICOS.
′
( )
ECM media
ECMmedia ECMER
s
s s
s
s r y
y yx
y
y xy (^) 2
2 2
2
2 (^2) = (media)
(eliminado)
ECM
ECM (^) Proporción de
ECM eliminado
2
2
2
2 2 2 1 ( )
Y Y
YY
YY
YY YY
r (^) xy
En el ejemplo: r 2 xy= 0,
2 = 0,6062 o, en porcentaje: 60,62 % eliminado
Casos extremos:
Si r 2 = 1, el numerador será igual a cero (no hay errores en los pronósticos de la E.R.), es decir, se ha reducido totalmente el error cuadrático inicial.
= 0
6.- EL C.D. COMO INDICADOR DE LA VARIANZA DE Y ASOCIADA A LA VARIACION DE X.
2 2
2
2
2 2
y y x
y
y
y xy s s
s
s
s r +.
′
′ ′
Donde s^2 y' es la varianza de Y asociada a la variación de la variable X y s 2 y.x es la varianza de Y independiente de X:
r (^2) xy= Var. de Y asociada a la variación de X
= Var. de Y asociada a la variación de X = Proporción de var. de Y Var. total de Y asociada a la variación de X.
Ejemplo: r 2 xy = 0,7786^2 = 0,6062 o 60,62% de varianza asociada
Var. de Y asociada a X + Var. de Y independiente de X
7.- EL C.D. COMO INDICADOR DE LA APROXIMACION DE LOS PUNTOS DEL DIAGRAMA
DE DISPERSIÓN A LA RECTA DE REGRESION.
Gráfico de la aproximación de los puntos del
diagrama de dispersión a la recta de regresión.
y
y.x
y 2 y
2 y xy s
s s
s
s r ∑
∑
−
(Y Y)
(Y Y)
Ejemplo:
r^2
xy
= 0,7786^2 = 0,
o 60,62% de ajuste
(aproximación) a la
recta de regresión
Distancia entre Y
y la recta (Y’)
Razón entre la varianza de puntuaciones pronosticas a partir de la ecuación X’ 1 = A+B 2 X 2 +B 3 X 3 y la varianza de las puntuaciones reales en X 1.
**_2 x
- 23_**
x 1
1
s
s
R
8.- EL C. D. MULTIPLE.
Indica: La varianza de X 1 asociada a X 2 y X (^3) La reducción de error si se emplean X 2 y X 3 como pronosticadoras de X (^1) La aproximación de los puntos al plano de regresión
Teniendo en cuenta el modelo de descomposición de la varianza:
y
y.x 2 y
y.x
y 2 y
2 y' xy
s
s
s
s s
s
s
r =−
Despejando s (^) y.x se obtiene que: s^2 y.x = s^2 y (1- r (^2) xy) y:
sy . x = sy 1 − rxy
que es lo que se denomina error típico de estimación (ETE).
n
(Y Y)
s
y .x
∑ −′
= por tanto:
( )
n
Y Y'
s
y. x
∑ −
9.- DEDUCCION DEL ERROR TIPICO DE ESTIMACION
Como se ha visto:
Comprobación:
( ) 3 , 43 10
n
YY'
s
2
y. x
∑
s s 1 r 5 , 4610 , 7786 3 , 43
y. x = y − xy = − =
En el ejemplo empleado:
