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Temas 10 y 11
REGRESION Y VARIABILIDAD : EL
COEFICIENTE DE DETERMINACION
(C.D.)
1.- El coeficiente de determinación: definición y deducción
2.- Significado del CD
3.- Descomposición de la varianza
4.- El C.D. como índice de reducción de los errores en los
pronósticos
5.- El C.D. Como indicador de la varianza de Y asociada a la
variación de X
6.- El C.D. Como indicador de la aproximación de los puntos a la
recta de regresión
7.- El C.D. Múltiple
8.- Deducción del error típico de estimación
Segunda: “razón entre la varianza de las puntuaciones pronosticadas por una Ecuación de Regresión y la varianza de las puntuaciones reales de la variable dependiente”.
Definiciones:
C. D .= rxy
y
2 y' xy s
s r =
Primera: “es el coeficiente de correlación de Pearson elevado al cuadrado”
1.- EL C.D.
(Deducción: Studium)
COEFICIENTE
DE
DETERMINACION
La auténtica relación
existente entre variables
La eficacia predictiva de las
ecuaciones de regresión
El ajuste entre los puntos del
diagrama de dispersión y la recta de
regresión
2.- Significado del CD
Puntuación Real y Puntuación Pronosticada
Una puntuación real (Y) es igual a la pronosticada (Y’) más el error cometido en el pronóstico (Y-Y’)
(pp. 153-158)
Y= Y ‘ + (Y – Y ‘)
2.- Significado del CD
115= 105 + (115 – 105)
108= 110 + (108 – 110)
115= 105 + 10
108= 110 - 2
PUNTUACIÓN
PRONOSTICADA: Y’
Origen: E.R.: Y'= A+ BX
Relación con X: r xy’ = 1
Relación entre la variable X e Y’
Y = Y ′+ ( Y − Y ′ )
(pp. 153-158)
Análisis de la puntuación real de un sujeto
Consecuencia:
dependerá de la variable X
( )
n
Y´Y
s
'^2 2 y'
s 2 y’ se denomina
VARIANZA ASOCIADA o
COMÚN
2.- Significado del CD
ERROR EN EL PRONÓSTICO: (Y-Y’)
Diferencia (Y- Y'): no está ligada a
la variación de X
Relación con X: r x(y-y’) = 0
Relación entre X y los errores (Y-Y’)
Y = Y ′+ ( Y − Y ′ )
(pp. 153-158)
Consecuencia:
es independiente de X.
( )
n
Y Y s
'^2 2 y.x
=
A s 2 y’ la denominamos
VARIANZA NO ASOCIADA
(o INDEPENDIENTE)
2.- Significado del CD
s (^2) y = s (^2) y' + s (^2) y.x
s (^2) y' = s (^2) y - s (^2) y.x
s 2 y‘ = s 2 y - s 2 y.x = ECM (media) - ECM (ec.reg.) = ECM (eliminado)
3.- Descomposición de la varianza
s (^2) y‘ = ECM (eliminado)
s (^2) y = s (^2) y' + s (^2) y.x
2.- CONOCIMIENTO DE LA
EFICACIA (REDUCCION DEL
ERROR PRIMARIO) DE UNA
ECUACION DE REGRESION.
UTILIDAD DEL MODELO
1.- CONOCIMIENTO DE LA
VARIANZA ASOCIADA
(EXPLICADA, COMÚN) ENTRE DOS
VARIABLES
2 y
2 2 y
xy s
s
r
′
-Varianza total
-ECM total o de la media
-Varianza asociada
-ECM eliminado.
-Varianza no asociada
-ECM no eliminado.
3.- Descomposición de la varianza
4.- EL C.D. COMO INDICE DE REDUCCION DE LOS ERRORES EN LOS PRONOSTICOS.
ECM media
ECMmedia ECMER
s
s s
s
s
r
y
y yx
y
y xy (^) 2
(media)
(eliminado)
ECM
ECM Proporción de
ECM eliminado
∑
∑
∑
∑ ∑
Y Y
YY
YY
YY YY
r xy
Casos extremos:
Si r 2 = 0 entonces, el numerador es igual al denominador; es decir, se comete el mismo error por la E.R. como por la media, y no se ha reducido el error inicial.
Iguales
En el ejemplo: r (^2) xy= 0,7786^2 = 0,6062 o, en porcentaje: 60,62 % eliminado
Si r 2 = 1, el numerador será igual a cero (no hay errores en los pronósticos de la E.R.), es decir, se ha reducido totalmente el error cuadrático inicial.
5.- EL C.D. COMO INDICADOR DE LA VARIANZA DE Y ASOCIADA A LA VARIACION DE X.
y y x
y
y
y xy
s s
s
s
s
r
Donde s^2 y' es la varianza de Y asociada a la variación de la variable X y s^2 y.x es la varianza de Y independiente de X:
r (^2) xy= Var. de Y asociada a la variación de X
= Var. de Y asociada a la variación de X = Proporción de var. de Y Var. total de Y asociada a la variación de X.
Ejemplo: r (^2) xy= 0,7786^2 = 0,6062 o 60,62% de varianza asociada
Var. de Y asociada a X + Var. de Y independiente de X
rxy ,10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60 ,70 ,80 ,90 1, r^2 xy ,01 ,04 ,09 ,16 ,25 ,36 ,49 ,64 ,81 1, r^2 xy. 100 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1-r^2 xy. 100 99 96 91 84 75 64 51 36 19 0
Proporción y porcentaje de varianza asociada y no asociada para distintos valores de r.
6.- EL C.D. COMO INDICADOR DE LA APROXIMACION DE LOS PUNTOS DEL DIAGRAMA
DE DISPERSIÓN A LA RECTA DE REGRESION.
Modelo (lineal) teórico
Diagrama en el caso de r= +
